楊亞娜 霍俊紅 產(chǎn)佳

摘要：針對欠驅(qū)動橋式吊車系統(tǒng)的小車位置傳感器故障問題，設(shè)計(jì)了一種基于觀測器的自適應(yīng)容錯控制算法。考慮小車位置傳感器出現(xiàn)了大小和符號均未知的故障，為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定下的定點(diǎn)和防擺控制目標(biāo)，提出了由基于K濾波器的觀測器以消除未知傳感器故障的影響，同時引入Nussbaum增益來減輕故障未知符號的影響，二者共同組成自適應(yīng)容錯控制器使得橋式起重機(jī)可在傳感器故障下依然實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)。同時，基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，利用反步法證明了欠驅(qū)動橋式起重機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后，利用MATLAB驗(yàn)證了控制方案的可行性。

關(guān)鍵詞：欠驅(qū)動橋式起重機(jī)；傳感器故障；自適應(yīng)容錯控制；K濾波器

中圖分類號： TP273文獻(xiàn)標(biāo)識碼： ADOI：10.3969/j.issn.1007-791X.2024.02.0030引言

橋式起重機(jī)又稱天車，是現(xiàn)代工業(yè)中的重要運(yùn)輸機(jī)械，因其承載能力強(qiáng)、省時省工且結(jié)構(gòu)簡單的優(yōu)點(diǎn)，目前已廣泛應(yīng)用于倉庫、車間、海港等工業(yè)現(xiàn)場貨物的裝載和運(yùn)輸[1-2]。但是橋式起重機(jī)作為典型的欠驅(qū)動系統(tǒng)，其控制變量維數(shù)少于所需控制系統(tǒng)自由度的維數(shù)，并且橋式起重機(jī)在運(yùn)行過程中極易受到外界因素的影響，這些無疑給控制方案的實(shí)施帶來困難[3]。

目前，在實(shí)際工作中，大多數(shù)起重機(jī)仍采用手動操作，這不僅導(dǎo)致小車的位置不夠準(zhǔn)確，而且難以抑制負(fù)載的擺動。負(fù)載的擺動會嚴(yán)重影響橋式起重機(jī)的運(yùn)行，這不僅會降低工作精度，甚至還增加了事故發(fā)生的可能性[4]。因此，實(shí)現(xiàn)橋式起重機(jī)系統(tǒng)的高性能自動控制具有重要意義。近些年，越來越多的研究者們致力于設(shè)計(jì)既能跟蹤小車位置又可以抑制擺角的控制算法。文獻(xiàn)[5]通過在軌跡規(guī)劃的基礎(chǔ)上引入防擺機(jī)構(gòu)來抑制擺角。文獻(xiàn)[6]在拉格朗日方程的基礎(chǔ)上建立了橋式起重機(jī)運(yùn)動的非線性數(shù)學(xué)模型，并提出了一種橋式起重機(jī)消擺控制方法。文獻(xiàn)[7]利用迭代學(xué)習(xí)控制重復(fù)運(yùn)行的特性來對橋式起重機(jī)進(jìn)行定位跟蹤，并有效地抑制了負(fù)載擺角。文獻(xiàn)[8]提出了輸入整形控制，該方案可有效抑制擺角。文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了基于模糊自適應(yīng)PID控制的橋式起重機(jī)防搖控制器，使得小車位移和負(fù)載擺角都達(dá)到最優(yōu)。此外，智能控制[10-12]，滑模控制[13-14]等控制方案也被提出來應(yīng)用到起重機(jī)系統(tǒng)的控制中。上述研究方案都取得了一定的效果，但是，橋式起重機(jī)一般應(yīng)用于工業(yè)現(xiàn)場，工作環(huán)境相對惡劣，許多不可控事件的發(fā)生將會對小車位置傳感器造成負(fù)面影響，進(jìn)而導(dǎo)致一系列控制方案效果變差甚至失效，因此，在橋式起重機(jī)系統(tǒng)控制中考慮傳感器故障很有必要。

