利用函數(shù)圖象確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)

曹兵

在高中必修課程體系中，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)屬于必學(xué)內(nèi)容之一，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷比較抽象，需要深入理解，與方程有關(guān)的根和函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的內(nèi)容主要包括兩個(gè)理論以及由這兩個(gè)理論推廣出的一個(gè)理論.

理論1：函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有交點(diǎn).

理論2：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f（a）f（b）＜0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個(gè)c也就是方程f（x）=0的解.

理論3：函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有交點(diǎn)方程g（x）－f（x）=0有解，即g（x）－f（x）=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)g（x）－f（x）=F（x）有零點(diǎn).

上面的分析以及相應(yīng)的三個(gè)結(jié)論，如果從純粹的數(shù)學(xué)知識(shí)的角度來看，屬于高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系當(dāng)中的重要內(nèi)容.學(xué)生掌握這些內(nèi)容，一方面可以完善自己的認(rèn)知體系，另一方面可以形成較強(qiáng)的問題分析與解決能力.但筆者以為僅有這樣的認(rèn)識(shí)是不夠的，因?yàn)槔煤瘮?shù)圖象確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，更是在一定程度上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在特點(diǎn)，同時(shí)也體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用［1］.其中，最典型的思想就是數(shù)形結(jié)合思想.根據(jù)筆者的調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，盡管幾乎所有學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)與運(yùn)用的過程當(dāng)中都能體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，但很多時(shí)候?qū)W生的這種體會(huì)并沒有上升為數(shù)學(xué)意識(shí)，這也就導(dǎo)致很多學(xué)生在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)或在解題的時(shí)候，難以有意識(shí)地將數(shù)形結(jié)合作為思維突破的切入口.說得直白一點(diǎn)，就是學(xué)生的體驗(yàn)沒有上升為理性認(rèn)識(shí)，這顯然無助于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.因此，基于上面的分析，接下來結(jié)合實(shí)例來分析、研究函數(shù)零點(diǎn)的相關(guān)問題，融合數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思維方式，體會(huì)數(shù)形結(jié)合方法的典型性和優(yōu)點(diǎn).

例1 已知方程1/2[HT6.]x=ln x，則此方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為___.

方法1：這道題求的是方程根的個(gè)數(shù)，根據(jù)理論1可知，方程根的個(gè)數(shù)即是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因此可以通過構(gòu)造函數(shù)來求根的個(gè)數(shù).先將方程左邊移到方程右邊，即ln x－1/2x=0，再令f（x）=ln x－1/2x，通過觀察發(fā)現(xiàn)，代入1和e，那么就有f（1）=－1/2<0，f（e）=1－1/2e>0.符合有零點(diǎn)的條件，即在（1，e）內(nèi)f（x）有零點(diǎn).再根據(jù)在（0，+∞）內(nèi)f（x）是增函數(shù)，因此可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).故方程[SX（]1[]2[SX）]x=ln x有且只有一個(gè)實(shí)根.

方法2：這道題還可以結(jié)合函數(shù)的圖象來求解.假設(shè)h（x）=1/2x，且g（x）=ln x.在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)h（x）=1/2x和g（x）=ln x的圖象，

如圖1所示.觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)函數(shù)圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，由此可以得到，方程1/2x=ln x有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

評(píng)析：利用方法1求解的時(shí)候，不僅需要求出f（1）<0和f（e）>0，還要知道函數(shù)f（x）=ln x－1/2x在定義域內(nèi)是單調(diào)的（不同函數(shù)單調(diào)情況也不相同），把這兩個(gè)條件結(jié)合起來才能說明方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

這道題也可以采用圖象法.設(shè)g（x）=－（x－1）2+2，f（x）=log2x在同一直角坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖2所示.根據(jù)圖象分析可以得到，兩個(gè)函數(shù)圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，因此方程log2x=－（x－1）2+2有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

評(píng)析：求方程實(shí)根的個(gè)數(shù)通常有兩條途徑.（1）轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象求解；（2）轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理求解.相較于利用零點(diǎn)存在定理，明顯結(jié)合函數(shù)圖象的方法更簡單明了.

掌握確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法對(duì)于學(xué)生來說十分重要，結(jié)合圖象確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)是目前最常用、最簡便的方法之一，它要求學(xué)生有良好的計(jì)算能力和基本的作圖能力，對(duì)學(xué)生的邏輯思維有一定的要求，要求學(xué)生能全面分析問題，還要注意限制條件，作圖要盡量準(zhǔn)確.學(xué)好零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解，可以有效提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)［2］.

對(duì)上述教學(xué)過程進(jìn)行概括與反思，筆者以為在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，最直接的抓手當(dāng)然是數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)與運(yùn)用，這是由當(dāng)前的考核評(píng)價(jià)機(jī)制決定的，教師的教學(xué)必須努力服務(wù)于學(xué)生思維能力的發(fā)展與解題能力的提升.與此同時(shí)，教師也必須關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展和學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟.無論是核心素養(yǎng)的發(fā)展還是數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟，其實(shí)都不影響學(xué)生解題能力的提升，同時(shí)還能夠?yàn)閷W(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ).比如上面所強(qiáng)調(diào)的數(shù)形結(jié)合，是數(shù)學(xué)學(xué)科特征的直接體現(xiàn)，更是高中數(shù)學(xué)教學(xué)最不能忽視的思想方法之一.對(duì)于數(shù)形結(jié)合，不僅要讓學(xué)生有實(shí)際的體驗(yàn)，還要讓學(xué)生有真切的收獲.這種收獲對(duì)于學(xué)生來說應(yīng)當(dāng)是顯性的，只有當(dāng)學(xué)生明確認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合能夠反映數(shù)學(xué)學(xué)科的特征時(shí)，才能夠有意識(shí)地在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)與運(yùn)用的過程當(dāng)中自動(dòng)激活數(shù)形結(jié)合思想，從而讓數(shù)形結(jié)合真正成為學(xué)生數(shù)學(xué)解題的利器［3］.

在這篇文章當(dāng)中，函數(shù)圖象與零點(diǎn)個(gè)數(shù)的研究是一個(gè)突破口，只是一條明線，數(shù)形結(jié)合思想是背后的暗線，是學(xué)生領(lǐng)悟的重點(diǎn)，這才是筆者想重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的.

參考文獻(xiàn)：

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[3]潘良銘.淺析復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（21）：51-52.