滑坡作用下埋地管道的彈塑性地基反力解析法

尚玉杰, 徐東霞, 趙彥波, 陳彬, 周亞薇, 李鑫, 薛峰

(1.國家管網集團工程技術創新有限公司, 天津 300457; 2.中國石油管道學院, 廊坊 065000)

隨著油氣管道工程的大量建設,建設經驗逐漸積累,滑坡地質災害對管道安全的影響逐漸受到人們的重視。針對滑坡作用下管道受力變形失效問題,曾有學者對進行過探討和研究,以便采取針對性措施保證管道的安全運行。目前分析方法可劃為3類:基于土彈簧的有限元法、模型試驗法和彈性地基反力法。

有限元法將管道離散為有限個單元,通過插值法的使用,將連續的無限自由度問題轉化成有限自由度問題,對單元進行逐個分析后整體求解。由于該方法能夠對管—土相互作用進行較全面的分析,且能處理復雜問題,因此被廣泛應用于滑坡段管道強度失效分析[1-2]、滑坡作用下管道內力及變形分析[3-8]、多跨管段之間相互作用研究[9]等管土接觸問題的分析中。Han等[3]和吳玉良等[4]采用有限元的方法,對橫向滑坡作用下管道的位移、應力和穩定性進行了分析,并得到了徑厚比對管道位移和應力的影響;陳利瓊等[5]、唐正浩等[6]和黃坤等[7]對橫向滑坡和縱向滑坡兩種工況下管道的應力進行分析,相對于縱向滑坡,橫向滑坡對管道的危害大得多,管道易發生局部屈曲和拉伸斷裂;張會遠等[8]采用數值模擬和靜力學分析方法對管道橫穿滑坡工況下的應力應變和位移特征進行分析,兩種分析方法結果基本一致。徐玲等[10]以聯絡線管道橫向滑坡為例,采用離散元與有限元單向耦合的方式,對滑坡作用下管道的動力響應進行了分析。唐俊杰等[11]采用有限元法對縱向滑坡作用下管道變形破壞機制進行了研究,分析滑坡幾何形態對管道的影響。但由于影響因素較多,數值建模及邊界條件的設置復雜,在進行實際工程實際問題分析應用時尚存在困難。

滑坡對管道影響的模型試驗研究根據尺寸大小可分為室內試驗和全尺寸試驗。Audibert等[12]通過試驗討論了側向土壓力對管道的影響,在此之后又有學者利用土體試驗箱對管道在不同條件下響應規律進行了研究,取得了一定的成果[13-15];林冬等[16]和朱勇等[17]采用全尺寸模型試驗,探討了滑坡作用對管道的力學響應作用,結果表明管道呈梁式彎曲破壞,滑坡中心及左右邊界處為整段管道的應力最大點。

彈性地基反力法的基礎是假定土體為彈性體,將其看作由多個彈簧組成,地基反力與位移呈線性關系,將管道假定為小變形的梁結構模型,對管道的應力和變形特性進行探討[18-21],但因其只適用于小荷載和小位移工況,因而不能反映管-土的非線性接觸問題。在水平受荷樁的試驗研究過程中發現[22-24],土體位移和所受反力呈非線性關系,即塑性關系。因此,只有考慮土體的塑性屈服特性才能準確反映管-土的非線性接觸問題。Hsiung等[25-26]和Guo[27-28]在考慮土體屈服的基礎上,采用簡化參數,推導得出了水平受荷單樁樁身響應的解析解;張愛軍等[29]基于彈塑性地基反力系數法,考慮土體屈服,建立了被動樁與土坡相互作用的模型,提高了計算精度。高建章等[30]基于非線性接觸的管土相互作用模型,對應力/應變準則下管道所能承受的極限滑坡位移進行了研究。王榮有等[31]基于Winkler彈性地基梁模型和滑坡推力橫向分布模型,采用解析方法與有限元法對比的方法對滑坡作用下管道的應力應變進行了分析。王金安等[32]推導了管道非均勻受力模式和均勻受力模式下管道彈性部分應力解析解,并以川氣東送管道EES244段滑坡為例,得出了滑坡作用下管道受力狀態。上述分析方法對研究滑坡段埋地管道受力變形規律有非常重要的意義,但目前還沒有能夠反映滑坡段埋地管道與土體非線性接觸的計算模型。

