高中數學函數值域題的幾種解法

許美琳

一、觀察法

通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。

例1.求函數y=3+[2-3x]的值域。

點撥：根據算術平方根的性質，先求出[2-3x]的值域。

解：由算術平方根的性質，知[2-3x]≥0，

故3+[2-3x]≥3

∴函數的知域為{y∣y≥3｝。

點評：算術平方根具有雙重非負性，即：（1）被開方數的非負性，（2）值的非負性。本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對于一類函數的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。

二、反函數法

當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。

例2.求函數y=（x+1）/（x+2）的值域。

點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。

解：函數y=（x+1）/（x+2）的反函數為：x=（1-2y）/（y-1），其定義域為y≠1的實數，故函數y的值域為{y∣y≠1，y∈R｝。

點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。

三、配方法

當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時，可以利用配方法求函數值域

例3.求函數y=[-x2+x+2]的值域。

點撥：將被開方數配方成平方數，利用二次函數的值求。

解：由-x2+x+2≥0，可知函數的定義域為x∈[-1，2]。此時-x2+x+2=-（x-1/2）2+9/4∈[0，9/4]

∴0≤[-x2+x+2]≤3/2，函數的值域是[0，3/2]

點評：求函數的值域不但要重視對應關系的應用，而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。

四、判別式法

若可化為關于某變量的二次方程的分式函數或無理函數，可用判別式法求函數的值域。

例4.求函數y=（2x2-2x+3）/（x2-x+1）的值域。

點撥：將原函數轉化為自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。

解：將上式化為（y-2）x2-（y-2）x+（y-3）=0（*）

當y≠2時，由Δ=（y-2）2-4（y-2）x+（y-3）≥0，解得：2

當y=2時，方程（*）無解。

∴函數的值域為{2｝。

點評：把函數關系化為二次方程F（x，y）=0，由于方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函數的值域。常適應于形如y=（ax2+bx+c）/（dx2+ex+f）及y=ax+b±[cx2+dx+e]的函數。

指導老師：胡春霞