大跨度吊裝機器人繩索張力及工作空間求解

劉將, 王生海, 李建, 何云鵬, 孫玉清, 陳海泉

(大連海事大學輪機工程學院, 大連 116026)

20世紀80年代,繩驅動并聯機器人問世,近些年學者們不斷對其研究。傳統機器人以剛性連桿為傳動單元,工作空間小[1]。繩驅動并聯機器人以繩索為傳動單元,將電機的運動和力轉換成動平臺的運動和力[2]。起重機用于貨物吊裝和工程建設領域,但其工作空間小,重量大[3-4]。與傳統起重機相比,繩驅動并聯機器人具有速度快、工作空間大等優點。大跨度繩驅動并聯機器人結構簡單,控制容易,可以用于貨物吊裝、煤質采樣和賽事直播等領域[5]。段寶巖院士率領科研團隊,將繩驅動并聯機器人技術應用至五百米口徑球面射電望遠鏡(five-hundred-meter aperture spherical radio telescope,FAST)上,FAST 的饋源支撐系統采用六索驅動饋源艙的方式進行運動。August Design 公司開發了一種名為SkyCam 的攝像機器人,其最高速度高達44.8 km/h,廣泛用于高速攝影。

由于繩索自重的存在,繩索形狀不是直線[6]。懸鏈線是一種常見曲線,用于描述在均勻重力作用下懸索的形狀[7]。由于繩索自重的影響,懸索的構型和張力發生變化,目前對懸鏈線的研究,主要集中于平面范圍內[8]。大跨度吊裝機器人的繩索跨度大,動力學建模時需要考慮繩索自重的影響。

為了吊裝機器人的安全平穩運行,優化后的張力需光滑連續變化。李建等[9]將相關力改進的最小方差為優化目標,求得繩索張力優化解。何俊波等[10]將相關力的最小p范數為優化目標,求出繩索張力優化解,但當p過大時,張力求解方法無法使用。劉嘉韌[11]采用力優化迭代算法求解繩索張力,但迭代次數過多會影響系統性能。本文研究提出二次規劃方法,根據二次規劃優化算法求解懸鏈線模型中的繩索張力和繩長。

對于繩驅動并聯機器人,工作空間的分析尤為重要。由于繩索單向受力,工作空間的分析不應從位置角度出發,而應從繩索張力角度出發[12]。

現將繩驅動并聯機器人應用于吊裝領域,分別建立繩索的直線模型和懸鏈線模型,比較兩種模型的繩長,分析繩索的懸鏈線效應。

1 機器人模型

本文研究大跨度繩驅動并聯吊裝機器人,吊裝機器人的模型圖如圖1所示,該大跨度吊裝機器人由電機、立柱、驅動繩索及動平臺4部分組成;點A1、A2、A3、A4、A5、A6為吊裝機器人的6個出繩點,點B1、B2、B3、B4、B5、B6為繩索與動平臺的6個鉸接點,Ai(i=1,2,…,6)均勻分布于半徑250 m的圓周上,動平臺的頂面和底面都是半徑5 m的圓周,Bi(i=1,3,5)均勻分布于動平臺的底面圓周上,Bi(i=2,4,6)均勻分布于動平臺的頂面圓周上,{o}為局部坐標系,{O}為全局坐標系,P點為動平臺的質心,P點與{o}的坐標原點重合,各個坐標軸的方向如圖1所示。

圖1 吊裝機器人的模型圖Fig.1 Model diagram of hoisting robot

(1)

1.1 運動學模型

1.1.1 運動學逆解

(2)

Ai和Bi的數值如表1所示。已知P=[xyz]T和θi,長計算結果如表2所示。

表1 吊裝機器人結構參數Table 1 Structural parameters of hoisting robot

表2 運動學逆解仿真結果Table 2 Kinematic inverse solution simulation results

1.1.2 運動學正解

式(3)為由6個方程構成的非線性方程組,非線性方程組很難求得精確解,一般通過數值方法尋找方程的近似解。本文研究采用數值迭代法求解式(3),數值迭代法的原理是用初始值代入,經過有限次的迭代,產生一個近似解,該近似解在誤差允許范圍內。

(3)

采用數值迭代法求解運動學正解的步驟為

Fi(X)=|Li|2-Li2

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

迭代步驟為

JδXk=-F(X)

(9)

|δXk|<ε

(10)

Xk+1=Xk+δXk

(11)

式中:ε為設定的容差;δXk=-J+F(X),其中J+為J的偽逆,根據矩陣理論相關知識,J+=(JTJ)-1JT。

表3 運動學正解仿真結果Table 3 Kinematics positive solution simulation results

采用數值迭代法求解運動學正解,該方法計算速度快,進行5次迭代計算,基本可求得近似解。

1.1.3 繩索速度

動平臺的規劃軌跡為圓形,方程為

(12)

Ui方向與繩索張力方向相同,單位向量Ui的計算公式為

(13)

運動學雅可比矩陣J2為

(14)

J1為吊裝機器人的動力學雅可比矩陣。

(15)

動平臺速度向量為

(16)

