鋼筋混凝土柱壓彎承載力與剛度實用計算方法

呂輝, 肖沖,3*, 羅靚

(1.南昌航空大學土木建筑學院, 南昌 330063; 2.江西省裝配式建筑與智能建造重點實驗室, 南昌 330063; 3.南昌理工學院建筑工程學院, 南昌 330044)

在高烈度抗震區,實際工程框架結構中,框架柱受力包括豎向的恒載、活載與水平地震荷載,為此對框架柱的壓彎性能研究顯得尤為重要,中外學者針對柱的壓彎性能研究主要為試驗研究與數值模擬,其中試驗通常為擬靜力試驗[1-5],也稱低周往復試驗、滯回性能試驗,即對柱同時施加軸向壓力和橫向低周往復荷載。擬靜力試驗主要觀察混凝土的壓碎或開裂現象與縱筋、箍筋屈服或拉斷現象,基于多種試驗結果曲線,如荷載-位移滯回曲線、荷載-位移骨架曲線、應變曲線、剛度退化曲線、耗能曲線和殘余位移曲線等,分析多種因素對滯回性能的影響,包括:軸壓比、剪跨比、縱筋配筋率、配箍率、鋼筋強度、箍筋間距、混凝土強度等級、截面尺寸效應等,數值分析則采用ABAQUS[6-7]、OPENSEES[8]、MAC.MARC[9]等有限元軟件進行。

框架柱作為豎向承重以及橫向抗側移構件,有必要對柱的壓彎承載力與剛度計算方法進一步研究,現階段中外學者對柱的軸壓、偏壓、純彎性能研究較多,此外,《混凝土結構設計規范GB50010—2010》[10]中公式6.2.10給出了純彎構件(梁、板)承載力計算方法,公式6.2.15與6.2.17分別闡明了框架柱的軸壓與偏壓承載力計算公式,但軸壓柱僅受豎向的軸心力,而偏壓柱是直接以偏心力或間接以彎矩換算成偏心力的形式施加荷載,這兩者與直接施加豎向軸壓力和水平推覆力的壓彎柱有本質不同,為此,采用規范公式計算壓彎柱承載力的精度有待商榷。

基于上述研究不足之處,現采用ABAQUS軟件建立162個足尺鋼筋混凝土柱的三維實體精細有限元模型算例進行壓彎性能參數分析,主要參數為軸壓比、縱筋配筋率、混凝土強度等級、截面形狀、矩形柱強弱軸加載方向,探討5種參數對柱的承載力、剛度的影響;根據參數分析結果與數據擬合,提出參數影響下的足尺壓彎柱的承載力與剛度實用計算公式,為實際工程框架柱的設計與加固提供理論依據和技術支持。

1 有限元建模

1.1 有限元模型驗證

考慮連續地震荷載作用下混凝土的累積損傷效應及鋼材的循環硬化效應,故混凝土本構采用Ding等[11]提出的基于彈性模量損傷的塑性-損傷本構模型,縱筋、箍筋本構采用Ding等[12]提出的彈塑性混合強化本構模型,ABAQUS中混凝土及鋼材的基本參數設置同Ding等[13]。混凝土的單元類型選用實體單元(C3D8R),形狀為六面體;縱筋及箍筋的單元類型采用桁架單元(T3D2),形狀為直線。圖1為擬靜力試驗[13]中的典型試件NN-0.2-1結果與有限元結果對比,可見兩者符合較好,曲線下降段基本一致。

圖1 試驗結果與有限元結果對比Fig.1 Comparison between test results and finite element results

1.2 足尺模型簡介

根據1.1節的建模方法,進一步建立162個足尺鋼筋混凝土柱有限元模型算例進行壓彎性能分析,其中方形柱54個(截面B×D=500 mm×500 mm),矩形柱108個(截面B×D=600 mm×400 mm),柱長L取2 000 mm,參數分析主要為軸壓比、混凝土強度等級、縱筋配筋率。由于實際工程中柱的豎向承載力各有不同,故軸壓比n取0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8這9種工況進行分析;C40、C50為工程中常見的混凝土強度等級,故參數分析中混凝土強度等級取C40與C50,其軸心抗壓強度fc分別為29.6、38.4 MPa;考慮到建模的簡便性,故縱筋配筋率ρ取1.2%、1.8%、2.4%三種工況進行分析,足尺模型算例具體參數如表1所示。

