利用冗余擴展余弦字典的復(fù)雜動載荷識別研究

摘要

針對真實測量噪聲影響下復(fù)雜動載荷識別精度低的問題，提出了一種基于冗余擴展余弦字典的L1范數(shù)正則化載荷識別方法。根據(jù)系統(tǒng)響應(yīng)與外部動載荷的卷積關(guān)系，建立用于載荷識別的離散系統(tǒng)控制方程；選擇與動載荷相適應(yīng)的離散余弦基函數(shù)進行時延擴展，構(gòu)造了擴展余弦字典與Db10小波字典相級聯(lián)的冗余擴展字典，對復(fù)雜載荷進行稀疏表示；使用L1范數(shù)正則化方法求解稀疏表示系數(shù)，基于改進L曲線準(zhǔn)則獲取最優(yōu)正則化參數(shù)，通過在GARTEUR飛機模型上試驗得到的響應(yīng)數(shù)據(jù)，實現(xiàn)不同噪聲水平下對拍頻載荷與連續(xù)沖擊載荷時間歷程的識別。試驗研究結(jié)果表明：本文提出的冗余擴展余弦字典對拍頻載荷與連續(xù)沖擊載荷的表示稀疏性高，基于冗余擴展余弦字典的L1范數(shù)正則化載荷識別方法的識別精度高、抗噪性能好。

關(guān)鍵詞

載荷識別; 冗余字典; L1范數(shù); 正則化方法; 稀疏表示

引 言

在飛行過程中，飛機結(jié)構(gòu)通常會承受各種動載荷，如發(fā)動機不平衡振動載荷，襟縫翼連接套筒松動時的沖擊載荷等。由于飛機的運行工況復(fù)雜，各種激勵載荷存在疊加現(xiàn)象，形成拍頻載荷或者連續(xù)沖擊載荷等復(fù)雜動載荷形式。為防止這些復(fù)雜動載荷對機體結(jié)構(gòu)造成損傷，有必要對動載荷進行識別分析，并確定產(chǎn)生復(fù)雜動載荷的故障原因。在實際工程中，由于載荷位置與形式的特殊性，往往無法直接通過力傳感器測量載荷，因此，動載荷的間接識別方法具有重要的工程價值。

載荷識別作為結(jié)構(gòu)動力學(xué)的第二類反問題，通過在易于接近的結(jié)構(gòu)上測量得到響應(yīng)數(shù)據(jù)，結(jié)合已知的結(jié)構(gòu)模型信息，進行頻域上的直接求逆或者時域上的反卷積來間接計算動載荷。然而，載荷識別受傳遞函數(shù)病態(tài)性和響應(yīng)測量噪聲的影響，容易產(chǎn)生不適定問題，即解的不唯一、不穩(wěn)定或不存在［1］。為了解決不適定問題，各種正則化方法如Tikhonov正則化、截斷奇異值分解（TSVD）等［2］被廣泛用于載荷識別。Miao等［3］利用Green核函數(shù)建立載荷識別方程，通過懸臂梁的數(shù)值仿真和試驗證明TSVD正則化方法求解正弦載荷和三角載荷的準(zhǔn)確性。Wang等［4］通過提出不同的正則化算子構(gòu)建了新的正則化方法，對隨機結(jié)構(gòu)的動載荷識別進行研究，與傳統(tǒng)的Tikhonov正則化方法相比識別精度明顯提高。繆炳榮等［5］用多種典型正則化方法與參數(shù)選取準(zhǔn)則的組合進行載荷識別，有效提高識別精度，擴大工程實際應(yīng)用。但是Tikhonov等經(jīng)典正則化方法也存在自身局限性，一方面，這些方法不適用于對時域上稀疏的沖擊載荷的求解；另一方面，這些方法容易受噪聲影響，抗噪性較差。

近年來，稀疏表示技術(shù)在信號處理、圖像識別等領(lǐng)域繁榮發(fā)展，受此啟發(fā)，稀疏正則化也被引入動載荷識別領(lǐng)域。稀疏正則化易于得到稀疏解，因此稀疏正則化首先應(yīng)用于沖擊載荷的識別。喬百杰等［6］使用L1范數(shù)正則化方法實現(xiàn)單源、多源沖擊載荷的識別，并證明該識別方法具有顯著的抗噪能力。Rezayat等［7］提出混合L1和L2范數(shù)的正則化載荷識別方法，使用分組快速迭代收縮閾值算法（G?FISTA），在頻域上識別出了沖擊載荷。在實際工程中，動載荷大多數(shù)情況下并不具有稀疏性，為了提高稀疏正則化方法的適用性，將稀疏正則化方法與基函數(shù)展開法結(jié)合起來，構(gòu)造載荷字典，將載荷求解問題轉(zhuǎn)換為載荷的稀疏表示問題。Qiao等［8］使用Dirac字典和小波字典識別沖擊載荷，使用余弦字典識別簡諧載荷，通過SpaRSA算法求解稀疏正則化問題，驗證了上述方法的有效性。嚴(yán)剛等［9］采用高斯核函數(shù)構(gòu)造字典表示沖擊載荷，使用貝葉斯壓縮感知方法求解稀疏正則化重構(gòu)問題，通過復(fù)合材料夾層結(jié)構(gòu)的實驗驗證了上述方法的有效性。Pan等［10］提出用三角函數(shù)與矩形波函數(shù)構(gòu)造冗余級聯(lián)字典識別移動載荷，證明了冗余字典的優(yōu)勢。常見的冗余字典是直接將兩個或多個正交完備字典級聯(lián)而成。付曉梅等［11］提出了一種冗余字典的構(gòu)造方法，通過對完備字典的擴展、延時與混疊變換，提高了冗余字典的稀疏性能和重構(gòu)性能。

