有關函數零點等量代換的問題及應對策略

桂小兵　劉娟

摘要：函數零點問題是高考試題中的熱點問題，學生在解決零點問題進行等量代換時，常遇到等式化簡和范圍約束兩類問題.由此，借助高考真題，分析學生解題受阻或解題出錯的原因，找到解決問題的辦法.

關鍵詞：零點；極值點；等量代換

函數的零點問題是高考中的熱點問題［1］.一方面，函數的零點能夠考查學生的分類討論、數形結合等能力;另一方面，函數的極值點既具備了零點的屬性特征，又反映了原函數的單調性、極值、最值等特征，能考查學生解決問題的綜合能力，實現對核心素養和關鍵能力的考查［2］.本文中借助高考中的有關零點問題，列舉學生進行等量代換時常出現的兩類問題，分析原因，通過問題解決，與大家交流.

1 等量關系的化簡

1.1 代換前化簡

試題1 （2022年全國卷Ⅰ第22題節選）已知函數f（x）=ex－x和g（x）=x－ln x有相同的最小值.

證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

的是f（x）=x2－x－xln x的單調性，代入可得函數值的不等關系，即f（x0）>1/e22－1/e2－1/e2ln1/e2=1/e22+1/e2>1/e2

對應合理，問題得證.

3 小結

上述四道高考真題呈現的問題應對策略可以梳理成圖8.

當然，等量關系的化簡方式遠不止降次和同構這兩種，但是，明確化簡方向要比方式更重要.學生對于零點與參數的對應，不等關系與函數、單調性的對應容易忽視，教學時要特別注意澄清，幫助學生規避認知誤區.

參考文獻：

[1]教育部教育考試院.深化高考內容改革 加強教考銜接——2022年高考全國卷命題總體思路[J].中國考試，2022（7）：1-6.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（２０１７年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

[3]桂小兵，唐錄義.作圖勿草率 細節定成敗——以“誤中悟”教育方式培養學生的作圖能力[J].中國數學教育，2020（Z4）：53-56，71.

[4]程偉.利用同構法巧解指對共存函數問題［J］.中學數學研究，2022（2）：47-50.

課題信息：2023 年度合肥市教育科學規劃立項課題“‘四能視角下高中數學新教材習題的拓展研究”，立項編號為HJG23122.