開展度量實驗?提升技能學習

王思驊

【摘 要】學生的度量意識不是憑空形成的，需要在度量的活動中培養和發展，而度量原理和方法則需要在大量的實驗中發現和感悟。度量實驗能夠幫助學生實現對度量方法的自我建構，培養學生解決問題的能力。文章以“角的度量”為例，闡述如何在度量實驗中發展學生思維。

【關鍵詞】技能學習 度量實驗 角的度量

量角器作為高度簡約化、高度智慧化的度量工具，其建構過程對學生度量意識的培養和數學素養的發展具有非常重要的價值。以往因教學設計的偏差，教師容易將學生角色定位成“量角器的使用者”，讓學生進行大量的技能訓練，學生沒有真正掌握其要領，學習效果不如預期。而度量意識的建立和發展，需要從度量實驗入手。通過調動度量經驗、提出猜想、控制變量、設計量角器，學生逐步感悟到量角器中蘊含的度量的本質，積累了豐富的數學活動經驗，將度量技能的學習上升到度量意識培養。基于以上認識，筆者以數學度量實驗為學生主要學習方式，以“角的度量”為例，進行了教學的改進設計。

一、聯結舊知，調動度量的經驗

師：全鋪、半鋪、邊鋪這三種方法，有什么共同點？

生1：都是用邊長1厘米的正方形去量的。

生2：從測量結果可以發現，有多少個這樣的正方形，長方形的面積就是幾平方厘米。

師：回顧一下長度的測量，我們是怎么測量的？

生3：用直尺測量，觀察直尺上的刻度。

師：如何根據刻度判斷長度？

生4：一般我們以1厘米為單位，線段包含幾厘米，長度就是幾厘米。

師：角的度量也需要單位嗎？

度量是將事物的屬性量化，即以一定的標準為單位進行測量。度量角就是以一種統一的度量單位作為標準，對某個角進行測量得出的一種數據，是對角的大小的描述。

角的度量對象是兩條邊張開的程度，是具有二維特征的特殊對象。因此，學生在理解角的度量時存在障礙，容易誤認為“角的大小”等于角的兩條邊之間的“寬度”，從而得出錯誤的結論：角的兩條邊越長，角的度數就越大。學生如果對角的度量本質不明，對量角方法的本質理解就會出現偏差。

“角”作為陌生的度量對象，和長度、面積與質量等有著明顯的不同，但其度量原理是相同的，即用具有同一屬性的單位去比較、填充、度量。被測的對象角中包含多少個單位角，它的角度就是多少。學生已經具備長度和面積測量的經驗，這對角的度量的學習具有正向的遷移價值。

筆者教學“角的度量”這節課時，重在引導學生結合以往的度量經驗，明確度量單位往往比度量對象要小，也就是“以小量大”。接著引導學生類比遷移，對比長度和面積度量，思考角的度量是否也需要度量單位和工具。

在導入階段，筆者讓學生對長方形的面積的測量進行回顧和梳理，以調動學生關于面積測量的基本經驗。接著，出示一個長6厘米、寬4厘米的長方形，組織學生圍繞兩個問題進行交流：你準備怎樣測量這個長方形的面積？如果只有一個小正方形，怎樣確定面積值？通過交流，學生進一步明確測量面積需要用測量單位，其中“邊鋪”的方法是最佳選擇，它基于測量原理又不囿于測量原理。只需要從“邊”下手，以邊長1厘米的小正方形為單位去度量，有多少個這樣的面積單位，長方形的面積就是幾平方厘米。這一原理將貫穿學生角的度量學習的始終。

二、提出猜想，遷移度量的本質

師：要測量一個角的大小，怎么辦？

生1：可以用三角尺比一比。

生2：如果角的大小是67°呢？

生3：看來角的度量也需要單位。

師：簡單地猜想一下，單位角可能是多少度？

生4：我們測量面積用的是1平方厘米，測量長度用的是1厘米，所以單位角應該是1°。

生5：我不同意，1°角太小了，你能找得到嗎？

我們常常看見學生拿著量角器茫然無措的樣子，他們不知道如何擺放量角器，才能使量角器上的“角”與所測量的角重合。

在復習導入的基礎上，學生能夠將長度和面積測量的經驗遷移到角的度量上，初步明確度量角的本質，即包含多少個單位角，被度量的角的度數就是多少。

教學中，筆者首先讓學生思考：要測量一個角的大小，怎么辦？學生結合度量經驗對如何測量一個角提出猜想。可以借助三角尺比一比，利用已知度數來測量。經過全班交流，學生意識到如果在三角板上找不到與這個角相匹配的角度，也無法拼接測量得到時，那么這個角的度量就需要單位。

