加強“構”“悟”融合　促進思維靈活進階

何獻菊　廖雪剛

摘要：近幾年高考試題深化基礎性考查，注重數學的本質與創造性思維，深入考查核心素養和關鍵能力.高三二輪復習是學生提升能力、靈活思維的關鍵時期，可以在二輪復習中開展“一題一課”教學實踐，在解題教學過程中加強對問題“結構”的合理設置，引導學生對解題本質的“領悟”，促進思維的靈活性，達成減量提質之效.

關鍵詞：高考復習；一題一課；數列

1 問題提出

最近幾年的高考全國卷數學試題，大大降低了“題海戰術”“機械刷題”的效益，部分學生在高考場上手足無措，覺得試題難度大，計算量大，思維量大，從而發揮失常.針對以上現象，在二輪復習中，可以嘗試對解析幾何、立體幾何、導數、數列、解三角形等模塊內容進行“一題一課”教學，建立知識結構框架，訓練學生靈活運用基礎知識解答問題的能力.下文中，以一道高考數列題為例嘗試進行二輪復習“一題一課”教學.

2 教學過程

2.1 精選例題，“一題”引入學習主題

教學實踐表明，在高考復習中，“一題一課”多解變式教學模式的運用應常態化.學生經過一輪復習，雖然知識體系系統化，解題方法通性化，但是一題多解不熟練，變式能力較欠缺.二輪復習精選試題，一題多解，變式變解，能激發學生的思維，加深學生對知識、題型間相互聯系的理解，從而提高學生應對綜合性、應用性和創新性考查的能力.

例 （2020年·全國卷Ⅲ）設數列{an}滿足a1=3，an+1=3an－4n.

（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；

（2）求數列{2nan}的前n項和Sn.

試題分析：該試題起點低，背景深，是一道值得細品多悟的高考好題.第（1）問計算a2，a3，猜想{an}，體現了特殊到一般的思想，數學歸納法順勢而生，解題思路直截了當.學生對于數學歸納法不熟悉，書寫格式模糊，是一個“會而不全”的典型試題.第（2）問為錯位相減求和，第（1）問即使不會證明也可進一步完成第（2）問，層次明顯，面向各個層次的學生.

2.2 巧設問題鏈，架構“一課”學習序列

問題1 （展示真題）請同學們迅速閱讀題目，思考第（1）（2）問的解題方法.

設計意圖：一方面，訓練學生的審題能力，相信解題的第一感覺，了解學生對基本解法的掌握情況；另一方面，第（1）問因學生對數學歸納法不熟練，書寫上不嚴謹，因此可以此為契機，改編條件，一石激起千層浪，進入主題.

問題2 請改變條件“an+1=3an－4n”，變成大家熟悉的遞推公式，并根據a1=3，求{an}的通項公式.

生1：改為“an+1=3an”，則數列{an}是公比、首項均為3的等比數列，an=3n.

生2：改為“an+1=an－4”，則數列{an}是公差為－4，首項為3的等差數列，an=7－4n.

生3：改為“an+1=3an－4”，變形后利用待定系數法，得an+1－2=3（an－2），解得an=3n－1+2.

設計意圖：讓學生改變題目條件，回到熟悉的等差數列、等比數列和利用待定系數法求通項公式，回歸基礎，回憶通性通法.

設計意圖：回歸通性通法，提高計算能力，便于與待定系數法進行比較.

設計意圖：靈活運用待定系數法解決錯位相減類型求和問題，感悟待定系數法的妙處，思維遷移.

問題7 求數列n2/2n的前n項和Sn.

設計意圖：增加難度，“逼迫”學生想辦法解決問題，避免生搬硬套.學生在變式中要敢于利用通性通法，大膽嘗試，積極思考；同時，在變式中靈活選擇解題方法，深度思考問題.

2.3 回望梳理過程，悟出解題思路

問題8 請同學們梳理思路，然后自由發揮，解答例題第（2）問.（學生多種解答方法略.）

數列解答題的通性通法較多，學生難以發散思維，靈活運用通法解答變式創新題，幫助學生在二輪復習中建構數列解題體系.環節一（問題1～2），從學生熟悉的等差數列、等比數列入手改編真題，步步為“營”，改變條件，增加難度，拓展思維，促進學生思維的靈活性，提煉出解答數列一般題型的本質即待定系數法.環節二（問題3～7），在環節一的鋪墊下，學生求解真題.環節三（問題8），一題多解，提升解題能力.此過程重點是教師對問題的“架構”，關鍵是讓學生經歷解題全過程，形成自己的“領悟”.

3 課后反思

高三二輪復習主要關系到兩個方面：一是在解題教學中，如何構建兼顧數學核心素養培育與高考應試能力培養的教學模式；二是在教學中如何落實數學核心素養的培育[1].萬變不離其宗，“問題是數學的心臟”.如何借題發力，培育學生的核心素養，楊孝斌教授認為，借助波利亞解題思想與“三教”理念，可構建“一題一課多解變式”教學模式.高三二輪復習“一題一課”，有一題多解、一題多變、一題多說三種教學模式，教師可在實踐中摸索以上教學模式.

參考文獻：

[1]楊孝斌，呂傳漢，吳萬輝，等.高中數學“一題一課多解變式”教學模式的理論構建與實踐探索[J].中小學課堂教學研究，2021（11）：14-19.