鑒于此,現采用俞劍等[33]提出的改進地基反力系數法,考慮土體屈服的彈塑性作用,推導一種滑坡作用下埋地管道的彈塑性地基反力解析法,用于計算管道變形和內力,結合算例計算研究了地基反力系數k0對管道變形和內力的影響,以期為滑坡作用下管道力學計算提供參考數據。

1 滑坡作用下埋地管道受力分析

1.1 埋地管道受力分析及計算模型

在滑坡作用下,管道所受到的主要作用力為:滑坡體推力及滑坡體外土體約束作用,力學模型可加以簡化,看成是彈塑性地基上的連續梁模型,如圖1所示。圖1所示平面為管道在滑坡作用下發生變形的平面,且假定下滑土體對管道的作用力q在滑坡段均勻分布[34],且不計下部土體對管道的支撐作用。在滑坡作用下,重力(管道自身及管內介質)對管道變形的影響較小,可加以忽略。假設截面C是管道變形的對稱截面,管道剛度分布,且不考慮管與管連接處端效應。截面A與B為滑坡周界。

l為滑坡寬度圖1 滑坡作用下管道力學模型Fig.1 Mechanical model of pipeline under landslide

1.2 管周土體本構關系及管-土相互作用模型

基于管-土變形協調理論,假設滑坡體外管道與土體始終接觸且共同作用,其變形量為Z。由于管道與土體的剛度不一致,且相差較大,當發生位移時,土體會先一步進入塑性變形階段,因此,土體的塑性屈服應在相關計算中加以考慮。Bowles[35]在彈性地基梁的計算中,通過簡化,提出了土抗力與位移的彈塑性本構模型,如圖2(a)所示,由此可知土抗力p為

l0為管周土體塑性變形段長度圖2 管土相互作用模型Fig.2 Model of pipe-soil interaction

(1)

式(1)中:k=k0D,其中k0為地基反力系數,N/m3;D為管道的外徑,m;pu為極限抗力,N/m;v*為土體屈服位移,mm。

將埋地管道視為彈塑性地基上的梁,滑坡體外地基梁與周圍土體的相互作用通過設置由彈簧和滑塊組成的界面單元實現。如圖2(b)所示,當土體變形處于彈性狀態時,管-土變形協調,滑塊不發生位移;當土體發生塑性變形時(l0段),滑塊發生位移,滑塊承受極限抗力并發生塑性滑動。

對埋地管道變形與內力的分析,可采用隔離法將模型分成兩部分:滑坡體外管道和滑坡段管道。

1.3 地基參數確定方法

Vesic[36]在采用地基反力法分析彈性地基上的無限長梁時,提出了地基反力系數的計算方法,目前較為常用。計算公式為

(2)

式(2)中:Es為土體變形模量,MPa;vs為土體泊松比;E為管道的彈性模量,GPa;I為管道的慣性矩,m4。

由于Vesic計算方法假定地基梁位于彈性半空間的地表,豎向集中力或彎矩位于梁的中心位置,因此不能考慮埋深對地基反力系數的影響。俞劍等[33]考慮地基土埋深的影響,對地基反力系數的計算方法進行了改進,更為符合實際情況。因此,本文研究中采用俞劍等[33]提出的計算方法,其計算公式為

(3)

η的取值為

(4)

式(4)中:H為埋深,m。

土體的屈服位移可以通過試驗得到,在沒有試驗數據的情況下,可采用經驗公式估算。Matlock[37]和Reese等[38]通過對受荷樁的現場試驗研究,給出了黏性土和砂土屈服位移的經驗表達式,分別為

(5)

式(5)中:εc為原狀土三軸不排水試驗中最大主應力差1/2時的應變,靈敏土取0.005,擾動土或重塑土取0.020,正常固結土取0.010;A為常系數,取2.5。

Stevens等[39]通過分析大直徑樁試驗的數據,對Matlock[37]提出的黏性土屈服位移計算方法進行了修正,其計算式為v*=28.48AεcD0.5。Lee等[40]通過試驗分析,提出在超軟弱土中,系數A應進行適當折減。

其他類土的屈服位移可通過唐永進[41]提出的經驗表達式估算為

(6)

2 滑坡體外管道變形與內力分析

2.1 管道受力模型及控制方程求解

建立圖3所示力學模型。X軸為未發生滑坡時的管道軸線,V軸為滑坡周界,滑坡段管道的作用力以剪力0.5ql及彎矩M0代替,將管道看成是彈塑性地基上的半無限長梁。滑坡周界處管道的撓度、轉角分別為w0和θ0。

