尋思沉潛如深海　為有源頭活水來

蘇曉宇

1 試題回顧

（2023全國卷Ⅰ，21）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8，由抽簽決定第1次投籃的人選，第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P（Xi=1）=1－P（Xi=0）=qi，i=1，2，……，n，則E（∑n/i=1Xi）=∑n/i=1qi.記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數為Y，求E（Y）.

這道題是概率和數列結合的問題.此題出現在次壓軸的位置，在創新和應用方面都有所考查，區分度強，三個小問層層遞進，上一問均對下一問的解答有輔助作用.第（2）問深入考查了全概率公式，其本質上是機器學習理論“馬爾可夫鏈”的模型，這也體現了數學理論的統一性.第（3）問本質上是“期望的線性性質”.

筆者對本題第（2）問和第（3）問進行了研究，一題多解，除高中的概率與數列結合的方法外，還提供了比較簡潔的高等數學方法.

2 思維導圖

第（2）（3）問的思維導圖分別如圖1、圖2所示.

3 多維視角，解法探究

3.1 第（2）問的解法探究

思路1：全概率公式，分析遞推.

在第（1）問的基礎上，進一步分析，發現第i+1次投籃的人是甲只依賴于第i次投籃的情況.第i+1次投籃的人是甲可分為兩種情況：第i次投籃的人是甲，第i+1次投籃的人也是甲；第i次投籃的人是乙，第i+1次投籃的人是甲.

5 解題感悟，引導教學

近年來的新高考中，許多概率統計類題目考查學生分析問題和解決問題的能力，以及創新應用能力.隨著大數據時代的到來，概率與統計在應用方面體現出獨特的價值.如近年來考查的馬爾可夫鏈實際上是人工智能與機器學習的前沿內容.筆者通過挖掘本題的求解過程及研究近幾年新高考概率統計類題目，得出如下兩點教學啟示.

（1）本題源于教材，高于教材，因此在復習中應該引導學生重視教材中知識點的掌握及教材課后習題的挖掘.高考題中概率統計類選擇題、填空題多數為學生常見的經典試題，因此，我們在復習中應回歸課標、教材，喚醒核心知識.

（2）馬爾可夫鏈是概率論和統計學的重要模型，在實際生活中應用廣泛，如天氣預測、股票市場分析、自然語言處理等.在高考中多次出現此類問題并不意味著學生要去學習大學統計模型，而是要讓學生體會統計與生活的密切聯系，教師在教學中應滲透統計思想，激發學生對概率統計的學習興趣.通過對這類題目深入淺出的講解，適當拓寬學生的視野，促進學生對統計思想的理解和掌握；也可適當利用計算機進行編程實現問題求解，培養高中生的計算機編程能力.