導數在不等式證明中的應用探究

夏奕雯

摘要：不等式常見的證明方法有構造法、比較法、反證法等，但是，一些不等式利用這些方法證明比較困難，而利用導數證明不等式不但能精簡證明流程，而且能確保證明結果的準確性.本文中主要分析了利用函數凹凸性、導數定義、拉格朗日中值定理證明不等式的詳細方式，且給出了多種方式的適用范疇，結合實際情況整理了使用多種方式開展不等式證明的主要觀點.

關鍵詞：導數；不等式證明；拉格朗日中值定理；函數凹凸性

1 利用函數凹凸性證明不等式

判斷函數凹凸性并以此來證明不等式較為直觀.首先要明確凸（凹）函數的定義.

定義1[1]：若f（x）為定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點x1，x2和任意實數λ∈（0，1），總有

本題就是利用導數定義證明不等式的典型案例，有如下兩點特征：（1）在對f（x）=a1sin x+a2sin 2x+……+ansin nx求導后，得出的結構實際就是需要待證明的不等式的左邊；（2）通過導數的定義得出f′（0），繼而利用不等關系|f（x）|≤|sin x|建立f′（0）和limx→0sin x/x[JB）|]=1之間的不等關系，以此對不等式進行證明.

本文中對導數在不等式證明中的具體應用進行了探討，并給出了幾道例題，值得關注的是通過導數證明不等式，不只有本文當中所闡述的幾種方式，還包括其他方法，如導數與積分的融合等.利用導數證明不等式時，一般要構造輔助函數，然后結合具體問題和函數的性質靈活加以運用.當然，證明不等式，還可以通過綜合多種方式達到目的.

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