動點變化巧創設，半徑最值妙轉化

徐玥

摘要：涉及空間立體幾何中的動點變化問題以及空間幾何體的外接球問題，是空間幾何中最為熱點的兩類問題.結合一道高考模擬題，將這兩個熱點問題加以交匯融合，探求動點變化條件下三棱錐外接球半徑的最值，從幾何與代數兩個思維視角切入，利用不同的技巧方法來處理，有效指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：正方體；動點；外接球；半徑；最值

立體幾何中的動點問題，是創新情境背景下的一類特殊問題，主要通過空間動點的運動變化，結合一些特殊條件的限制，進而研究與之相關的空間幾何體的一些最值或取值范圍問題.其中空間幾何體的外接球問題，是此類問題中的一類熱點與難點問題.解決問題的關鍵就是合理審題，借助一些“動”與“不動”的要素，認真分析動點變化特點，尋找靜態因素與動態因素之間的關系，從靜態因素中尋找解決問題的突破口，以“靜”制“動”，以“靜”帶“動”，“動”中尋“靜”，“動”“靜”結合，巧妙處理.

1 問題呈現

問題 〔2023年浙江省杭州高級中學高考數學模擬試卷（5月份）〕如圖1，在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1上的動點（不含端點），則三棱錐M-AB1C的外接球的半徑最小值為（）.

此題以正方體為背景，結合“定底面變頂點”的三棱錐M-AB1C的創設，以“動”態形式給出場景，通過對應三棱錐M-AB1C的外接球半徑的“變化”來確定其最小值問題.

問題動靜結合，解題時，可以從兩個視角切入：

（1）幾何法，這是解決此類問題的常規思路，首先找到外接球的球心，然后建立與外接球半徑有關的方程，解方程即可；

（2）代數法，對大部分學生而言，解決空間立體幾何問題的通法仍然是建立空間直角坐標系，找出與半徑有關的數量關系，建立目標函數，求得最值即可.

3 教學啟示

3.1 剖析動點變化，挖掘解題模型

立體幾何中的動點變化問題，往往隱藏于該動點所處的空間幾何模型中，抓住動點的運動規律，挖掘對應的空間幾何模型是制勝法寶.

在解題的過程中，關注空間想象以及邏輯推理的應用，做到“胸有圖形”，“動”中尋“寶”，構建正確的空間圖形.具體解答時，或借助邏輯推理利用幾何法定性分析，或引入參數利用代數法定量計算等，不同思維視角與應用都可以很好地實現“動”與“靜”的和諧統一與轉化.

3.2 空間最值問題，解題技巧策略

涉及立體幾何中的動點最值或取值范圍問題，正確剖析題目條件，把握問題的內涵與實質，解題的常見基本技巧與策略有：

（1）“動中覓靜”思維.結合動點變化過程中的不變性，抓住“動”的過程中的一個瞬間——“動”中取“靜”，此時是運動的一種特殊形式，化一般情形為特殊情形，問題迎刃而解.

（2）降維思維.化“三維”為“二維”，將空間動點變化問題轉化到同一個平面上對應元素的運動與變化，巧妙降維處理，利用平面幾何的知識來分析與應用.

（3）坐標思維.合理構建空間直角坐標系，結合動點坐標的設置與應用，利用空間知識來分析與處理，利用函數與導數、不等式等相關知識來分析與應用.