基于改進(jìn)型指數(shù)趨近律的模糊滑模控制

馮立杰, 盛澤*, 張虎翼

(1.上海海事大學(xué)物流工程學(xué)院, 上海 201306; 2.上海飛機(jī)制造有限公司航空制造技術(shù)研究所, 上海 201306)

永磁同步電機(jī)(permanent magnet synchronous motor,PMSM)具有效率高、頻率響應(yīng)快、體積小、可靠性好等優(yōu)點(diǎn)[1],在高性能伺服系統(tǒng)中(如高精度機(jī)床、工業(yè)機(jī)器人,航空航天等)被廣泛使用。隨著永磁材料性能的不斷提高,對(duì)永磁同步電機(jī)在不同應(yīng)用場(chǎng)景下的控制精度提出了更高的要求。然而,永磁同步電機(jī)是一個(gè)強(qiáng)耦合、多變量的復(fù)雜系統(tǒng),且易受外部因素和內(nèi)部參數(shù)變化的影響,使用傳統(tǒng)的線(xiàn)性比例積分控制器往往較難滿(mǎn)足高性能控制的要求[2]。為此,中外學(xué)者提出了幾種非線(xiàn)性控制方式,如滑模控制[3-5]、預(yù)測(cè)控制[6-7]、模糊邏輯控制[8-9]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[10-11]。

在面對(duì)擾動(dòng)時(shí),滑模控制(sliding mode control,SMC)響應(yīng)速度快,對(duì)于系統(tǒng)的不確定因素具有良好的魯棒性,因此被廣泛使用在永磁同步電機(jī)的控制系統(tǒng)中[12]。然而,當(dāng)傳統(tǒng)滑模控制應(yīng)用在永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)中時(shí),會(huì)因?yàn)橄到y(tǒng)結(jié)構(gòu)單一,趨近速度不能得到精確控制從而產(chǎn)生明顯的超調(diào),同時(shí),由于滑模面的不斷切換系統(tǒng)產(chǎn)生較大抖振,在實(shí)際的應(yīng)用過(guò)程中導(dǎo)致電機(jī)機(jī)械部件產(chǎn)生額外的震動(dòng)和摩擦,降低系統(tǒng)穩(wěn)定性和控制精度。為了削弱抖振并提高系統(tǒng)的動(dòng)、靜態(tài)性能,Wang等[13]設(shè)計(jì)了一種新型變指數(shù)趨近律,將系統(tǒng)狀態(tài)變量引入等速項(xiàng),加快趨近速度的同時(shí)減小了系統(tǒng)抖振,但超調(diào)問(wèn)題沒(méi)有得到解決。許柯[14]通過(guò)引入模糊控制實(shí)現(xiàn)了變參數(shù)滑模控制,減少了到達(dá)滑模面的時(shí)間,提升了抗干擾能力,但系統(tǒng)的穩(wěn)定性有待加強(qiáng)。王其銘等[15]在變指數(shù)趨近率的基礎(chǔ)上引入加權(quán)積分項(xiàng),消除了系統(tǒng)超調(diào),但滑模參數(shù)多且設(shè)置復(fù)雜。朱其新等[16]提出了一種基于非奇異終端滑模面的改進(jìn)型雙冪次趨近率,系統(tǒng)抖振得到減小,但抗干擾能力稍差。趙峰等[17]設(shè)計(jì)了一種分段式積分滑模速度控制器,提升了系統(tǒng)的穩(wěn)定性,但超調(diào)問(wèn)題沒(méi)有得到解決。

基于此,為進(jìn)一步提高永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的控制性能,現(xiàn)將改進(jìn)型指數(shù)趨近律與模糊控制相結(jié)合,設(shè)計(jì)一種基于改進(jìn)型指數(shù)趨近率的模糊滑模速度控制器,使得滑模增益能夠根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)自動(dòng)調(diào)節(jié),從而保證趨近速度始終處在最佳范圍。

1 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

三相PMSM是一個(gè)多變量耦合的復(fù)雜系統(tǒng),為簡(jiǎn)化分析,假設(shè)磁路不飽和,忽略鐵芯渦流損耗和磁滯損耗,空間磁場(chǎng)呈正弦分布。表貼式PMSM在d-q坐標(biāo)系中可用下列方程描述,即