(17)

1.1.4 繩索加速度

對式(12)求導可得繩索的加速度,但求導過程復雜,不便理解。通過數值求導的方法求解繩索加速度。通過式(1)和式(11)可得旋轉矩陣為

(18)

采用數值求導求解繩索加速度的步驟如下。

(19)

繩長的表達式為

(20)

(21)

進一步對式(21)求導可得繩索加速度為

(22)

式(22)中:wi=(x+xBi-xAi)2+(y-yBi-yAi)2+(z-zBi-zAi)2。

1.2 動力學模型

動平臺所受的外力為FR,外力矩為MR;張力大小為Ti(i=1,2,…,6),張力矢量為Ti,且Ti=TiUi。動平臺的靜力學方程為

(23)

將式(23)整理成矩陣形式為

J1T=W1

(24)

根據動靜法建立動平臺的動力學方程為

(25)

將式(25)整理成矩陣形式為

J1T=W2

(26)

2 懸鏈線模型

2.1 懸鏈線建模

對于大跨度的吊裝機器人而言,繩索的長度較長,需要考慮繩索自重,此時繩索為懸鏈線模型。

對大跨度的繩索進行受力分析,如圖2所示。在圖2中,以單根繩索為研究對象建立坐標系{o1},繩索的垂直距離為h,水平距離為l;繩索兩端的張力大小分別為TA和TB;H為張力的水平分量,H保持不變,即H=HA=HB,V為張力的垂直分量;單位長度的繩索重力為q=3.43 N/m。取繩索微元段進行受力分析,由于繩索自重的影響,V發生變化,繩索微元段的力平衡方程為

圖2 懸鏈線受力分析圖Fig.2 Catenary force analysis diagram

(27)

(28)

繩索微元段長度滿足的關系為

(dx)2+(dz)2=(ds)2

(29)

聯立式(28)和式(29)可解得懸鏈線方程為

(30)

將繩索的邊界條件z|x=0=h,z|x=l=0代入式(30)解得c1、c2為

(31)

進一步求得懸鏈線模型的繩長為

(32)

繩索為直線模型時,繩長為

(33)

比較式(32)和式(33)可知,懸鏈線模型的繩長大于直線模型的繩長。如圖2所示,繩索在Bi點的張力方向沿Bi點的切線方向,張力的水平分量保持不變,設張力的水平分量HB與張力TB的夾角為φ,張力的垂直分量為

(34)

根據式(34)可求得φ為

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

大跨度的繩索為懸鏈線模型,此時機器人系統的動力學雅可比矩陣為

(40)

懸鏈線模型中動平臺的動力學方程為

J″1T=W2

(41)

2.2 張力優化

二次規劃的優化模型為

(42)

式(42)中:Q為6階單位矩陣;繩索的張力下限為tmin=0 N,Tmin=[tmintmin…tmin]T∈R6×1;繩索的張力上限為tmax=50 000 N,Tmax=[tmaxtmax…tmax]T∈R6×1。

通過式(26)求得直線模型的繩索張力,將其作為T的初始值代入式(42)可求得懸鏈線模型中繩索張力的優化解,進而可求得懸鏈線模型中的繩長。

3 工作空間分析方法

根據繩索特性和靜力學方程進行分析,吊裝機器人的工作空間分為力封閉工作空間(wrench closure workspace,WCW)和力可達工作空間(wrench feasible workspace,WFW)兩種形式。力封閉工作空間的分析不必考慮動平臺的重力和張力限制條件,但力可達工作空間的分析需要考慮張力限制條件。

電機收放繩索,在動平臺上產生任何力與力矩,位姿點構成的集合為力封閉工作空間。力封閉工作空間的判斷條件為

rank(J1)=n

(43)

式(43)中:rank(J1)為J1的秩;n為自由度數。

當繩索張力滿足限制條件時,動平臺在系統框架中所能到達的區域,即吊裝機器人的力可達工作空間。根據動平臺的靜力學方程,以及繩索張力需介于張力下限和張力上限之間,動平臺在位姿點不發生奇異,力可達工作空間的判別條件為

(44)

綜上所述,求解機器人工作空間的步驟如下。

(1)以一定的步長,將框架尺寸離散化,形成離散的位姿點。

(2)依次取每個位姿點的位置坐標,求出位姿點對應的rank(J1),通過式(24)求出繩索張力,驗證是否滿足工作空間的判別條件。若滿足式(43),則此位姿點屬于力封閉工作空間;若滿足式(44),則此位姿點屬于力可達工作空間;否則,舍棄此位姿點。

