例談導數與三角函數的“聯姻”

摘 要：文章通過實例，分類歸納導數與三角函數交匯的各類題型，以此促進教與學.

關鍵詞：三角函數；導數；單調性；零點

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）04-0046-05

新高考已經不僅僅局限于基本知識和基本技能的考查，更重視對學生綜合核心素養和關鍵能力的考查，題目會更加靈活多變，富有創新性和綜合性.在題目中融入數學文化、生活實際、跨學科的知識，將不同的知識融合交匯，那么知識之間的融合必然會更加精彩.

三角函數有其獨特的性質，當導數與三角函數“聯姻”時，三角函數的周期性、有界性等就被融入進來.對于三角函數的單調性、奇偶性、對稱性、最值問題、含參問題或者相關綜合性問題，借助導數進行研究能更充分地考查數學思想方法、運算求解能力、綜合應變與解題調控能力，也能很好地彰顯考生解題方法的靈活性、多樣性，從而備受命題者的青睞，不少高考試題和模擬試題均在三角函數和導數交匯處進行命題.下面筆者以近年高考或模考中與三角函數有關的導數題為例，進行分類歸納與解答，供大家參考.

評注 ①對于零點不可求問題，常見的做法是“設而不求”.通過設出未知數作為橋梁進行消元或整體代換，這種數學思想在函數與導數問題中有著廣泛應用.②要求證一個函數“有且只有一個”零點，可先用“函數零點的存在性定理”證明函數存在零點，再證明函數為單調函數，即得函數零點的唯一性.其依據為：如果函數f（x）在區間［a，b］上是單調函數，并且f（a）·f（b）<0，則函數f（x）在區間（a，b）上至多有一個零點.如果要證明函數有多個零點，一般要將分區間

討論解決，由于涉及三角函數，在判斷導數的符號時，注意不同區間正弦、余弦函數值的正負［3］.

6 結束語

由上述例子可看出，導數與三角函數交匯的題型眾多，融合函數、導數、不等式等重要知識點于一體，函數的表達式多是三角函數與ex，lnx相結合.問題方面主要與函數的單調性、零點、極值與最值、恒成立問題、證明函數不等式等主干內容相關，多個知識點綜合在一起.由于三角函數的特殊性，所以不單考查導數公式和導數的運算法則，還可能考查三角函數中的恒等變換、周期性、有界性，常見的三角不等式等.綜合度較高，對于考生運用所學知識，尋找合理的解題策略以及推理論證能力有較高的要求.

因此，在復習備考中要注重以下兩點：

①突出主干知識.導數試題注重對導數的幾何意義、導數的運算法則、導數在研究函數中的應用等重點內容的考查，函數單調性是核心性質，要深化對函數單調性的認識，復習時應注重導數法在函數單調性中的應用.

②注意總結，歸納提煉方法.復習時要善于總結，將涉及三角的函數導數試題分門別類，并歸納出常用的解法與注意事項，并通過題目的訓練，舉一反三，觸類旁通.

參考文獻：

［1］ 林國紅.函數凹凸性視角下的雙變量壓軸題的探究[J].中學數學研究（華南師范大學版），2022（05）：17-20.

［2］ 林國紅.一題多解有妙法 深入探究促提升：2022年高考全國乙卷第23題的探究［J］.數理化解題研究，2023（25）：69-72.

［3］ 林國紅.一道導數模考壓軸題的探究［J］.數理化解題研究，2023（22）：85-89.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者簡介：林國紅（1977-），男，廣東省佛山人，中學高級教師，從事中學數學教育研究.