近年來，研究學(xué)者們在故障處理問題上投入了大量的精力[15]，但由于傳感器故障很難被檢測和補(bǔ)償[15]，目前的研究主要集中在執(zhí)行器故障上。因此，設(shè)計(jì)容錯控制器以確保系統(tǒng)在傳感器故障下仍然可以穩(wěn)定運(yùn)行是一項(xiàng)重要且具有挑戰(zhàn)性的工作。文獻(xiàn)[16]針對交互機(jī)器人提出了一種傳感器故障診斷方案。文獻(xiàn)[17]對輸出帶有不確定性的Lipschitz非線性系統(tǒng)，提出了一種自適應(yīng)觀測器的設(shè)計(jì)方法。然而，上述研究只是進(jìn)行了故障診斷，并未對系統(tǒng)進(jìn)行容錯控制。文獻(xiàn)[18]針對具有傳感器故障的冷帶軋機(jī)液壓厚度控制系統(tǒng)，提出基于自適應(yīng)補(bǔ)償機(jī)制的反步控制策略。文獻(xiàn)[19]設(shè)計(jì)了基于學(xué)習(xí)觀測器[20]的容錯控制器對機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行控制。文獻(xiàn)[21]對一類輸出含有未知參數(shù)的非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了基于K濾波器的自適應(yīng)容錯控制器。橋式起重機(jī)在工業(yè)上被廣泛應(yīng)用，但因其工作環(huán)境的惡劣，傳感器故障時有發(fā)生，容錯控制技術(shù)可以有效處理系統(tǒng)發(fā)生的故障，進(jìn)而保證系統(tǒng)的安全性和可靠性。但是，現(xiàn)有的針對橋式起重機(jī)的研究方案鮮有考慮傳感器故障。另外，橋式起重機(jī)作為一個典型的欠驅(qū)動系統(tǒng)，很難將上述控制方案直接應(yīng)用到該系統(tǒng)上。

針對上述問題，本文為小車位置傳感器發(fā)生傳感器故障的橋式起重機(jī)設(shè)計(jì)了一個基于K濾波器的自適應(yīng)容錯控制方案。借助坐標(biāo)變換，該自適應(yīng)容錯控制方案適用于欠驅(qū)動橋式起重機(jī)系統(tǒng)，并能達(dá)到起重機(jī)在傳感器故障下實(shí)現(xiàn)預(yù)設(shè)的定位及防擺控制的目的。本文的主要貢獻(xiàn)為：設(shè)計(jì)基于K濾波器思想[21-22]的觀測器以解決起重機(jī)的未知傳感器故障問題，與現(xiàn)有的觀測器算法相比，建立的基于K濾波器的觀測器可僅利用具有不準(zhǔn)確輸出信息構(gòu)造出不可測的狀態(tài)變量。通過引入動態(tài)增益，該算法可以調(diào)整重構(gòu)狀態(tài)變量的收斂速度，提高系統(tǒng)的魯棒性。同時利用Nussbaum函數(shù)來降低未知參數(shù)對控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的影響。最后利用反步法設(shè)計(jì)基于觀測器和Nussbaum增益的控制器，實(shí)現(xiàn)了傳感器故障下橋式起重機(jī)的定位控制。本文利用李雅普諾夫理論證明了該控制方案下橋式起重機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并通過MATLAB驗(yàn)證了該方案的可行性。

1欠驅(qū)動橋式起重機(jī)系統(tǒng)模型

橋式起重機(jī)的簡易模型如圖1所示，可知其是一個典型的動力學(xué)模型，對其采用拉格朗日方程建立數(shù)學(xué)模型如下：

其中，M為小車的質(zhì)量，m為負(fù)載的質(zhì)量，l為鋼繩的長度，θ為負(fù)載與垂直方向的夾角，x為小車的位置，u為起重機(jī)系統(tǒng)的控制輸入，d為摩擦和負(fù)載力矩的總和，g表示重力加速度。

根據(jù)式（2）可得到下列關(guān)系式：

將式（3）代入式（1）中，可得

其中，

將系統(tǒng)輸出定義為y=δz1，然后考慮τ=ξu以及=η+ξd，從而式（5）可以改寫為

在這里考慮故障δ是完全未知的，即大小和符號都不確定。變換后的系統(tǒng)（5）由于存在非線性項(xiàng)（非線性項(xiàng)中可包含未知參數(shù)），本文將利用以下假設(shè)：

假設(shè)1若非線性系統(tǒng)中含有非線性項(xiàng)ω那么存在一個C1函數(shù)f*（z1）≥1和一個未知常數(shù)*≥1滿足

|ω|≤*f*（z1）|z1|，（7）

又若y=δz1，上述式子可以等價為

其中，是依賴*的未知參數(shù)。

2控制器的設(shè)計(jì)

2.1基于K濾波器的觀測器

首先將式（5）中的非線性項(xiàng)舍棄，進(jìn)行觀測器和動態(tài)增益的設(shè)計(jì)。

由于系統(tǒng)的輸出y中含有未知參數(shù)δ，傳統(tǒng)的非線性觀測器均不能用，本文將學(xué)習(xí)K濾波器的思想，考慮以下觀測器：

和

其中，κ=［κ1，κ2，κ3，κ4］T和γ=［γ1，γ2，γ3，γ4］T為由可測信號y和τ產(chǎn)生的K濾波器狀態(tài)。L為動態(tài)增益（下文中將會進(jìn)行設(shè)計(jì)），常實(shí)數(shù)ai>0，i=1，2，3，4為赫爾維茨多項(xiàng)式的系數(shù)。

