復(fù)雜邊界條件下半球殼受迫振動響應(yīng)分析

摘要

基于半解析法求解得到中厚半球殼的穩(wěn)態(tài)振動與瞬態(tài)振動響應(yīng)。基于一階剪切變形理論推導(dǎo)球殼結(jié)構(gòu)能量表達式，引入Jacobi多項式和傅里葉級數(shù)表示半球殼結(jié)構(gòu)的軸向和徑向位移，利用Ritz法得到半球殼的穩(wěn)態(tài)振動響應(yīng)，與有限元法結(jié)果對比驗證了本文方法的有可行性。在此基礎(chǔ)上，對半球殼在不同邊界條件、截頂角和殼體厚度下穩(wěn)態(tài)振動與瞬態(tài)振動特性規(guī)律進行了分析總結(jié)。

關(guān)鍵詞

半球殼; 穩(wěn)態(tài)振動; 半解析法; 瞬態(tài)振動

引 言

半球殼結(jié)構(gòu)作為應(yīng)用于航空、航海、土木、機械等工程領(lǐng)域中的一類常見結(jié)構(gòu)，在設(shè)計應(yīng)用中由于結(jié)構(gòu)的特殊性，很少單獨使用，通常在自身一端或兩端開口后與其他結(jié)構(gòu)或設(shè)備進行連接。這不僅改變了球殼的原始結(jié)構(gòu)形狀，也導(dǎo)致其自身固有特征發(fā)生改變。此外，在實際應(yīng)用中球殼結(jié)構(gòu)會暴露在載荷相對復(fù)雜的環(huán)境中而引起結(jié)構(gòu)的疲勞和振動，與自身兩端開口處連接的設(shè)備形成相互耦合作用并有可能發(fā)生共振，同時伴隨產(chǎn)生較大的結(jié)構(gòu)振動噪聲而對生產(chǎn)生活造成不利影響。因此，準(zhǔn)確分析球殼結(jié)構(gòu)及其開口狀態(tài)下自身振動響應(yīng)，對于指導(dǎo)其結(jié)構(gòu)設(shè)計具有重要意義。

針對球殼振動特性的研究，國內(nèi)外學(xué)者先后提出了不同的分析方法，并對這些方法進一步開展組合分析，提高求解的速度和有效性，比如有限元法、動力剛度法、Ritz法、區(qū)域分解法等［1?3］。Thomas等［4］推導(dǎo)了大振幅位移作用下淺球殼的非線性振動方程，并將理論分析結(jié)果與試驗結(jié)果進行比對分析后進行補充。Hosseini?Hashemi等［5］和Tornabene等［6］分別基于一階剪切變形理論（FSDT）提出了中厚球殼的自由振動特性分析方法，并用有限元法驗證了數(shù)值模擬的收斂性。Menaa等［7］采用混合有限元法對不同幾何形狀、邊界條件和半徑厚度比的球殼自由振動特性進行分析。Tornabene等［8］對不同求解方法進行對比，并利用廣義微分求積法（GDQ）研究了球殼結(jié)構(gòu)的自由振動特性。Hou［9］推導(dǎo)出扁球殼的自由振動頻率微分求解方程，對扁球殼的三階頻率和模態(tài)曲線進行數(shù)值模擬分析。Hu等［10］提出一種基于Ritz法求解環(huán)形球殼自由振動的解析法，引入Jacobi多項式和傅里葉級數(shù)表征結(jié)構(gòu)軸向和周向位移，數(shù)值模擬結(jié)果驗證了方法的高效性和精確性，并進一步分析了各向同性中厚環(huán)形球殼的振動特性。趙偉東等［11］采用Kantorovich時間平均法簡化微分方程，探討了均布壓力作用下扁球殼的自由振動特性規(guī)律。陳旭東等［12］利用動力剛度法獲得了不同邊界條件下中厚橢球殼體的自由振動頻率特征，并延伸到橢球殼領(lǐng)域。Gan等［13］和李善傾等［14?15］討論應(yīng)用Green函數(shù)法求解夾緊和簡支邊界下不同底面形狀的扁球殼自由振動，并構(gòu)造出合適的邊界條件方程用于改善積分求解方程的奇異性。此外，提出了一種解析法用于分析雙參數(shù)基礎(chǔ)上的不規(guī)則扁球殼的自由振動問題。池旭帆等［16］引入Bezier函數(shù)來模擬球殼結(jié)構(gòu)中面位移，基于一階剪切變形理論建立一種半解析法用于求解開口球殼的自由振動與受迫振動，并對結(jié)構(gòu)的受迫振動進行重點分析。

