基于“創造性使用教材”的創新性教學設計

林澤華　李孝誠

摘要：高中數學教材的使用要具有創造性.以“等差數列的前n項和”教學為例，針對人教A版教材中導入設計過于理想化的情況，提出“用教材教”的反思，并給出創造性使用教材的策略，以幫助學生深入理解數學知識的本質，掌握數形結合的思想方法，提高數學抽象、直觀想象核心素養.

關鍵詞：高中數學教材；創造性使用教材；創新性教學；數形結合思想；數學學科核心素養

1 問題提出

自高中新課改實施以來，教材使用的觀點已不再是傳統的“教教材”，而是轉變為“用教材教”，這對教師解讀教材的能力提出了更高的要求[1].《高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中突出強調學生數學學科核心素養的培養，教材的編寫和排版也做出了相應的調整，其內容的設計也更加科學合理.然而，這也導致了在教學活動中教師過分依賴教材，不敢對教材進行延伸[2].“用教材教”無疑能夠達到課程標準的基本要求，但是只用教材去教學生，照搬他人的想法去實施教學，有時并不能適應真實的課堂教學，而是僅僅達成了教材編寫者的設計意圖.學生對于知識的探索只停留在課本表面，并沒有深入數學知識的本質，其思維能力和推理能力也缺乏相應的鍛煉.

荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾認為“數學是一種人類活動”，并提倡以“再創造”原則進行數學教學，即學生要參與到數學學習的過程中，重新創造出有關的數學知識.這種再創造需要教師精心設計，而不是引導學生機械地學習教材中所呈現的有關歷史發現.因此，對于教材的使用要更加注重創新，不能局限于教材編寫的內容，要結合實際情況創造性地使用教材.筆者以“等差數列的前n項和公式”為例，選取2019年新人教A版教材，基于教材內容進行創新性教學設計，剖析在具體教學過程中僅依賴教材教的現象，提出使用教材的反思與改進策略.

2 教材內容分析

“等差數列的前n項和公式”是2019年新人教A版選擇性必修第二冊的內容.教材從高斯計算1+2+……+100的算法出發，引入首尾相加的求和方法，仿照這種方法，提出如何求解1+2+……+101的問題.將其與前者進行對比，將首項為1，公差為1的等差數列分成n為奇數與n為偶數兩種情況；再借助高斯的算法進行分類討論，分別對兩種情況進行化簡并得到相應的公式，總結出這一特殊數列的前n項和公式；最后對其進行一般化處理，推導出等差數列前n項和的一般公式即Sn=n（a1+an）/2.

2.1 設計意圖

教材以數學家高斯的算法作為導入，從數學史開篇，這樣學生會對等差數列前n項和公式的探索產生興趣，有利于學生對該公式的探究.在推導過程中，引導學生感受從特殊到一般的研究方法，開發理性思維品質，最終學生通過自主探究得出等差數列前n項和公式的一般形式.這樣設計的主要目的是期望在增強學生學好數學信心的同時，培養學生積極探索的學習習慣[3].

2.2 存在的缺陷

如果僅僅借助教材中數學家高斯的算法進行導入而不加以創新，難免會存在幾點缺陷：一是高斯的首尾相加法僅僅是高斯的想法，不是學生想出來的，是強加給學生的，同時也失去了“再創造”學習的意義.二是從高斯的算法到倒序相加法的過渡，對于學生來說比較難以理解，如果處理不好就會造成灌輸式教學.在此過程中，教師也僅僅只是完成了教學任務，學生的思維并沒有得到實效性的鍛煉.三是學生對等差數列前n項和公式的理解僅僅停留在表面，并沒有深入實質，容易導致死記公式現象的發生.

3 創新性教學的課例分析

為落實和發展學生數學學科核心素養，就需要創造性地使用教材，進行創新性教學設計.創造性地使用教材要求教師在充分了解數學課程標準的基礎上，以教材為載體，靈活有效地組織教學，拓展課堂教學空間.