使用上述觀測器的狀態(tài)（κ，γ）定義一個新的變量來估計(jì)：

考慮到橋式吊車系統(tǒng)（6）輸出中含有未知傳感器故障δ，定義誤差變量

ei=δzi-（κi+δγi），（12）

將觀測器（7）～（8）與上述誤差相結(jié)合，可得到誤差動力學(xué)系統(tǒng)：

其中，ι是一個常實(shí)數(shù)。

然后給出定義ν=［v1，v2，v3，v4］T=Ω-1e，其中，e=［e1，e2，e3，e4］T，

設(shè)計(jì)矩陣A為

此時可以得出變換后的誤差動力學(xué)方程[23]為

其中，Wι=diag{ι，1+ι，2+ι，3+ι}。

考慮一個正定對稱矩陣Q滿足ATQ+QA

Vν=νTQν，（18）

易得式（18）的一階導(dǎo)數(shù)為

為實(shí)現(xiàn)誤差動力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定，設(shè)計(jì)動態(tài)增益L為

其中，α（參數(shù)）和μ（y）（光滑函數(shù)）需要被設(shè)計(jì)。因?yàn)镼=QT>0，存在正常數(shù)ι，g1和g2滿足

g1I

聯(lián)系式（20），易得

從式（23）中可以很容易地看出，因非線性項(xiàng)的存在，設(shè)計(jì)的由非線性K濾波器（9）～（10）和動態(tài)增益更新定律（20）組成的觀測器不可以漸近地估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)，估計(jì)誤差e不能趨于零。進(jìn)而進(jìn)行以下證明。

2.2穩(wěn)定性證明

定理1基于假設(shè)1，存在一個由觀測器（9）～（10），自適應(yīng)控制器組成的自適應(yīng)輸出反饋控制器，使得存在傳感器故障的起重機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)z可以收斂，并且閉環(huán)系統(tǒng)的所有解都是有界的。即可實(shí)現(xiàn)橋式起重機(jī)的定位控制和防擺控制。

證明為了解決橋式起重機(jī)系統(tǒng)中小車位置傳感器發(fā)生未知故障導(dǎo)致的系統(tǒng)輸出參數(shù)未知問題，本文將設(shè)計(jì)兩個自適應(yīng)律分別對系統(tǒng)輸出中的δ和進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)。

了解決未知傳感器故障δ對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，本文在虛擬控制器中引入一個Nussbaum增益[24]，虛擬控制器具體形式如下：

針對式（24），系統(tǒng)基于上述思想，選取如下李雅普諾夫函數(shù)：

聯(lián)系式（24）～（25）以及誤差變換式（14），李雅普諾夫函數(shù)（26）的一階導(dǎo)數(shù)可表示為

此時，設(shè)計(jì)自適應(yīng)律以及所需函數(shù)ρ（·）為

從而可得

為了簡化書寫，本文設(shè)計(jì)：

根據(jù)式（27）和（31），式（32）的一階導(dǎo)數(shù)可表示為

根據(jù)上述式子，設(shè)計(jì)虛擬控制器為

將式（34）和（35）相聯(lián)系可得

Step 3：接下來的證明步驟與Step 2中相似，將進(jìn)行適當(dāng)簡化。首先考慮

然后選擇李雅普諾夫函數(shù)為

根據(jù)上式設(shè)計(jì)虛擬控制器：

則

Step 4：設(shè)計(jì)控制器。

同樣考慮

選擇李雅普諾夫函數(shù)為

則式（43）的一階導(dǎo)數(shù)為

此時設(shè)計(jì)自適應(yīng)律：

將式（45）和（46）聯(lián)系起來，可得

為證明系統(tǒng)穩(wěn)定性和系統(tǒng)狀態(tài)有界，考慮以下李雅普諾夫函數(shù)：

V=5Vν+V4，（48）

其一階導(dǎo)數(shù)為

將式（49）兩邊積分，

可以看出，無論δ<0還是δ>0，當(dāng)m→∞時式（50）和（52）相矛盾，因此可以得出β在（0，Tf]一定有上界。

選擇t=tjm，j=3，4，并將上式兩邊同時除β（tjm），易知

可以看出，無論δ<0還是δ>0，當(dāng)m→∞時式（53）和（54）相矛盾，因此可以得出β在（0，Tf]一定有下界。

通過上述分析可以得出β在（0，Tf]有界。從上文式（48）和（52）可知（ν，y，γ2，）在（0，Tf]上有界，通過y有界和式（20）可知L在（0，Tf]上有界。又因?yàn)棣陀薪缈芍猠在（0，Tf]上也有界。