表1 162個足尺有限元算例模型Table 1 162 full-scale finite element example models

1.3 足尺模型建模方式

足尺模型柱的混凝土本構采用Ding等[11]提出的基于彈性模量損傷的塑性-損傷本構模型,縱筋、箍筋本構采用Ding等[12]提出的彈塑性混合強化本構模型,ABAQUS中混凝土及鋼材的基本參數設置同Ding等[11-12]。

有限元模型的界面約束設置為:由于柱在實際澆筑過程中,箍筋與縱筋先進行綁扎形成鋼筋籠,故先將縱筋與箍筋合并(merge),合并后的鋼筋籠內置(embedded region)于柱混凝土。模型的網格劃分具體參數如表2所示,圖2為足尺柱的有限元模型圖。

表2 有限元模型單元網格劃分Table 2 Finite element model element mesh division

圖2 足尺有限元模型Fig.2 Full-scale finite element model

加載制度與邊界條件設置:柱底完全固定,即X、Y、Z三個方向的位移及轉角均為0。加載方式包括豎向的軸壓力與水平方向的推覆位移,故共有兩個分析步,第1個分析步施加軸壓力,時間為1 s,增量步設為0.2;第2個分析步施加水平推覆位移,時間為1 s,增量步設為0.01,水平推覆位移為100 mm,故每一增量步施加1 mm的水平推覆位移,圖3為足尺柱邊界條件與加載方式的示意圖。

圖3 足尺柱的邊界條件與加載方式示意圖Fig.3 Schematic diagram of boundary conditions and loading methods for full-scale columns

2 參數分析

2.1 足尺柱壓彎承載力

圖4和圖5匯總了足尺柱(方形柱、矩形強軸柱、矩形弱軸柱)的壓彎峰值承載力,比較了在不同軸壓比(n=0～0.8)下縱筋配筋率(ρ=1.2%)與混凝土強度等級(C40)對足尺壓彎柱峰值承載力的影響。

圖4 不同軸壓比下縱筋配筋率對壓彎柱承載力的影響Fig.4 Effect of longitudinal reinforcement ratio on bearing capacity of beam-column under different axial compression ratios

圖5 不同軸壓比下混凝土強度等級對壓彎柱承載力的影響Fig.5 Effect of concrete strength grade on bearing capacity of beam-column under different axial compression ratios

(1)對于方形柱,當軸壓比≤0.4時,隨軸壓比的增大,峰值承載力增大,當軸壓比>0.4時,隨軸壓比的增大,峰值承載力減小。縱筋配筋率與混凝土強度等級的提高都會增大柱的壓彎承載力,其中縱筋配筋率由1.2%增大到1.8%、2.4%,峰值承載力最大可分別提高19.1%、35.4%,混凝土強度等級由C40增大到C50,峰值承載力最大可提高17.5%。

(2)對于矩形強軸柱,當軸壓比≤0.4時,隨軸壓比的增大,峰值承載力增大,當軸壓比>0.4時,隨軸壓比的增大,峰值承載力減小。縱筋配筋率與混凝土強度等級的提高都會增大柱的壓彎承載力,其中縱筋配筋率由1.2%增大到1.8%、2.4%,峰值承載力最大可分別提高18.9%、33.9%,混凝土強度等級由C40增大到C50,峰值承載力最大可提高17.1%。