由以上文獻分析可知，上述研究較少考慮結(jié)構(gòu)厚度變化和開口特征的變形影響，同時現(xiàn)有研究多基于經(jīng)典薄殼理論對球殼結(jié)構(gòu)自由振動響應(yīng)進行分析，缺少對球殼結(jié)構(gòu)受迫振動情況下半解析法的研究，其求解方法尚待進一步豐富。薄殼的厚度需要小于殼體變形模態(tài)波長或曲率半徑的1/20，該范圍內(nèi)一階剪切變形理論與經(jīng)典薄殼理論相比，由于薄殼理論忽略了橫向剪切變形以及法向應(yīng)力對殼體變形的影響，在計算求解精度方面存在不足，而一階剪切變形理論引入剪切修正因子來彌補薄殼理論忽略剪切變形的影響，求解精度更高，適用于球殼結(jié)構(gòu)在集中力下的振動響應(yīng)分析［17?18］。為此，本研究以半球殼結(jié)構(gòu)為研究對象，基于一階剪切變形理論推導(dǎo)開口球殼能量表達式，引入人工彈簧模擬半球殼結(jié)構(gòu)的邊界條件，采用Jacobi多項式和傅里葉級數(shù)分別表示結(jié)構(gòu)的軸向位移和徑向位移，基于Ritz法推導(dǎo)出球殼結(jié)構(gòu)的振動微分方程，開展一般邊界條件下球殼受迫振動特性研究，分析了結(jié)構(gòu)邊界條件、開口大小和殼體厚度對半球殼體穩(wěn)態(tài)振動與瞬態(tài)振動響應(yīng)的影響。

1 理論公式

1.1 半球結(jié)構(gòu)模型

圖1為半球殼結(jié)構(gòu)幾何模型，坐標(biāo)系為（φ， θ， δ），其中φ表示結(jié)構(gòu)底邊對應(yīng)的圓心角，φ0=π/2

，球殼環(huán)向封閉，θ為環(huán)向角，δ為結(jié)構(gòu)法線方向，半球殼半徑為R， γ表示半球殼截頂角，u， v和w分別表示φ，θ和δ方向的位移。引入人工彈簧用于模擬半球殼的邊界條件，連接示意圖如圖2所示，線性邊界約束采用三組線性彈簧進行模擬，旋轉(zhuǎn)邊界約束采用兩組角彈簧進行模擬。

1.2 球殼能量泛函建立

運用區(qū)域分解法理論［19］，將半球殼結(jié)構(gòu)沿軸向分為等長的H段，于每一段的首尾處分別設(shè)置五組人工彈簧，通過調(diào)節(jié)彈簧剛度值來模擬連續(xù)性條件以及半球殼的邊界條件，基于FSDT理論建立結(jié)構(gòu)能量泛函。邊界彈簧中假設(shè)第i段位移場表示為：

球殼的應(yīng)變?nèi)∪缦滦问剑?/p>

式中 εiφ，εiθ和γiφθ，γiφδ，γiθδ為中性面處正應(yīng)變和剪切應(yīng)變；κiφ，κiθ和κiφθ為中性面處的曲率值。

球殼結(jié)構(gòu)應(yīng)力可表示為：

式中 σiφ，σiθ和τiφθ，τiφδ，τiθδ分別表示正應(yīng)力和剪應(yīng)力；Q11，Q22和Q66為應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系系數(shù)。

式中 E和ε表示彈性模量和泊松比。

力和力矩可表示為：

由圖3可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)模型截斷數(shù)H趨近于4時，在分析頻段內(nèi)本文方法收斂速度快，穩(wěn)定性好，因此取模型截斷數(shù)H=4。由圖4可知本文方法與有限元法結(jié)果吻合較好，曲線趨勢基本一致，可以用來分析球殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)振動響應(yīng)。

為充分探究不同邊界條件下，不同結(jié)構(gòu)厚度及截頂角大小對半球殼結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的影響，本研究在數(shù)理模型驗證基礎(chǔ)上開展半球殼穩(wěn)態(tài)振動響應(yīng)分析。

表2和圖5分別給出了不同邊界條件下開口球殼的結(jié)構(gòu)固有頻率和不同考核點的振動響應(yīng)，截頂角γ=π/10

。由表2可知，開口球殼結(jié)構(gòu)的固有頻率參數(shù)受邊界條件的影響較大，隨著邊界條件的增強，結(jié)構(gòu)剛度變大，固有頻率升高。由圖5可知開口球殼結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)隨著邊界條件增強會減弱，此外，對比不同考核點振動響應(yīng)可知越靠近球殼中心位置，振動響應(yīng)越大。

圖6給出了在不同邊界條件下開口球殼結(jié)構(gòu)不同厚度對結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的影響，選擇（1/6π，π）處作為考核點，截頂角γ=π/10。由圖6可知，在F?S邊界條件下，隨著結(jié)構(gòu)厚度增加導(dǎo)致自身剛度變大，低階固有頻率升高；在E?C邊界條件下，結(jié)構(gòu)厚度增加反而降低了前三階固有頻率，第四階固有頻率變大，但結(jié)構(gòu)厚度增加都會造成結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的降低。