在激烈的討論過程中，學生自主合情推理出角的度量單位的可能樣態。有的學生選擇1°角，有的學生選擇10°角。學生在選擇時經歷了一個糾結的過程，可以看出他們對1°角和10°角的概念并沒有直觀上的認識，需要從實際生活中進一步建立1°角和10°角的直觀表象。

猜想環節的設計，對度量角的學習具有正向的遷移價值，為后續的實驗開展奠定了基礎，讓學生帶著問題、帶著猜想去實驗和去探索，還滲透了對科學研究及其態度的培養。在達成“用單位角比較”共識的基礎上，組織學生開展之后的小組實驗活動。

三、設計角度量實驗，確定單位角

師：如何證明你們的猜想是準確的呢？

生1：選擇幾個角量一量，通過測量結果來判斷。

生2：測量后，如果和猜想有較大差距，可以對照猜想進行調整。

同桌協作完成活動一。

活動一：

要求：選擇三角尺或10°角，測量出圖1中3個角的大小，并說說你是怎么測量的。

實驗材料：一副三角尺、若干個10°角、①號角（75°）、②號角（40°）和③號角（36°）。

全班匯報交流。

生3：三角尺上的45°角和30°角拼接在一起，可以和①號角相匹配。

生4：②號角的度數不是我們熟悉的，但它可以用4個10度角拼起來去量。

生5：測量③號角用不上4個10°角，但是3個又不夠，它的度數應該在30°～40°。

師：③號角很特別，怎樣才能較為準確地測量出它的度數呢？

小組討論，其他學生補充：還需要比10°角更小的角，要繼續往下分。

學生在測量的過程中會發現：用三角尺上的45°角和30°角拼接后，正好與①號角相匹配，角度就是75°。②號角，4個10°角拼起來可以測量，角度是40°，但實際拼接的過程并不順利，需要同桌協作。學生感慨：如果有合適的測量工具便能夠事半功倍；測量③號角，發現角度在30°～40°，需要把10°角繼續細分，比如1°角。三個角的設計是有梯度的，旨在引導學生在實驗的過程中不斷質疑，在解決困難的過程中，啟發學生用作測量單位的角應盡可能小，而1°角能滿足測量所有角的大小的需要，比較精確。但是，這個“1°角”實在太小，實際操作會比10°角更加不方便，容易數錯。

在這個基礎上，筆者提出設問：如何保留“1°角”的優勢而彌補它的不足？順勢引導學生把單位小角合并為半圓工具，這樣就非常巧妙地揭示了“量角器就是單位小角的集合”。活動一既突出了度量的原理，又建立了“1°角”和“10°角”的直觀表象，突出了角的單位的認知，讓學生明白用1°角這個單位去量，其結果就是多少度。

這一環節的教學，筆者抓住“學生的認知沖突”這一核心，引導學生在實驗過程中不斷改變量角方法，并調整單位角的度數，在一次次思維爭辯中明確、理解、應用1°角。此外，結合設問促使學生發現和辨別1°角的特征，為學生真正理解量角器的本質打好基礎。

四、控制變量，感悟量角的本質

學生獨立完成活動三后，小組交流。

師：你是怎么量的？上來演示給大家看。

生1演示測量125°角的過程。

教師相機點撥，強調“點重合，邊重合”。

生2演示測量55°角（不同朝向），認為度數也是125°。

生3：我不同意，這個是銳角，應該是55°。我是這么量的。

生3先把角旋轉，調整到同一個朝向，測量結果是125°。

生4：我們小組發現可以不用旋轉，只要再添一圈刻度。

生4展示兩圈刻度量角器。

教師組織學生嘗試畫第二圈刻度，再次量角，總結量角方法。

教材中的量角器作為一個“成品”被直接呈現，它是怎么出現的？它的構造原理是什么？中心點、零刻度線、內外刻度線等這些晦澀的、抽象的數學概念又該怎么理解？對學生來說這些疑問都給認識角的度量的原理造成障礙，學生不了解量角器的來龍去脈，對量角器的結構特點也不理解。