(3)對于矩形弱軸柱,當軸壓比≤0.4時,隨軸壓比的增大,峰值承載力增大,當軸壓比>0.4時,隨軸壓比的增大,峰值承載力減小。縱筋配筋率與混凝土強度等級的提高都會增大柱的壓彎承載力,其中縱筋配筋率由1.2%增大到1.8%、2.4%,峰值承載力最大可分別提高20.2%、37.9%,混凝土強度等級由C40增大到C50,峰值承載力最大可提高18.4%。

(4)綜上所述,當軸壓比≤0.4時,隨軸壓比的增大,柱的壓彎峰值承載力增大,當軸壓比>0.4時,隨軸壓比的增大,柱的壓彎峰值承載力減小。提高縱筋配筋率與混凝土強度等級均能有效地增大柱的壓彎峰值承載力,且提高縱筋配筋率的效果更好。

2.2 足尺柱構件壓彎彈性剛度

定義柱的彈性剛度為承載力達到40%峰值時與對應水平位移的比值[14],圖6和圖7匯總了足尺柱(方形柱、矩形強軸柱、矩形弱軸柱)的壓彎構件彈性剛度,比較了在不同軸壓比(n=0～0.8)下縱筋配筋率(ρ=1.2%)與混凝土強度等級(C40)對足尺壓彎柱構件彈性剛度的影響。

圖6 不同軸壓比下縱筋配筋率對壓彎柱彈性剛度的影響Fig.6 Effect of longitudinal reinforcement ratio on elastic stiffness of beam-column under different axial compression ratios

圖7 不同軸壓比下混凝土強度等級對壓彎柱彈性剛度的影響Fig.7 Effect of concrete strength grade on elastic stiffness of beam-column under different axial compression ratios

(1)對于方形柱,當軸壓比≤0.2時,隨軸壓比的增大,構件的彈性剛度增大,當軸壓比>0.2時,隨軸壓比的增大,構件的彈性剛度減小。縱筋配筋率與混凝土強度等級的提高都會增大柱的壓彎承載力,其中縱筋配筋率由1.2%增大到1.8%、2.4%,構件的彈性剛度最大可分別提高5.3%、9.9%,混凝土強度等級由C40增大到C50,構件的彈性剛度最大可提高7.0%。

(2)對于矩形強軸柱,當軸壓比≤0.2時,隨軸壓比的增大,構件的彈性剛度增大,當軸壓比>0.3時,隨軸壓比的增大,構件的彈性剛度減小。縱筋配筋率與混凝土強度等級的提高都會增大柱的壓彎承載力,其中縱筋配筋率由1.2%增大到1.8%、2.4%,構件的彈性剛度最大可分別提高4.8%、9.0%,混凝土強度等級由C40增大到C50,構件的彈性剛度最大可提高8.0%。

(3)對于矩形弱軸柱,當軸壓比≤0.2時,隨軸壓比的增大,構件的彈性剛度增大,當軸壓比>0.2時,隨軸壓比的增大,構件的彈性剛度減小。縱筋配筋率與混凝土強度等級的提高都會增大柱的壓彎承載力,其中縱筋配筋率由1.2%增大到1.8%、2.4%,構件的彈性剛度最大可分別提高6.7%、11.3%,混凝土強度等級由C40增大到C50,構件的彈性剛度最大可提高6.8%。

(4)綜上所述,當軸壓比≤0.2時,隨軸壓比的增大,柱的彈性剛度增大,當軸壓比>0.2時,隨軸壓比的增大,柱的彈性剛度減小。提高縱筋配筋率與混凝土強度等級均能增大柱的彈性剛度。

2.3 壓彎柱截面軸力-彎矩相關曲線實用計算公式

對于壓彎構件,截面極限彎矩M0受軸壓比的影響表現為:小軸壓比時(大偏壓),隨軸壓比的增大,極限彎矩M0增大;大軸壓比時(小偏壓),隨軸壓比的增大,極限彎矩M0減小,可知兩者的數學關系類似于拋物線,如圖8所示。基于圖8,足尺鋼筋混凝土柱壓彎軸力-彎矩關系曲線可以用一個參數的拋物線加以擬合,公式為