圖3 滑坡體外管道力學模型Fig.3 Mechanical model of the landslide external pipeline

為計算方便,統一規定:彎矩以管道上側纖維受拉為正。

根據靜力平衡及材料力學假設[42],管道的撓曲微分方程為

(7)

(1)對于管周土體變形超過屈服位移進入塑性變形段(0≤X≤l0),微分方程(7)的解為

V1=PX4+C11X3+C12X2+C13X+C14

(8)

式(8)中:P=-kv*/24EI;V1為土體在塑性變形階段微分方程(7)的解。

(2)對于土體發生彈性變形段(X>l0),微分方程(7)的解為

V2=eβX(C21cosβX+C22sinβX)+e-βX(C23cosβX+C24sinβX)

(9)

2.2 定解條件及積分常數確定

方程式(8)和式(9)有8個待定參數(C11、C12、C13、C14、C21、C22、C23、C24),需要8個定解條件聯立求解。

2.2.1 邊界條件

由無限遠處的邊界條件確定積分常數。定性分析可知,當X→∞時,V2→0。并注意,當X→∞時,eβX→∞,e-βX→0,由此,可得

C21=C22=0

(10)

根據式(8)～式(10),可得出管道轉角、彎矩及剪力的表達式為

(11)

(12)

由原點處的邊界條件確定積分常數。當X=0時,M=M0,Q=0.5ql,根據式(11)可得

(13)

由此解得

(14)

2.2.2 連續性條件

根據連續性條件,從土體塑性變形段及彈性變形段逼近(X=l0),管道的撓度、轉角、彎矩、剪力滿足連續性條件,根據式(8)～式(12)得

(15)

整理后(此時l0看作已知)用矩陣形式表示為

A4×4C4×1=V4×1

(16)

求解式(16)線性方程組,得到待定參數為

(17)

式中:

C4×1=(C13,C14,C23,C24)T

(18)

(19)

(20)

式中:Cv=e-βl0cosβl0;Bv=e-βl0sinβl0。

當X=l0時,土體處于塑性臨界狀態,根據式(8)有

(21)

由式(17)可求出系數C13、C14、C23及C24(含l0),再將其代入式(21),可求得l0。

原點處撓度w0及轉角θ0為

(22)

3 滑坡段管道分析

3.1 管道受力模型及控制方程求解

建立圖4所示計算模型,x軸為未發生滑坡時的管道軸線,v軸為滑坡周界。滑坡體外土體及管道對滑坡段管道的作用力以剪力0.5ql、彎矩M0及軸力S0代替(由于x=0和x=l處管道截面的轉角很小,為了簡便計算,近似認為軸力S0平行于x軸)。

圖4 滑坡段管道力學模型Fig.4 Mechanical model of the landslide section pipeline

對滑坡段l,管道彎曲的微分方程為

(23)

方程(23)的解為

(24)

3.2 定解條件及積分常數確定

方程(24)中有4個待定參數(D1、D2、M0、S0),需要4個條件聯立求解。

根據滑坡段管道變形的對稱性及邊界條件,由式(24),可得

(25)

由此解得

(26)

式(26)中:

(27)

由式(24)可得滑坡周界x=0處管道的轉角為

(28)

式(28)中:

(29)

根據變形連續性條件,滑坡體內、外管道在滑坡周界處管道撓度和轉角相等。由以上分析知,管道撓度相等條件已經滿足。根據轉角相等條件,式(22)和式(28)聯立,可得

(30)

根據式(24),可分別計算出滑坡段管道的轉角、彎矩及剪力,整理后用矩陣形式表示管道變形的解析解為

U4×1=4×2D2×1+4×1

(31)

式(31)中:U為滑坡段x處管道的變形和內力,U=(v,θ,M,Q)T;D=(D1,D2)T。

(32)

(33)

由式(24)可得管道在x=l/2處的撓度f為

(34)

3.3 縱向位移計算

為了求解待定參數,補充管道縱向位移的關系式。

以滑坡段管道為研究對象,根據材料力學胡克定律及管道軸向應變的幾何非線性關系,有

(35)

(36)

式(35)和式(36)聯立有

(37)

(38)

通過定性分析知,截面C的軸向位移為0,因此有

(39)

式(34)和式(39)聯立可得

(40)

式(21)、式(30)和(40)聯立可解得M0及S0的值。

4 管道強度校核

對于管道等薄壁結構,一般情況下忽略徑向應力,將其應力狀態簡化成環向應力和軸向應力雙軸應力狀態[19]。

管道軸向應力σx及環向應力σθ的計算式為

(41)