(1)

式(1)中:ud和uq為d、q軸繞組電壓分量;R為定子電阻;id和iq為d、q軸繞組電流分量;在表貼式PMSM中定子電感Ld=Lq,都用Ls表示;J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;wm為電機(jī)的角速度;pn為電機(jī)的極對(duì)數(shù);TL為電機(jī)施加的外部轉(zhuǎn)矩;ψf為永磁體磁鏈。

對(duì)于表貼式PMSM而言,采用id=0的轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)控制方法能夠進(jìn)一步簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型,此時(shí)式(1)可變?yōu)?/p>

(2)

2 改進(jìn)型模糊滑模速度控制器設(shè)計(jì)

2.1 改進(jìn)型趨近率設(shè)計(jì)

為了構(gòu)造滑模函數(shù),將PMSM的轉(zhuǎn)速誤差及其導(dǎo)數(shù)定義為狀態(tài)變量,即

(3)

式(3)中:wr為目標(biāo)電角速度,一般為常數(shù);wm為實(shí)際電角速度。由式(2)和式(3)可得

(4)

(5)

選擇線(xiàn)性滑模面函數(shù),即

s=cx1+x2

(6)

式(6)中:c>0,為系統(tǒng)待設(shè)計(jì)參數(shù)。

對(duì)式(6)求導(dǎo)可得

(7)

為進(jìn)一步提高PMSM控制系統(tǒng)的動(dòng)、靜態(tài)品質(zhì),選取以下改進(jìn)的指數(shù)趨近律,即

(8)

式(8)中:ε>0;k>0。

當(dāng)系統(tǒng)距滑模面無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí),即|s|趨于無(wú)窮,則f(s)趨于無(wú)窮,系統(tǒng)加速趨向滑模面;當(dāng)系統(tǒng)距滑模面近時(shí),即|s|趨于0,則f(s)趨于0,系統(tǒng)以較低速度趨近滑模面,相較于傳統(tǒng)指數(shù)趨近率在一定程度上抑制了超調(diào),削弱了抖振,系統(tǒng)的自適應(yīng)能力進(jìn)一步增強(qiáng)[18]。

由式(7)和式(8)可得控制器表達(dá)式為

(9)

傳統(tǒng)指數(shù)趨近率中的普通符號(hào)函數(shù)是不連續(xù)的,在零點(diǎn)附近會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生高頻抖動(dòng),為了使系統(tǒng)能夠平滑切換,對(duì)其進(jìn)行改進(jìn),改進(jìn)前后的圖像如圖1所示。

圖1 改進(jìn)前后符號(hào)函數(shù)Fig.1 Symbol function before and after improvement

(10)

式(10)中:a為數(shù)值較小且大于零的常數(shù),選取a=0.008。

由圖1可知,通過(guò)引入?yún)?shù)a使得符號(hào)函數(shù)在零點(diǎn)處從不連續(xù)變?yōu)檫B續(xù),在一定程度上可以削弱因符號(hào)函數(shù)在零點(diǎn)處的跳變而引起的系統(tǒng)抖振。

最終得到轉(zhuǎn)矩參考電流,即

(11)

為了證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性,選取李雅普諾夫函數(shù),即

(12)

對(duì)式(12)求導(dǎo)可得

(13)

2.2 改進(jìn)型趨近率控制性能分析

選用如式(14)所示的系統(tǒng)對(duì)改進(jìn)后的指數(shù)趨近率進(jìn)行性能分析。

(14)

設(shè)滑模面函數(shù)s=Cx,其導(dǎo)數(shù)為

(15)

綜合式(8)、式(14)和式(15),得到控制器的表達(dá)式為

u=(CB)-1[-CAx-εf(s)sgn(s)-ks]

(16)

圖2 趨近率控制性能對(duì)比Fig.2 Performance comparison of approach rate control

仿真結(jié)果表明:改進(jìn)型指數(shù)趨近率相比于傳統(tǒng)指數(shù)趨近率趨近速度更快,抖振減弱明顯,控制性能得到改善。

2.3 模糊控制設(shè)計(jì)