定理、公式的教學要充分暴露思維過程，包括問題的提出過程、問題的求解與探索過程以及證明思路的形成過程三方面，因此，定理與公式的教學可以通過歸納推理、類比推理、直覺思維活動等合情猜測數學結論[4].華羅庚教授曾指出“數缺形時少直覺，形缺數時難入微”[5].利用圖形的直觀誘發直覺思維活動即是數形結合思想的體現.以“等差數列的前n項和公式”為例，基于教材內容設計滲透數形結合思想的創新性教學，能夠幫助學生經歷等差數列前n項和公式的推導過程，加深對公式的理解和感悟.本文中僅對“等差數列前n項和公式”的導入過程進行創新，以下是本節課的教學設計.

師：（情境導入）如圖1，一堆圓木樁頂層1根，下層依次為2根、3根、……，按照這種規律一直擺放到100層，一共有多少根圓木樁？

生1：將第1層與第100層進行配對，第2層和第99層配對，以此類推就可得到50對，于是圓木樁的總數為

（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5 050.

（注意：若沒有學生提出該方法，則需要教師引出.若這種方法是由教師引出就是灌輸式教學，這也是教材設計欠考慮的地方.）

師：很好！這也是偉大的數學家高斯計算1+2+3+……+100的方法.這種方法技巧性很強，是從數的角度進行計算，那么從圖形的角度，大家能否發現一種簡便的計算方法呢？

生2：這100層圓木樁堆成了一個三角形，我在想是否可以和三角形的面積聯系起來，但是圓木樁的個數又不完全是三角形的面積，所以我遇到了困難.

師：生2的角度很獨特，我們知道三角形的面積公式是1/2（底×高），但是他遇到了困難，那可以將三角形轉化為別的圖形嗎？

生3：三角形面積是等底等高平行四邊形面積的一半，可以轉化為平行四邊形來求！

師：沒錯！那大家對求解100層共有多少根圓木樁有思路了嗎？

生4：再找一堆同樣的圓木樁拼湊成平行四邊形，這樣每一層圓木樁的個數都為1+100=101，一共有100層.那么，可以得出這兩堆圓木樁的根數一共是100×（1+100）=10 100，所以這樣一堆圓木樁一共有5 050根.

師：很好！如果將原來每一層的圓木樁根數依次寫成一個數列，那是一個什么樣的數列呢？

生：首項為1，公差為1的等差數列.

師：1+2+3+……+100=5 050就是這個數列前100項的和.將其推廣到n項，用Sn來表示它的前n項和，仿照前面的圖形直觀，大家能寫出這個數列的前n項和公式嗎？

生5：Sn=n（1+n）/2.

師：你能用圖形直觀表示一下嗎？

生5：如圖2，將a1，……，an擺成一個三角形，第一行圓點的個數是1，第二行圓點的個數是2，以此類推，一直到n行圓點個數為n，然后用同樣的三角形拼成一個平行四邊形，這樣每一行圓點的個數都變成了1+n，一共有n行，兩堆就有n（1+n）個圓點，一堆就有n（1+n）/2個圓點.

師：很好，將其推廣到一般形式的等差數列{an}，它的前n項和公式的表達式是什么呢？

生6：Sn=n（a1+an）/2.

師：那在計算Sn的過程中，需要知道哪些量呢？又該如何計算呢？

生6：需要知道第一項a1和最后一項an以及項數n.將首項與末項相加，所得之和乘項數，之后再除以2.

師：不錯！這就是倒序相加求和的方法，我們借助這種方法得到的Sn=n（a1+an）/2就是等差數列{an}的前n項和公式.從這個公式的形式來看，你能想到它與什么圖形的公式相似呢？能用圖形說明一下嗎？

生7：與梯形的面積公式（上底+下底）×高/2相似.梯形的面積也是將梯形拼成一個平行四邊形來求解的（如圖3），與倒序相加法的原理一樣.

師：你能總結一下它們的原理嗎？

生7：構造相同的部分，然后倒序相加.

師：那倒序相加的目的是什么呢？

生7：將原本不同的部分變為相同的部分.

師：沒錯！這就是倒序相加法的原理.通過將一個等差數列倒序后再相加，從而構造出一個數值全部相同的新數列，也就是一個常數列.先求出常數列的和，再求這個數列的和.而梯形面積公式的推導也是這個原理.