為了有效突破這一難點，教師應為學生認識量角器提供自主探究的空間，引導學生參與對量角器的制作中，把學生的角色從“量角器的使用者”解放出來，在探索和實踐中有效轉變為“量角器的設計者”。

以往的教學中，教師往往采用講解、示范操作，按部就班地直接教授度量的基本規則，而后學生模仿并反復操練的教學方式，以此來解答學生的疑問。學生無法真正參與其中，很難在操作和嘗試中發現問題，學習效果也不理想。

因此，教師需要對量角器的結構和使用的教學步驟進行合理的設計和分解。于是，筆者對現有教材進行了補充，設計了活動二、活動三的測量實驗活動。

活動二：用若干個10°角擺出90°角。

實驗材料是若干個10°角。首先，學生展示擺一擺的過程。其次，教師用課件動畫演示。在這個基礎上，筆者提出設問：如果再加90°，會是怎樣的？接著教師用課件動畫演示，18個10°也就是180°，形成了一個半圓。教師帶領學生10°、10°地數，使學生再次充分感受單位角累加的過程，領悟量角器的本質，為理解量角的原理打下堅實的基礎。最后，利用提供的“簡易量角器”讓學生初步練習量角。

這個實驗活動的變量是什么？

從“10°角”推廣到“簡易量角器”。通過這一變化讓學生親歷量角器的動態“漸變”過程，賦予其“現實需要”，促使學生理解量角器的來龍去脈，調動學生的學習積極性。教師可以先展示無刻度的量角器，讓學生初步認識量角器的“雛形”。相比于“成品量角器”，簡易量角器線條稀疏、無刻度。正因為這個特點，學生掌握量角的方法時減少了很多干擾，對于學習量角方法有較大的優勢。

教師按需給予了學生“10°角”這個直觀材料，一方面從建立角的大小的量化觀念出發，引導學生在觀察和操作等過程中聚焦量角器的本質，使學生鞏固“量角器的本質是單位小角的集合”的認識；另一方面遵循學生的認知規律，引導學生對單位小角的選擇進行優化。擺一擺的操作活動，學生充分參與量角器的制作過程中，同時教師借助課件演示，為學生認識半圓形量角器的形成提供了感性材料。

活動三：安排學生測量兩個開口正好相反的角——125°角和55°角。（如圖2）

這一活動的變量是從單圈刻度過渡到兩圈刻度。觀察平時的教學，不難發現學生對量角器上兩圈刻度的作用和由來，并不太理解。“尺”作為學生最熟悉的度量工具，只有單向刻度。如果量角器只有單向刻度，那么量不同朝向的角的大小就非常麻煩，因此不得不在內圈也加上刻度。通過這個活動，進一步突顯矛盾沖突，產生一種強烈的心理傾向，即量角器要有內外兩圈刻度，到此，一個完整的量角器成型了。這樣一來量角器成了學生自己的作品，學生自主建構起量角器這一模型。

為了讓學生正確地量角，筆者改變了策略。除了安排學生上臺展示量角的過程，集體交流，還組織小組互相學習量角方法，給學生充分的時間動手操作，觀察別人是怎么量的，引導學生之間互相啟發。最后，安排學生開展“讀角”游戲，引導學生思考要度量的角與哪條始邊重合，重點關注從哪邊的0°開始讀起，從而幫助學生真正理解角的度量的內在原理。學生在這樣真實、自然、動態的游戲過程中不斷積累量角的經驗，繼續加深對內圈和外圈的區分，從而將度量規則自我內化。

度量意識的形成不是憑空出現的，需要在實踐中培養。提升技能學習，要以學生的實質發展為目標，以數學實驗為依托，創造性地構建技能學習的方式，通過數學實驗促進學生思維的縱深發展，才是技能學習的核心和最終歸宿。

注：本文系南京市教育科學“十四五”規劃課題“指向核心素養提升的‘好玩數學課實踐”（課題批準號：L/2021/230）的階段性成果。