在基于指數(shù)趨近率而設(shè)計(jì)的PMSM滑模速度控制器中,滑模增益c通常是固定,但對(duì)于非線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)而言,固定的參數(shù)會(huì)對(duì)不同時(shí)刻系統(tǒng)的控制精度產(chǎn)生影響,導(dǎo)致輸出響應(yīng)滯后于輸入信號(hào)的變化,系統(tǒng)在穿越切換面時(shí)速度過(guò)快,從而產(chǎn)生較大的超調(diào)量。針對(duì)這一問(wèn)題,將模糊控制引入SMC中,柔化滑模增益,使系統(tǒng)的趨近速度動(dòng)態(tài)變化。

2.3.1 模糊化

圖3 模糊控制輸入輸出隸屬函數(shù)Fig.3 Fuzzy control input and output membership function

2.3.2 模糊規(guī)則

趨近率增益c的模糊控制規(guī)則如表1所示。

表1 模糊控制規(guī)則表Table 1 Fuzzy control rule table

2.3.3 模糊推理和清晰化計(jì)算

使用Mamdani最小運(yùn)算法進(jìn)行模糊推理,推理出的控制量選用重心法進(jìn)行解模糊,輸出結(jié)果的表達(dá)為

(17)

式(17)中:z0為解模糊化后輸出的清晰值;zi為第i個(gè)論域的中心值;μc(zi)為第i個(gè)論域所對(duì)應(yīng)的隸屬度。求出清晰值后再經(jīng)過(guò)尺度變換,就能最終輸出為控制量c的實(shí)際值。

3 仿真驗(yàn)證

采用如圖4所示的PMSM調(diào)速系統(tǒng)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

圖4 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.4 Control system structure diagram

建立MATLAB/Simulink仿真模型,將使用不同控制方案的電機(jī)轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩以及電流的變化情況進(jìn)行對(duì)比分析,從而驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的改進(jìn)型模糊指數(shù)趨近率的有效性以及相較于傳統(tǒng)指數(shù)趨近率的優(yōu)越性。

仿真條件設(shè)置為:電機(jī)初始時(shí)刻負(fù)載為0,逆變器開(kāi)關(guān)頻率為10 kHz,直流側(cè)電壓U=311 V,采用變步長(zhǎng)ode23tb算法,仿真時(shí)間設(shè)置為0.4 s。選取電機(jī)參數(shù)為:定子電感Ls=8.5 mH,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.003 kg·m2,定子電阻R=2.875 Ω,轉(zhuǎn)子磁鏈ψf=0.175 Wb,極對(duì)數(shù)Pn=4,阻尼系數(shù)B=0.008 N·m·s。

經(jīng)仿真分析,傳統(tǒng)指數(shù)趨近率、改進(jìn)型指數(shù)趨近率和改進(jìn)型模糊指數(shù)趨近率三種控制策略下系統(tǒng)在啟動(dòng)階段(參考轉(zhuǎn)速設(shè)定為1 000 r/min)和突加負(fù)載階段(在0.2 s突加10 N負(fù)載)轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線(xiàn)如圖5和圖6所示。不同趨近率轉(zhuǎn)速響應(yīng)數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 不同趨近率性能對(duì)比Table 2 Performance comparison of different approaching rates

圖5 PMSM轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.5 PMSM speed response curve

圖6 突加負(fù)載時(shí)電磁轉(zhuǎn)矩曲線(xiàn)局部放大圖Fig.6 Local amplification diagram of electromagnetic torque curve under sudden load

由圖5和表2可知:在電機(jī)啟動(dòng)階段,傳統(tǒng)指數(shù)趨近率會(huì)出現(xiàn)較大的轉(zhuǎn)速超調(diào),改進(jìn)型指數(shù)趨近率相比于傳統(tǒng)指數(shù)趨近率轉(zhuǎn)速超調(diào)下降了54%,恢復(fù)穩(wěn)定的時(shí)間縮短了0.01 s,而改進(jìn)型模糊指數(shù)趨近率由于趨近速率的實(shí)時(shí)調(diào)整,能做到無(wú)轉(zhuǎn)速超調(diào)啟動(dòng),恢復(fù)穩(wěn)定的時(shí)間再縮短0.07 s。