國內(nèi)外學(xué)者將稀疏表示技術(shù)應(yīng)用于載荷識別領(lǐng)域并取得了很好的效果，但大多是通過正交完備字典對單一載荷形式的識別，較少對復(fù)雜載荷識別。為了能更好地稀疏表示復(fù)雜載荷，本文通過構(gòu)造冗余擴展余弦字典，結(jié)合L1范數(shù)稀疏正則化方法來提高復(fù)雜載荷在不同噪聲水平下的識別精度。通過對拍頻載荷與連續(xù)沖擊載荷的試驗研究，說明基于冗余擴展余弦字典的L1范數(shù)正則化載荷識別方法的有效性與抗噪性。

1 離散系統(tǒng)控制方程

對于一個單輸入、單輸出的線彈性系統(tǒng)，當(dāng)初始位移與速度均為0時，外部激勵與系統(tǒng)響應(yīng)在時間上的卷積關(guān)系為：

4 試驗研究

將GARTEUR飛機模型作為試驗對象，驗證所提出的基于RECT字典的載荷識別方法的有效性。GARTEUR模型是由法國國家航空航天研究院設(shè)計的標(biāo)準(zhǔn)飛機結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型，具有高柔度、低頻密頻的特點，常用于評估模態(tài)測試技術(shù)和測試方法的有效性［20］。整個模型由6根矩形截面梁組成，不同部位之間采用螺栓連接，機身長1.5 m，翼展2 m，模型材料為2024?T3鋁合金，材料參數(shù)分別為：彈性模量73 GPa、密度2780 kg/m3、泊松比0.33。模型以軟繩懸掛在試驗臺架上，模擬自由邊界條件，如圖3所示。

為了模擬實際飛行中的復(fù)雜載荷工況，本文將討論兩種典型復(fù)雜載荷形式，分別是拍頻載荷與連續(xù)沖擊載荷，載荷作用位置均為左側(cè)機翼中部，加速度響應(yīng)測量位置為機頭。GARTEUR模型簡化示意圖、響應(yīng)測量位置與激勵位置如圖4所示。

載荷識別過程分為三個步驟，第一步是獲取傳遞函數(shù)矩陣H，先測量激勵點和響應(yīng)點之間的頻響函數(shù)H（ω），再通過逆傅里葉變換將頻響函數(shù)轉(zhuǎn)換為脈沖響應(yīng)函數(shù)h（t），最后離散h（t）獲得傳遞函數(shù)矩陣H；第二步是測量工況響應(yīng)數(shù)據(jù)，并對響應(yīng)數(shù)據(jù)進行頻譜分析，構(gòu)建冗余擴展字典；第三步是基于改進L曲線準(zhǔn)則，確定正則化參數(shù)，進行載荷識別。載荷識別流程如圖5所示。

LMS Test. Lab是集數(shù)據(jù)采集與試驗分析為一體的振動噪聲試驗系統(tǒng)，在本次試驗研究中，使用LMS Test. Lab信號采集處理軟件生成載荷形式，經(jīng)功率放大器與激振器作用在GARTEUR模型上，加速度傳感器測量響應(yīng)數(shù)據(jù)，用于載荷識別，激振器力傳感器測量載荷數(shù)據(jù)，用于識別結(jié)果對比，由LMS SCADAS Ⅲ數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)同步采樣，采樣頻率為400 Hz，采樣時長為1.28 s，數(shù)據(jù)長度為512。為驗證冗余擴展字典的優(yōu)勢，本文將RECT字典與DCT字典、Db10小波字典、稀疏正則化方法以及經(jīng)典Tikhonov正則化方法進行對比，討論噪聲環(huán)境下基于字典的稀疏正則化的抗噪性。如圖6所示，在試驗測量得到的響應(yīng)數(shù)據(jù)中，以響應(yīng)信號標(biāo)準(zhǔn)差水平為基準(zhǔn)，添加不同水平的白噪聲，模擬受噪聲污染的系統(tǒng)響應(yīng)：