圖7給出了不同邊界條件下開口球殼截頂角對結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的影響，選擇（1/3π，π）處作為考核點。由圖7可知，半球殼在開口后使得自身剛度變低，其低階固有頻率也降低，隨著截頂角變大，固有頻率低頻偏移現(xiàn)象更加明顯，同時振動加速度響應(yīng)曲線在低頻處峰值變大。橫向?qū)Ρ瓤芍吔鐥l件的增強也提高了開口球殼的固有頻率。

2.2 瞬態(tài)振動分析

首先，對無阻尼的半球殼振動系統(tǒng)進行瞬態(tài)響應(yīng)分析。采用如圖8所示的三角形脈沖載荷 q0=1 N，t0

=0.005 s，τ=0.005 s，Δt=0.0001 s， 截頂角γ=π/10。圖9為在三角形脈沖載荷作用下本文方法與有限元法計算求解的無阻尼瞬態(tài)振動響應(yīng)結(jié)果。由圖可見，本文方法與有限元計算結(jié)果吻合較好，兩曲線趨勢基本一致，可有效研究半球殼結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)受迫振動響應(yīng)。

圖10和11分別給出了在不同邊界條件下半球殼不同考核點及不同厚徑比（h/R）下無阻尼瞬態(tài)振動響應(yīng)結(jié)果，其中截頂角γ=π/10。由圖10和11可知，開口球殼邊界條件增強或自身結(jié)構(gòu)厚度增加，振動響應(yīng)幅值均出現(xiàn)明顯降低，但邊界條件對振動響應(yīng)幅值影響相對較大。由圖10橫向?qū)Ρ瓤芍娇拷Y(jié)構(gòu)的中心位置結(jié)構(gòu)響應(yīng)越大，且邊界條件的增強導(dǎo)致振動位移周期減小，表明結(jié)構(gòu)固有頻率變大，這與穩(wěn)態(tài)振動結(jié)論是一致的。

圖12給出了在不同截頂角情況下開口球殼的無阻尼瞬態(tài)振動響應(yīng)結(jié)果，考核點在（1/3π， π）處。由圖12可知，隨著截頂角變大，結(jié)構(gòu)開口后振動響應(yīng)幅值變大，振動位移周期變大。同時橫向?qū)Ρ瓤芍吔鐥l件的增強也限制了結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)幅值，并使得結(jié)構(gòu)固有頻率升高，這與不同截頂角下穩(wěn)態(tài)振動響應(yīng)結(jié)論一致。

圖13給出了在不同結(jié)構(gòu)阻尼下開口球殼的瞬態(tài)振動響應(yīng)結(jié)果，截頂角γ=π/10。由圖13可知，結(jié)構(gòu)阻尼對振動響應(yīng)有較大抑制作用，在自由?簡支邊界條件下半球殼結(jié)構(gòu)阻尼的增加并未使瞬態(tài)振動響應(yīng)幅值出現(xiàn)明顯衰減，但在彈性?固定邊界條件下隨著結(jié)構(gòu)阻尼的增大，瞬態(tài)振動響應(yīng)位移隨時間出現(xiàn)較大的幅值衰減。

3 結(jié) 論

本文引入Jacobi正交多項式和傅里葉級數(shù)分別表示半球殼的軸向位移和徑向位移，從而建立半球殼的強迫振動分析模型，基于Ritz法研究了邊界條件、結(jié)構(gòu)厚度和截頂角對半球殼受迫振動特性的影響。研究得出主要結(jié)論如下：

（1）本文方法具備較好的收斂性和求解精度。當(dāng)Jacobi多項式模型截斷數(shù)超過4時，本文方法具備較好的收斂穩(wěn)定性，通過與有限元求解結(jié)果對比，本文方法計算精度較好。

（2）半球殼結(jié)構(gòu)固有頻率不僅與結(jié)構(gòu)參數(shù)屬性有關(guān)，還與邊界條件有關(guān)。隨著半球殼結(jié)構(gòu)厚度變大，其低階固有頻率在自由?簡支邊界下增大，在彈性?固定邊界下前三階固有頻率降低；截頂角變大降低了結(jié)構(gòu)的剛度，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)低階固有頻率降低，同時邊界條件的增強也會使得結(jié)構(gòu)的固有頻率提高。

（3）半球殼的振動響應(yīng)受到邊界條件、殼體厚度、截頂角以及自身結(jié)構(gòu)阻尼等多種因素的影響。半球殼結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)越靠近球殼自身中心位置，其振動響應(yīng)峰值越大。邊界條件的增強和殼體厚度的增加均會降低結(jié)構(gòu)振動位移，而截頂角變大會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度降低，半球殼的振動響應(yīng)位移會變大。結(jié)構(gòu)阻尼對殼體的位移響應(yīng)與邊界條件有關(guān)，在彈性?固定邊界條件下，阻尼對振動響應(yīng)衰減影響較大。

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