在突加負(fù)載階段,改進(jìn)型指數(shù)趨近率相比于傳統(tǒng)指數(shù)趨近率轉(zhuǎn)速波動(dòng)幅度減小了26%,恢復(fù)穩(wěn)定時(shí)間縮短了0.02 s,改進(jìn)型模糊指數(shù)趨近率轉(zhuǎn)速波動(dòng)幅度在此基礎(chǔ)上又減小了19%,恢復(fù)穩(wěn)定時(shí)間再縮短0.02 s。

由圖6可知,當(dāng)系統(tǒng)突加負(fù)載時(shí),傳統(tǒng)指數(shù)趨近率響應(yīng)速度最慢,且在0.27 s時(shí)電磁轉(zhuǎn)矩才到達(dá)穩(wěn)態(tài);改進(jìn)型指數(shù)趨近率相比于傳統(tǒng)指數(shù)趨到達(dá)穩(wěn)定的時(shí)間減少了0.01 s;改進(jìn)型模糊指數(shù)趨近率由于滑模趨近速率的實(shí)時(shí)增大,響應(yīng)速度最快,且在0.24 s時(shí)電磁轉(zhuǎn)矩就恢復(fù)了穩(wěn)定,系統(tǒng)有著更佳的抗負(fù)載突變能力。

傳統(tǒng)指數(shù)趨近率與改進(jìn)型模糊指數(shù)趨近率的三相電流變化曲線(xiàn)如圖7和圖8所示。

圖7 傳統(tǒng)指數(shù)趨近率的三相電流變化曲線(xiàn)Fig.7 Three-phase current variation curve of traditional exponential approach rate

圖8 改進(jìn)型模糊指數(shù)趨近率的三相電流變化曲線(xiàn)Fig.8 Three-phase current variation curve of improved fuzzy exponential approach rate

由圖7和圖8可知,三相電流在第一次趨于穩(wěn)定的過(guò)程中,傳統(tǒng)指數(shù)趨近率的電流波動(dòng)大,在0.08 s處達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài);改進(jìn)型模糊指數(shù)趨近率電流曲線(xiàn)波動(dòng)更小,且更加平穩(wěn),在0.03 s處達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),相比于傳統(tǒng)指數(shù)趨近率減小了0.05 s。在突加10 N負(fù)載后三相電流第二次趨于穩(wěn)定的過(guò)程中,改進(jìn)型模糊指數(shù)趨近率電流響應(yīng)速度更快,穩(wěn)定性更好。

由以上仿真結(jié)果可知:相比于傳統(tǒng)指數(shù)趨近率,改進(jìn)型模糊指數(shù)趨近率能做到無(wú)轉(zhuǎn)速超調(diào)啟動(dòng),系統(tǒng)趨近速度更快,穩(wěn)態(tài)誤差更小,當(dāng)電機(jī)受到外部擾動(dòng)時(shí),轉(zhuǎn)速及轉(zhuǎn)矩響應(yīng)速度更快,穩(wěn)定性更強(qiáng),系統(tǒng)的抗干擾能力得到改善,實(shí)驗(yàn)方案的有效性和優(yōu)越性得到驗(yàn)證。

4 結(jié)論

基于改進(jìn)型指數(shù)趨近率,提出了一種新型模糊滑模控制方法,該方法將模糊控制理論引入SMC中,通過(guò)設(shè)置系統(tǒng)到達(dá)滑模面的距離與滑模增益之間的模糊規(guī)則,柔化控制信號(hào),使得趨近速率跟隨系統(tǒng)狀態(tài)動(dòng)態(tài)變化。同時(shí),根據(jù)采用矢量控制的PMSM調(diào)速系統(tǒng)的特點(diǎn),將其運(yùn)用到速度控制器中,并與傳統(tǒng)滑模控制進(jìn)行仿真對(duì)比。

研究結(jié)果表明,空載啟動(dòng)時(shí),該速度控制器能實(shí)現(xiàn)PMSM無(wú)超調(diào)啟動(dòng),突加負(fù)載轉(zhuǎn)矩時(shí),系統(tǒng)波動(dòng)更小且恢復(fù)穩(wěn)定時(shí)間更短。從而說(shuō)明所設(shè)計(jì)的滑模速度控制器能在一定程度上改善調(diào)速系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能、靜態(tài)性能,增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性,是提高PMSM控制系統(tǒng)品質(zhì)的一種有效方法。