2023年新高考Ⅰ卷第22題的解法探究

摘 要：2023年數學新高考Ⅰ卷第22題是以解析幾何中的拋物線為背景，求矩形周長的取值范圍問題，考查導數或者均值不等式的應用.文章從不同角度給出試題的四種解法.

關鍵詞：2023年高考；拋物線；周長；導數；均值不等式

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）04-0016-03

2023年數學新高考Ⅰ卷的第 22題比較新穎.試題以解析幾何中的拋物線為背景， 考查不等式、函數最值等內容，是一道綜合性較強的題目，有助于選拔創新型人才.

1 真題再現

題目 在直角坐標系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點（0，1/2）的距離，記動點P的軌跡為W.

（1）求W的方程;

（2）已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明： 矩形ABCD的周長大于33[1-2].

評析 在拋物線上，任意兩點構成的向量可以唯一確定這兩個點的位置，矩形有三個頂點在拋物線上，即有兩條邊對應的向量卡在拋物線上，我們考慮這兩條邊BA，BC的長度與方向. 由于射線BA繞點B逆時針旋轉90°后恰好到射線BC的位置，因此兩邊的方向恰好差90°.我們的思路是考慮一個給定邊長的矩形，能否找到合適的角度，使三個頂點在拋物線上.

3 結束語

本題有一定難度和較好的區分度， 需要考生有較強的綜合分析能力. 試題將一個邊長可變的矩形搭在拋物線上， 允許它在拋物線上滑動，需要考慮滑動過程中讓矩形周長最小化的問題. 試題需要一定的動態思維能力，要大致想象滑動過程中矩形各個元素的變化情況， 并找到變化中的不變量.

在試題的思考解答過程中，考生需要不斷地將問題……