問題驅動教學，環節層層遞進

戴鋒　劉靜銳

新課程改革要求高中數學課程注重對學生基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗的培養，提高學生從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.學歷案較以往的教案、學案、導學案等教學方式，更加注重學生在學習過程中知識的理解、能力的提升與核心素養的培養，注重“需求、目標、內容、實話、評價、反思”等要素一致，優化了教育教學理念，拓展了學習思維與能力.下面以筆者“函數的零點與方程的解”這節課為例，對這一單元的學歷案的教學 過程和評價過程設計加以展示與剖析.

1 合理問題驅動，設計教學過程

1.1 創設情境，提出問題

問題1 教材（人教A版）在“2.3二次函數與一元二次方程、不等式”中提出：我們把使ax2+bx+c=0的實數x叫做二次函數y=ax2+bx+c的零點.一元二次方程ax2+bx+c=0的根，就是二次函數y=ax2+bx+c的零點，也就是二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標.那么更一般情況，又是怎樣的？

（1）概念引入

對于一般函數y=f（x），我們把使f（x）=0的實數x叫做函數y=f（x）的零點.

（2）概念理解

探究1 方程視角.對于不能用公式求解的方程f（x）=0，可以通過分析函數y=f（x）的圖象和性質得到零點的信息，進而得到方程的解.

方程的根、函數的圖象與x軸的交點、函數的零點三者之間的聯系如圖1所示：

探究2 圖象視角.如圖2，觀察函數y=f（x）的圖象，y=f（x）有幾個零點？零點分別在哪個區間？零點附近，圖象特征如何？

探究3 函數值視角.圖2中函數y=f（x）零點附近函數值有何規律？

師生活動：學生認真思考、觀察，得到函數f（x）的圖象與x軸不僅僅是有公共點，更重要的是穿過了x軸；教師利用幾何畫板展示動態圖象，凸顯函數的取值規律，引導學生把“圖象穿過x軸”這種形狀特征用“f（a）·f（b）<0”這種數值規律表達出來.

設計意圖：探究1類比一元二次函數的零點得出一般函數的零點及其相關結論，從具體到抽象的過程學生是容易接受的，沒有必要作特別的解釋；探究2給出了一個學生相對陌生且復雜的圖象，突出考查學生對零點的理解，圖象三次穿過x軸更容易讓學生發現圖象的本質特征，拓寬了學生對函數圖象的認識，為后續自主畫出各類函數圖象并進行研究作鋪墊；探究3有一定的難度，實際上這是一個數形結合、將形轉化成數的過程，因此教師給出的動態圖象有助于學生發現與探索.

1.2 抽象概念，內涵辨析

根據上述探究，抽象出函數零點存在定理，如表1.

（1）函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線.

（2）滿足f（a）·f（b）＜0.

結論/

函數y=f（x）在區間（a，b）內至少有一個零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根.

問題2 （1）你能通過作圖直觀說明零點存在定理嗎？為什么結論是“至少有一個零點”？

（2）利用函數零點存在定理證明方程x3+x－3=0在區間（1，2）內有解.

（3）利用函數零點存在定理說明方程ln x+2x－6=0有解，并給出解的一個存在區間.

（4）小結：如何利用函數零點存在定理證明方程有解？

師生活動：在問題1的基礎上，教師直接給出函數零點存在定理，沒有嚴格證明，僅要求學生作直觀上的認同即可.問題2（2）（3），學生獨立完成并展示，教師點評指出不足，引導學生進一步總結定理的使用方法.

設計意圖：鼓勵學生自主作出函數圖象，理解函數零點存在定理，即函數圖象穿過x軸，由于穿過x軸的次數是不確定的，因此零點的個數也不確定.問題（2）屬于定理的直接應用；問題（3）則要求學生自主取點求值，找到兩個函數值異號的點才能應用定理；問題（4）進一步明確利用函數零點存在定理判斷方程有解的步驟.