從而可知κ和γ有界。綜上所述，閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)有界。聯(lián)系文中的坐標(biāo)變換以及閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)有界，并運(yùn)用Barbalat引理可以得出狀態(tài)（z，κ，γ）均可實(shí)現(xiàn)收斂。這也就意味著起重機(jī)可以通過該控制方案實(shí)現(xiàn)定位控制，起重機(jī)的擺角也能被抑制。

綜上可知，從理論分析上看，當(dāng)動態(tài)增益L可以選取為無窮大時，則可以實(shí)現(xiàn)無窮大傳感器故障的精確估計(jì)，但是由于受實(shí)際物理?xiàng)l件的限制，L的值的選取范圍是有限的，因此只能實(shí)現(xiàn)對有限傳感器故障的估計(jì)。當(dāng)故障值較小時，可以很容易通過選取較小的L值實(shí)現(xiàn)對故障的估計(jì)。

3仿真結(jié)果

考慮小車位置傳感器發(fā)生故障δ=0.9，使得小車位置測量值與實(shí)際值產(chǎn)生偏差。設(shè)計(jì)小車的理想位置xd=5 m（圖2中的虛線），當(dāng)傳感器發(fā)生故障后的測量值與理想位置會有一定的偏差，實(shí)線則展示了經(jīng)過容錯控制后的小車的位移值，可以明顯看到，經(jīng)過容錯控制器，小車的容錯測量值與理想位置在t=4 s后基本保持一致，這也表明了本文設(shè)計(jì)控制方案的有效性。

時負(fù)載擺角情況如圖3所示，可以觀察到擺角前期最大值約為1.23°，但很快可以基本穩(wěn)定在豎直方向上，表明該控制方案實(shí)現(xiàn)了對擺角的抑制，能夠達(dá)到實(shí)際運(yùn)行要求。

圖4和圖5則展示了δ=0.8，xd=8 m時小車位置軌跡容錯后與理想位置的對比以及負(fù)載擺角情況，可以觀察到小車的容錯測量值與理想位置在t=3.8 s后基本保持一致，擺角前期最大值約為4.7°，但很快可以基本穩(wěn)定在豎直線上，圖4和圖5也表明該控制方案的有效性，能夠達(dá)到實(shí)際運(yùn)行要求。

對比圖2、3和圖4、5，不難發(fā)現(xiàn)，起重機(jī)發(fā)生傳感器故障后，無論傳感器故障值為0.9還是0.8，在容錯控制方案下，橋式吊車系統(tǒng)的小車在3.5 s后都能到達(dá)理想的位置，且定位控制的跟蹤誤差均在很小范圍內(nèi)；起重機(jī)的擺角在0.5 s后也均能基本維持穩(wěn)定在豎直方向上，實(shí)現(xiàn)預(yù)期的要求。

故障值選為0.9或者0.8，從仿真結(jié)果中并看不出太大的區(qū)別。但是當(dāng)故障值較大時，如果動態(tài)增益L仍選取原先的值，則故障估計(jì)精度就會較差。此時需要重新調(diào)整L的值，來獲得令人滿意的故障估計(jì)精度。

圖6、7展示了xd=8 m時文章用到觀測器的狀態(tài)值，圖8則展現(xiàn)了本文所設(shè)計(jì)的兩個自適應(yīng)參數(shù)的估計(jì)值。

4結(jié)論

本文針對存在傳感器故障的欠驅(qū)動橋式起重機(jī)設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)容錯控制方案。通過嚴(yán)格的李雅普諾夫證明，可以得出閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)都是有界的。基于K濾波器的觀測器可以對未知故障進(jìn)行處理，同時Nussbaum增益可以減輕故障未知符號的影響。由二者組成的自適應(yīng)容錯控制器可以使得橋式起重機(jī)在發(fā)生故障時依然能到達(dá)理想位置，同時使得負(fù)載擺角盡可能的小。

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Research on sensor fault tolerant control for bridge crane system

Abstract： In this paper，an adaptive faulttolerant control algorithm based on observer is designed for the fault of trolley position sensor in underdrive bridge crane system.Considering the trolley position sensor occurs an unknown fault，in order to achieve the fixed point control goal under the stability of the system，an observer based on K filter is proposed to eliminate the influence of unknown sensor faults，and Nussbaum gain is introduced to reduce the influence of unknown symbols of faults.The adaptive faulttolerant controller is composed of the above two parts so that the bridge crane can achieve the control target even under sensor faults.At the same time，based on Lyapunov stability theory，the stability of underdrive bridge crane system is proved by backstepping method.Finally，the feasibility of the control scheme is verified by using MATLAB.

Keywords： underdrive bridge crane; sensor fault; adaptive fault tolerant control; K filter