一道解析幾何綜合題的探究

劉海

摘要：涉及平面解析幾何中的最值（或取值范圍）問題是高考中的一個創新點與難點，考查形式變化多樣，常考常新.結合一道解幾背景下最值問題的求解，從不同思路展開，采用不同技巧方法解決，開拓數學思維，提升試題的寬度與厚度，有效指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：拋物線；圓；三角形；面積；最值

平面解析幾何中的最值（或取值范圍）問題，往往以“壓軸題”的形式出現在高考選擇題、填空題或解答題中的對應位置，成為高考命題乃至自主招生、競賽中的“常客”之一，更是各類模擬考試中常考的基本題型之一.此類問題，除了可以很好地考查平面解析幾何的基本知識，還可以巧妙融合平面幾何、函數與方程、三角函數、不等式、函數與導數等其他相關知識，契合“在知識交匯點處命題”的命題理念，同時又能很好考查學生基本的數學思想方法和核心素養等，創新新穎，花樣翻新，難度較高，但其基本解題思路與技巧方法仍然有章可循，有法可依.

1 問題呈現

問題 （2023屆江西省重點中學協作體高三第二次聯考數學試題·16）已知拋物線C：y2=4x，圓E：（x－4）2+y2=12，設O為坐標原點，過圓心E的直線與圓E交于點A，B，直線OA，OB分別交拋物線C于點P，Q（點P，Q不與點O重合）.記△OAB的面積為S1，△OPQ的面積為S2，則S1/S2的最大值為___.

此題以拋物線、圓為綜合問題載體，結合直線與拋線物、直線與圓的位置關系，以及坐標原點與交點所構成的三角形的面積，通過兩個不同三角形的面積的比值創設，進而確定相應的最值問題.

本題解題的關鍵是構建兩個不同三角形面積的表達式，合理引入參數是根本所在.可以通過設線法、設點法或參數方程法等多思維視角切入，利用三角形面積公式的不同形式來確定對應的面積表達式，為進一步確定面積比值的最值提供解題依據與基礎.

2 問題破解

3 教學啟示

3.1 歸納總結方法，養成解題習慣

求解平面解析幾何中的最值（或取值范圍）問題時，要抓住直線與圓錐曲線的位置關系等場景，巧妙選取合理的參數，如點參、線參、角參等，同時結合題設條件或隱含條件等確定對應參數的取值范圍.

在設參的基礎上，借助直線與圓錐曲線的位置關系等切入，巧妙建立關于相應參數的目標函數，進而利用圓錐曲線自身的幾何性質，或借助二次函數、基本不等式、函數與導數等來分析與求解對應的最值（或取值范圍）問題.

3.2 “一題多解”思維，深入研究拓展

解平面解析幾何的最值（或取值范圍）問題時，由于參數選擇的形式多樣，根據題設合理選擇點參、線參、角參等，這就為解決此類問題提供了更加豐富多彩的思維視角，是實現多種方法解題的根本，可以很好實現“一題多解”的巧妙應用，同時對不同的技巧方法加以對比、分析，從中合理優化，提升能力.

基于此類問題的“一題多解”，可合理對問題條件、問題結論，以及問題的求解方法、求解過程等加以深入研究與分析，從而合理拓展與應用，達到“一題多思”“一題多變”“一題多得”等方面的良好效果，對于全面提升數學解題能力以及培養數學核心素養都有益處.