圖8 典型壓彎構件截面N0/Nu-M0/Mu相關曲線示意圖Fig.8 Schematic diagram of N0/Nu-M0/Mu correlation curve of typical bending member section

(1)

式(1)中:N0為截面軸壓力,即軸壓比與Nu的乘積;Nu為軸心受壓承載力,Nu=fcAc+fyAy,其中fc為混凝土的軸心抗壓強度,Ac為截面面積,fy為縱筋的屈服強度,162個算例的縱筋型號均為HRB400,故屈服強度都為400 MPa,Ay為所配縱筋的面積;M0為截面彎矩,M0=PL+N0e0,其中P為水平峰值承載力,L為柱的高度,N0為截面軸壓力,e0為荷載達到40%峰值承載力對應的位移;Mu為截面的極限彎矩,按《混凝土結構設計規范GB50010—2010》[10]中雙筋矩形正截面承載力公式計算,即Mu=f′yA′s(h0-a′s)+α1fcbx(h0-x/2),其中f′y為受壓區縱筋的屈服強度,A′s為受壓區縱向受力鋼筋的截面面積,h0為截面的有效高度,a′s為從受壓區邊緣到受壓區縱向受力鋼筋合力作用點之間的距離,當混凝土強度等級大于C25,對于受彎構件,當受壓鋼筋按一排布置時,可取a′s=35 mm,當受壓鋼筋兩排布置時,可取a′s=60 mm,系數α1取1.0,fc為軸心抗壓強度,b為截面寬度,x為受壓區高度;α為與軸壓比、混凝土軸心抗壓強度及縱筋配筋率相關的系數。

對于N0、Nu、M0、Mu可經過計算得到,通過162個壓彎柱計算得到的α加以擬合,得到關于α的實用計算公式為

α=1.90n+0.03fc-55.70ρ+1.02

(2)

可見:α是一個與軸壓比、混凝土強度等級及縱筋配筋率3個參數相關的系數,隨軸壓比的增大、混凝土強度的增大而增大,隨縱筋配筋率的增大而減小。圖9(a)對比了按式(2)計算出的α與有限元得出的α,兩者比值的均值為1.014,離散系數為0.103,表明公式的計算精度較高。圖9(b)對比了按式(1)與式(2)計算出柱的承載力與有限元得到的柱的承載力,兩者比值的均值為1.012,離散系數為0.093,可見公式計算的精度較高。

圖9 公式計算結果與有限元結果對比Fig.9 Comparison between formula calculation results and finite element results

圖10為公式計算柱的軸力-彎矩相關曲線與有限元的軸力-彎矩曲線對比,總體上看,公式計算結果略大于有限元結果,但二者曲線趨勢一致,表明公式計算的軸力-彎矩曲線可較好的反映有限元分析結果,可為該類壓彎柱的設計與加固提供依據和參考。

圖10 公式計算軸力-彎矩曲線與有限元曲線對比Fig.10 Comparison between axial force-moment curve calculated by formula and finite element curve

2.4 壓彎柱截面剛度實用計算公式

對于鋼筋混凝土壓彎構件,截面剛度(EI)為截面的彈性階段的彎矩Mu與截面的曲率φ的比值,故有

(3)

式(3)中:Mu為截面的極限彎矩,Mu=FL+Ne0,其中F為0.4倍峰值承載力處的位移對應的荷載,L為柱高,N為軸壓力,e0為0.4倍峰值承載力處的水平位移;φ為0.4倍峰值承載力處截面的曲率,φ=(ε1-ε2)/h,其中ε1、ε2分別為截面受拉、受壓區的應變,h為截面的高度。

圖11列出了162個足尺柱的截面剛度,包括54個方柱、54個矩形強軸柱54個矩形弱軸加載柱,可見:當軸壓比從0增大為0.2時,柱子的截面剛度為線性增大趨勢,當軸壓比從0.2增大為0.8時,柱子的截面剛度變化較小。

