賞析2023年高考數學新課標Ⅰ卷第16題

孫夢麗　王彬

1 試題內容

（2023年新課標Ⅰ卷）已知雙曲線C：x2/a2－y2/b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2.點A在C上，點B在y軸上，F1A⊥F1B，F2A=－2/3F2B，則C的離心率為[CD#3].

2 解法分析

以雙曲線為背景求離心率是常見題型，可選擇的切入點有：

（1）結合平面幾何知識，借助雙曲線定義、正余弦定理構建方程來求解；

（2）建立平面直角坐標系，設點或設線，將題設條件轉化為坐標關系得到方程，從而求解.

本題思維導圖如圖1所示.

由此可見，2023年新高考Ⅰ卷第16題是例1與例2的延伸，將點B放在y軸上，構成等腰三角形.三道試題均對考生的作圖能力、邏輯推理能力、計算能力作了考查.

2023年新高考Ⅰ卷第16題是常見的圓錐曲線求離心率問題，結合了向量、解三角形等知識，深入考查邏輯推理能力、運算求解能力以及數形結合思想.需要學生能夠正確構圖、識圖、用圖，熟練借助向量語言“定位”點，窺見特殊點背后的特殊數量關系，構建合適的等量關系，還要有扎實細致的計算功底.在教學時，教師要注重學生分析問題能力的培養，從而使其做到以不變應萬變，游刃有余地解決離心率類問題.