Mises屈服準則是最常用的強度理論,可對應力狀態進行組合,判別管道安全性,其應力表達式為

(42)

對于管道等薄壁結構,多屬平面問題,即σ3=0,式(42)可簡化為

(43)

式(43)中:σeq為當量軸力,Pa;σ1、σ2、σ3分別為第一、第二和第三主應力,Pa。

5 算例及影響因素分析

基于本文提出的計算模型,進行管道變形和受力計算,并探討了地基反力系數k0對管道變形和內力的影響。

5.1 算例

將本文計算結果與王磊[19]基于Winkler地基模型彈性地基反力法的計算結果進行對比分析。計算參數:管道材料為X65型鋼,彈性模量E=207 GPa,管道規格為Φ711 mm×7.9 mm,即外徑D=711 mm,壁厚t=7.9 mm,管道輸送壓力p=4.0 MPa,埋深H=1.2 m。滑坡土體為碎石土,變形模量ES=0.035 GPa,泊松比vs=0.35,滑坡寬度l=40 m,滑坡體對管道的作用力q=4.35 kN/m,土體的屈服位移v*=28.7 mm。由于管道變形對稱,因此取l/2進行計算。

基于本文的計算值及文獻[19]計算結果如圖5所示。由圖5可知:采用彈塑性地基反力法得到的管道撓度、彎矩、Mises應力隨管道沿程變化趨勢與文獻[19]一致。對于管道撓度,本文彈塑性地基反力法的計算值比文獻[19]Winkler彈性地基反力法獲得結果略小,管道最大撓度值分別為0.240 6 m和0.298 0 m,約小19.3%。對于管道彎矩,本文彈塑性地基反力法計算結果與文獻[19]中的Winkler彈性地基反力法計算結果取極值的位置相同,且在滑坡周界處采用本文方法的計算值比文獻[19]的計算結果值略大,分別為452.6 kN·m和412.57 kN·m,約大8.8%。對于管道Mises應力,在滑坡周界處采用本文彈塑性地基反力法的計算結果比文獻[19]的計算值要大,分別為226、207 kPa,約大8.4%,且在離滑坡周界約6 m處至滑體中部,本文彈塑性地基反力法計算結果與文獻[19]計算結果基本一致。本文彈塑性地基反力法考慮了土體的屈服作用,更為符合工程實際。

圖5 管道撓度、彎矩及 Mises 應力與管道沿程的關系Fig.5 Relationship between pipeline deflection, bending moment, Mises stress and pipeline

5.2 地基反力系數k0的影響

為探討地基反力系數k0對管道變形和內力的影響,參考工程實際,取k0=49～195 MN/m3進行對比分析,其余參數同5.1節。計算結果如圖6所示。

圖6 不同地基反力系數時管道撓度、彎矩及 Mises 應力與管道沿程關系Fig.6 Relationship between pipe deflection, moment and Mises stress and pipeline under different coefficient of subgrade reaction

由圖6(a)可知:管道最大撓度隨地基反力系數的增大而減小,且其變化速率逐漸變緩;當地基反力系數從49 MN/m3增大到195 MN/m3時,管道最大撓度減小了22%。由圖6(b)和圖6(c)可知:隨著地基反力系數增大,滑坡周界處管道彎矩及Mises應力增大,分別增加了16.3%和5.5%;滑體中部管道彎矩及Mises應力隨地基反力系數的增大而減小,分別減小了9.8%和5.6%。地基反力系數的增加,會加強土體對管道的約束作用,從而減小管道撓度,增大滑坡周界處彎矩,提高Mises應力水平;土體對管道約束的加強,會減小滑體中部管道彎矩,降低Mises應力水平。

6 結論

基于地基反力法,考慮土體屈服,提出了一種滑坡段埋地管道的彈塑性地基反力解析法。主要得出以下結論。

(1)基于地基反力法提出的滑坡段埋地管道彈塑性地基反力解析法,可考慮土體屈服,能夠準確反映管—土的非線性接觸,并符合管道變形的連續性和協調性。

(2)該方法與Winkler 地基反力法相比,理論上更為嚴謹,有效地提高了計算精度。

(3)隨地基反力系數的增大,管道最大撓度及滑體中部管道彎矩、Mises應力減小,滑坡周界處管道彎矩及Mises應力增大,且變化速率逐漸變緩。地基反力系數的增大,加強了土體對管道的約束作用,從而引起管道撓度、彎矩及Mises應力的變化。