圖11 162個足尺柱的截面剛度Fig.11 Section Stiffness of 162 Full-Scale Columns

對于鋼筋混凝土受彎構件,構件的截面剛度計算公式為

EI=EsIs+kEcIc

(4)

式(4)中:EI為柱截面剛度;Es為鋼筋的彈性模量,取206 GPa;Is為縱筋截面的慣性矩;Ec為混凝土的彈性模量,C40、C50的彈性模量分別為32 489.54、34 998.3 MPa;Ic為混凝土截面的慣性矩;k為1個系數。

對于式(4)可知,截面剛度EI、縱筋截面剛度EsIs、混凝土截面剛度EcIc均可由計算得到,對比了軸壓比(0～0.8)、縱筋配筋率(1.2%、1.8%、2.4%)、混凝土強度等級(C40、C50)對系數k的影響,如圖12和圖13所示,可知:當軸壓比≤0.2時,隨著軸壓比的增大,系數k呈線性增大趨勢;當軸壓比>0.2時,隨著軸壓比繼續增大,系數k上升趨勢較小,且縱筋配筋率與混凝土強度等級的增大對系數k的影響較小。

圖12 縱筋配筋率對系數k的影響Fig.12 Effect of longitudinal reinforcement ratio on coefficient k

圖13 混凝土強度等級對系數k的影響Fig.13 Effect of concrete strength grade on coefficient k

通過有限元計算得出162個系數k值,將162個系數k加以擬合得到關于系數k的實用計算公式為

(5)

式(5)考慮了壓彎柱在不同軸壓比時截面剛度的變化,由式(5)可知:當軸壓比n≤0.2時,隨著軸壓比n的增大,柱的截面剛度也隨之增大;當軸壓比n≥0.2時,隨軸壓比n的增大,柱截面剛度變化較小。圖14(a)對比公式計算出的系數k與有限元得出的系數k,兩者的比值均值為0.989,離散系數為0.053,表明提出的實用計算公式具有較高的精度,與有限元結果吻合較好。為此,進一步對比了按公式計算出的截面剛度與有限元計算出的柱截面剛度,如圖14(b)所示,兩者的比值均值為1.045,離散系數為0.036,可見該公式有較高的精度與適用性,可為實際工程壓彎柱的設計與加固作一定的參考。

圖14 公式計算結果與有限元結果對比Fig.14 Comparison between formula calculation results and finite element results

3 結論

建立了162個足尺鋼筋混凝土柱三維實體精細有限元模型,進行了壓彎性能參數分析,分析了軸壓比、混凝土強度等級、縱筋配筋率、截面形狀以及強弱軸加載對柱的承載力、剛度以及延性的影響,最后根據162個壓彎柱有限元結果提出了壓彎柱截面軸力-彎矩相關曲線實用計算公式以及截面剛度實用計算公式。得到如下結論。

(1)當軸壓比≤0.4時,隨軸壓比的增大,柱的壓彎峰值承載力增大,當軸壓比>0.4時,隨軸壓比的增大,柱的壓彎峰值承載力減小,提高縱筋配筋率與混凝土強度等級均能有效的增大柱的壓彎峰值承載力,且提高縱筋配筋率的效果更好。

(2)當軸壓比≤0.2時,隨軸壓比的增大,柱的彈性剛度增大,當軸壓比>0.2時,隨軸壓比的增大,柱的彈性剛度減小,提高縱筋配筋率與混凝土強度等級均能的增大柱的彈性剛度。

(3)通過162個壓彎柱有限元分析結果,提出了關于軸壓比、縱筋配筋率及混凝土強度三種參數影響下的壓彎柱截面軸力-彎矩相關曲線實用計算公式以及不同軸壓比下柱截面剛度實用計算公式,公式的計算結果與有限元結果吻合較好,表明公式具有較高的精度與可行性,可為實際工程中鋼筋混凝土框架柱的設計與加固提供一定的支撐與參考。