調和線束中的平行平分模型

柯希湖

1 問題引路——高考真題呈現

因為該試題是一道結構不良類型的證明題，所以在此著重分析試題背景中的平行平分模型及應用過程，部分步驟中涉及的代數運算證明僅做簡單敘述（主要涉及斜率條件的轉化）.

如圖5，設直線AB與雙曲線交于C，D兩點，由直線與雙曲線及漸近線相交的性質得|AC|=|BD|，這意味著AB的中點即CD的中點，這個中點即試題中準備研究的點M.

設直線CP，DQ交于點T，取PQ中點N，直線TN交直線AB于點L，過點T作PQ的平行線TS，由|PN|=|NQ|，結合平行平分模型結論②，線束TS，TN，TP，TQ為調和線束，

即線束TS，TL，TC，TD為調和線束.

（1）選擇①②證明③

若PQ∥AB，則TS∥AB.由平行平分模型結論①，得|CL|=|DL|，即L是CD中點，

從而|AL|=|BL|.結合直線MP，MQ的斜率分別為－3，3，計算可得此時點L為點M，從而|MA|=|MB|.

（2）選擇②③證明①

若PQ∥AB，結合TS∥PQ，則有TS∥AB.

因為線束TS，TL，TC，TD為調和線束，結合平行平分模型結論①，可知|LA|=|LB|.

由x1>x2>0得弦PQ不垂直于x軸，所以弦AB也不垂直于x軸，故弦AB的中垂線不過原點O，

由直線MP，MQ的斜率分別為－3，3，計算可得O，N，M三點共線，故點M，L都在直線ON上.結合|MA|=|MB|，|LA|=|LB|，直線ON不是AB的中垂線，從而點M，L重合.

故點M在AB上.

（3）選擇①③證明②，略.

基于高等幾何的極點極線的相關內容，對尖子生而言，一般用于速算結果、探究方向，雖然解題很快，但要慎重考慮是否可作為高中卷面的書寫過程.