(3)計算完所有位姿點,得到所有滿足條件的位姿點構成的集合,即為所求的力封閉工作空間和力可達工作空間。

4 仿真驗證

為了驗證本文所建立的大跨度吊裝機器人的動力學模型、張力優化算法和工作空間分析方法,將對圖1所示的大跨度吊裝機器人進行仿真分析。

根據式(12),利用MATLAB做出P點的運動軌跡,運動軌跡為空間水平圓周,如圖3所示。

圖3 運動軌跡Fig.3 Trajectory of motion

圖4為動平臺P點沿X、Y兩個方向的軌跡,由圖4可知,P點沿X方向的軌跡按余弦規律變化,沿Y方向的軌跡按正弦規律變化。

圖4 沿X、Y方向的運動軌跡Fig.4 Trajectories in theX and Y directions

當動平臺按規劃軌跡運動時,根據式(2)和式(12),求出繩索長度隨時間的變化,如圖5所示。由圖5中,各根繩索的長度隨時間連續變化,繩長未發生突變,表明吊裝機器人可以平穩運行。

圖5 各根繩索的長度Fig.5 The length of each cable

根據式(17)求出繩索速度隨時間的變化,如圖6所示。在圖6中,以第5根繩索為例,在0～11 s和43～62 s兩個時間段內,繩速為負,對應的繩長減小;在11～43 s時間段內,繩速為正,對應的繩長增加。

圖6 各根繩索的速度Fig.6 The speed of each cable

根據式(22),通過幾何關系求得繩索加速度隨時間的變化,如圖7所示。在圖7中,以第6根繩索為例,在0～7 s和38～62 s這兩個時間段內,繩索加速度為負,對應的繩速減小;在7～38 s時間段內,繩索加速度為正,對應的繩速增加。

圖7 各根繩索的加速度Fig.7 The acceleration of each cable

根據式(26),求得繩索張力隨時間的變化,如圖8所示。在圖8中,各根繩索張力均大于張力下限,表明動平臺運動過程中繩索未發生虛牽;張力均小于張力上限,可以避免繩索被拉斷,確保吊裝機器人的安全平穩運行。

圖8 各根繩索的張力Fig.8 The tension of each cable

J′1∈R3×6由J1∈R6×6的前三行數據構成的矩陣,J′1T表示在{O}中,將6根繩索張力在X、Y和Z三個方向進行分解。6根繩索張力在X、Y兩個方向的分力如圖9所示,6根繩索張力在Z方向的分力如圖10所示。在圖10中,由于z=152為定值,動平臺在Z方向的加速度為零,張力在Z方向的分力保持不變,等于動平臺的重力。

圖9 X、Y方向的分力Fig.9 Component forces in the X and Y directions

圖10 Z方向的分力Fig.10 Component force in the Z direction

(45)

式(45)中:D為張力誤差向量;J′1T∈R3×1為張力在X、Y和Z三個方向的分力;W′2∈R3×1由W2的前三行數據構成的向量;DX、DY和DZ分別為D在X、Y和Z三個方向的分量。

根據式(45)求得張力誤差如圖11所示。由圖11可知,三個方向的張力誤差比較小,總體來看,DX>DY>DZ,表明X方向的張力誤差最大,Z方向的張力誤差最小。

圖11 張力誤差Fig.11 Error of tension

根據式(42)采用二次規劃優化方法求解懸鏈線模型中繩索張力,如圖12所示。懸鏈線模型中的繩索長度變化如圖13所示。

圖12 懸鏈線模型中的繩索張力Fig.12 Cable tension in catenary model

圖13 懸鏈線模型中的繩索長度Fig.13 Cable length in catenary model

比較兩種繩索模型,繩索長度發生變化。

DL=L′-L

(46)

根據式(46)求得繩長增量,如圖14所示。在圖14中,第1、3根繩索的繩長增量較大,其余4根繩索的長度基本不變。第1、3根繩索的張力均小于5 000 N,第1、3根繩索較長,相比于繩索張力,繩索自重不容忽視,在動平臺運動過程中,繩索下垂比較明顯,表現為繩長增量大;其余4根繩索的張力均大于5 000 N,相比于繩索張力,繩索自重較小,繩索下垂不明顯,表現為繩長增量基本為0。

圖14 繩長增量Fig.14 Increment ofcable length

力封閉工作空間如圖15所示。力可達工作空間如圖16所示。

圖15 力封閉工作空間Fig.15 Wrench closure workspace

圖16 力可達工作空間Fig.16 Wrench feasible workspace

在θ1=-π、θ2=0、θ3=0的條件下求得工作空間。在圖15中,力封閉工作空間呈圓柱形,充滿系統框架所圍成的區域。在圖16中,與力封閉工作空間相比,力可達工作空間的判別條件更加復雜,故力可達工作空間小于力封閉工作空間。

5 結論

對吊裝機器人進行研究,得到以下結論。

(1)對直線模型中的繩索張力進行誤差分析,仿真結果表明,DX>DY>DZ,表明X方向的張力誤差最大,Z方向的張力誤差最小。

(2)建立繩索的懸鏈線模型,提出二次規劃優化方法,求解懸鏈線模型中的繩索張力優化解;比較兩種模型的繩長,第1根繩索的長度變化最大,表明張力較小時,繩索自重對繩長的影響不容忽略。

(3)求解吊裝機器人的工作空間,比較仿真結果,力可達工作空間小于力封閉工作空間。力封閉工作空間呈圓柱形,充滿系統框架的全部區域,表明該吊裝機器人符合吊裝工作要求。