“千言萬語不及一張圖”，這是美國圖論學者哈里的名言[6].相比文字和符號，借助圖形探索出的數學知識更加形象直觀，更易于學生理解.本節課打破“代數式”的束縛，利用數形結合的方式，以三角形面積來推導等差數列的前n項和公式，幫助學生理解倒序相加法的原理，從而更加深入理解公式的本質.若只用教材中高斯的算法在代數層面進行探究，容易導致學生死記公式.而采用圖形來推導，借助幾何直觀建立數與形之間的聯系，學生能夠更好地理解倒序相加法的原理，更好地發展數學抽象素養和直觀想象素養.

4 “用教材教”的反思與改進

教材具有規范作用.借助教材中的例子進行教學無可厚非，但是以教材為本并不是將教材中的所有內容都照搬，也不意味著要完全按照教材編寫者的思路進行教學.用教材進行教學的意義在于要結合學生實際情況，以教材為參考來教學，其關鍵是要解決怎么“用”的問題.教師要能夠在教材的基礎上，設計出真正有利于學生學習的教學過程.對于“等差數列的前n項和公式”這節課的教學設計，教師可以采用教材中高斯的例子來帶領學生感悟等差數列的相關數學史，從而激發學生的學習興趣.但是，具體的教學設計與實施應以學生的實際情況為依據.想要幫助學生深入理解利用倒序相加法求等差數列前n項和的原理，就需要進行一定的創新性教學.值得注意的是，數學創新性教學不是憑空產生的，需要教師靈活運用教材，并充分利用各種課程資源來設計教學.因此，在數學教學過程中，不能過分依賴教材，要以教材為基礎創造性地使用教材.

創造性地利用數學教材教學，應注意以下幾個方面：

首先，讀懂教材是創造性使用教材的基礎，需要教師在仔細分析數學課程標準基本要求的基礎上，認真研讀數學教材.高中數學教材有不同版本，常見的主要是人教版、滬教版、北師大版、蘇教版、湘教版等.不同版本的編排內容不同，各有特色，在教學過程中要注意在主版本的基礎上，汲取其他版本中值得借鑒的優點，優化數學知識的教學.“等差數列的前n項和公式”的創新性教學課例就是在人教A版教材的基礎上，結合北師大版教材情境所進行的改進.

其次，教師要提高自身素質，在讀懂教材設計意圖的基礎上，研讀數學思想方法，并將之滲透于數學教學中.數形結合思想的運用，使得等差數列前n項和公式的推導更加直觀，同時，能讓學生更加深入理解倒序相加法的本質.

最后，在教學設計的過程中，要從整體上把握數學知識，分析本節數學知識在整個數學學習中的地位和作用，注重前后知識之間的聯系，幫助學生建構知識體系，體會整體知識與局部知識之間的關系；注重創新性以及數學學科核心素養的達成程度，將數學學科核心素養的發展滲透于教學全過程.

高中數學教材是專家根據數學課程標準編寫的，是高中數學學習的專門用書，是教學的前提.但是，有太多教師過于依賴教材，只是按部就班地按照教材內容進行教學，而沒有仔細研讀內容的邏輯是否符合學生的認知規律.書面化的語言難免會過于理想化，將文字性的知識教授給學生是教師必備的能力，這就需要教師在仔細分析教材的基礎上，在適當的時候設計創新性的教學，創造性地利用教材，深入數學本質，發展學生的數學學科核心素養.

參考文獻：

[1]高瑞榮.從“教教材”到“用教材教”：爭議與反思[J].上海教育科研，2016（7）：10-13.

[2]籍富仙.創造性使用數學教材的誤區分析及策略建議[J].教學與管理，2017（16）：64-66.

[3]陳朝暉.“等差數列的前n項和公式推導”的商榷[J].數學通報，2007（5）：62.

[4]熊惠民.中學數學教學設計與案例研究[M].北京：科學出版社，2014：130-131.

[5]陳秧飛.直覺思維在數學解題中的體現[J].上海教育科研，2010（3）：87-88.

[6]王彬，吳謙，侯曉婷，等.基于數形結合思想的“等差數列的前n項和”教學設計[J].數學教學，2021（6）：17-23.