問題3 （教材第155頁習題4.5第2題）已知函數y=f（x）的圖象是一條連續不斷的曲線，且有如下對應數表（表2）：

問：函數y=f（x）在哪幾個區間內一定有零點？為什么？

探究1 因為f（1）f（4）>0，f（1）f（2）>0，那么是否可以說函數y=f（x）在區間（1，4），（1，2）內沒有零點？你能畫出y= f（x）在區間（1，2）內的圖象并作出直觀解釋嗎？

探究2 根據上面的分析，“f（a）f（b）<0”是“y=f（x）在區間（a，b）內有零點”的什么條件？

探究3 能確定函數y=f（x）在區間[1，6]內零點的個數嗎？若要確定零點的個數，還需要知道什么？

師生活動：學生獨立思考并板書展示，教師結合學生作答補充完善.

設計意圖：進一步挖掘教材習題的價值，在學生自主分析、作圖、判斷的前提下，提醒學生注意，函數零點存在定理只是給出了函數有零點的一個充分不必要條件，利用函數零點存在定理可以證明函數有零點，但不能判定函數無零點或零點的個數.如果要判斷零點的個數，還要與函數的性質相結合，為問題4的解決做鋪墊.

1.3 例題練習，鞏固理解

問題4 （教材第143頁例1）求方程ln x+2x－6=0的實數解的個數.

追問：討論方程ln x=6－2x解的個數與分布情況.

師生活動：學生獨立思考、交流討論，教師展示學生答案并引導學生得出判斷簡單函數零點個數的一般方法，并得出函數零點存在定理在單調基礎上的推論——如果函數y=f（x）在區間[a，b]上單調，圖象是一條連續不斷的曲線，且有f（a）f（b）<0，那么函數y=f（x）在區間（a，b）內有且僅有一個零點.

設計意圖：追問中，學生容易將方程ln x=6－2x的解轉化為方程ln x+2x－6=0解，即和問題4一致.除此之外，教師也可引導學生從圖形的角度分析，y=ln x，y=6－2x都是基本初等函數，其圖象學生已經掌握，方程ln x=6－2x的解也是函數y=ln x與y=6－2x圖象公共點的橫坐標，通過畫圖，很直觀就能觀察得到公共點的個數和橫坐標的范圍，進一步拓展數形結合思想.

2 檢測學習成果，落實評價任務

問題5 總結：談談你對解方程方法的認識和對函數零點存在定理的理解.

學生一起歸納總結，形成知識體系（如圖3）.

練習 （1）（教材第155頁習題4.5第3題）略.

（2）求方程x3+x－3= 0實數解的個數.

設計意圖：進一步鞏固函數零點存在定理的應用，形成知識的應用遷移.

3 學后反思，發展核心素養

3.1 過程展示，暴露思維

通過一系列問題的巧妙設置，借助學歷案的合理設計，從概念的引入到定理的給出、理解與應用等展示這節課的整個過程，充分暴露學生數學思維中的一些關鍵節點，克服難點，進一步有效理解定理.其實，函數零點存在定理只是給出了函數有零點的一個充分不必要條件，“連續不異號”不能判定該函數是否有零點，另外零點存在定理也不能判定零點的個數，這些都是學生容易混淆的地方.

3.2 思想引領，關注主體

基于學歷案的教學設計，是通過數學思想方法與任務驅動引領課堂.在實際課堂教學中，以問題驅動教學，通過合理的設問、追問等方式，問題設置層層遞進、環環相扣，清晰、準確地把握學生的思維狀態，把課堂還給學生，關注學生的主體地位，真正做到了將以學生為本、問題引導、任務驅動的理念貫穿堂課始末.

課題信息：江蘇省教育科學“十四五”規劃2021年度重點課題“基于學歷案的高中數學主題單元教學模式建構與實踐探究”，課題批準號為B/2021/02/152.