4.1 拍頻載荷識別

兩個相近頻率的簡諧載荷會耦合成拍頻載荷，其時間歷程如下式所示：

使用Tikhonov正則化方法、DCT字典方法、Db10小波字典方法和RECT字典方法識別拍頻載荷，設(shè)置離散余弦基矩陣階數(shù)r=64，滯后因子m=8。其中Tikhonov正則化方法的正則化參數(shù)選取準(zhǔn)則為GCV準(zhǔn)則，基于字典的稀疏正則化方法的正則化參數(shù)選取準(zhǔn)則為改進L曲線準(zhǔn)則。使用測量響應(yīng)數(shù)據(jù)直接進行載荷識別，結(jié)果如圖7所示。4種方法識別出的拍頻載荷時間歷程都比較平滑，沒有明顯振蕩，與真實載荷的吻合度較高，這是因為實驗室環(huán)境帶來的測量噪聲處于比較低的水平，所以4種方法的識別效果都比較好。

為進一步研究所提方法的抗噪性，在測量響應(yīng)數(shù)據(jù)中加入響應(yīng)幅值40%的白噪聲，如圖8所示。Tikhonov正則化方法的識別結(jié)果明顯變差，波形振蕩明顯，這是由于Tikhonov方法對誤差項與載荷項的加權(quán)和進行最小值優(yōu)化時，將整個時間區(qū)間上的噪聲都計算在內(nèi)，導(dǎo)致識別效果變差；基于3種字典的稀疏正則化方法通過字典提取主要特征，減小噪聲影響。所以識別載荷與真實載荷的波形更加吻合，其中本文提出的RECT字典方法的整體識別效果最好。

圖9中比較了4種識別方法在不同噪聲水平下拍頻載荷識別的整體相對誤差結(jié)果。可以看出，隨著噪聲水平的增加，4種方法識別結(jié)果的整體相對誤差都在增大，但Tikhonov正則化方法的誤差增幅最大，從0%噪聲水平的16.6%誤差，增加到100%噪聲水平的65.6%誤差，而基于3種字典的稀疏正則化方法的識別誤差均小于Tikhonov正則化方法，說明基于字典的稀疏正則化方法的抗噪性優(yōu)于Tikhonov正則化方法。對于3種字典來說，在［0%，100%］噪聲水平區(qū)間上，DCT字典的識別誤差從15.99%增加到35.63%，Db10小波字典的識別誤差從15.59%增加到56.29%，這是因為DCT字典的字典原子是不同頻率的余弦信號，可以很好地覆蓋拍頻載荷中的諧波頻率，而Db10小波字典的字典原子是由不連續(xù)的母小波經(jīng)平移、伸縮后形成的一系列信號，對于連續(xù)的拍頻載荷的稀疏表示不夠充分，所以DCT字典的識別效果優(yōu)于Db10小波字典；RECT字典通過對DCT字典的選擇與擴展，以及與Db10小波字典的級聯(lián)，發(fā)揮冗余字典的優(yōu)勢，使得整體誤差的增幅最小，從14.53%增加到22.84%，在100%噪聲水平時誤差僅為Tikhonov正則化方法識別誤差的三分之一。

相對稀疏度RS用來表征字典的匹配性，稀疏度越高，稀疏表示向量中零的個數(shù)越多，表明字典與載荷的匹配性越好，如圖10所示。從圖10中可以看出，RECT字典的稀疏度在任何噪聲水平下都大于90%，高于DCT字典與Db10小波字典，而且載荷識別結(jié)果的誤差最小，說明了本文所提出的RECT字典在載荷識別方面的優(yōu)勢。圖11中進一步對比了40%噪聲水平下DCT字典、Db10小波字典以及RECT字典的稀疏表示系數(shù)。可以看出，DCT字典的余弦波字典原子可以表示出拍頻載荷的主要頻率，但同時高階字典原子也對高頻噪聲進行了表示；Db10小波字典的字典原子不連續(xù)，需要用多階字典原子共同表示連續(xù)載荷，所以稀疏性最差；而RECT字典通過對DCT字典原子進行選擇與擴展，避免了高階字典原子的過擬合，提高了稀疏性，同時通過冗余Db10小波字典進行修飾，降低了識別誤差。

4.2 連續(xù)沖擊載荷識別

連續(xù)沖擊載荷是另一種比較復(fù)雜的飛行載荷，本文設(shè)置的連續(xù)沖擊載荷不僅包括多個局部的沖擊部分，還包含整個時間歷程上的諧波部分，時間歷程如下式所示：

同樣地，使用Tikhonov正則化方法、DCT字典方法、Db10小波字典方法和RECT字典方法識別連續(xù)沖擊載荷，設(shè)置離散余弦基矩陣階數(shù)r=64，滯后因子m=8。連續(xù)沖擊載荷的識別結(jié)果與實際測量結(jié)果對比如圖12與13所示。

圖12中對比了Tikhonov正則化方法、DCT字典方法、Db10小波字典方法和RECT字典方法對連續(xù)沖擊載荷的識別結(jié)果。可以看出，在實驗室環(huán)境的測量噪聲水平下，4種方法的識別效果都很好，識別載荷的時間歷程吻合度高，各個沖擊峰值時刻與實際一致。

在響應(yīng)數(shù)據(jù)中加入40%噪聲時，連續(xù)沖擊載荷的識別結(jié)果如圖13所示。Tikhonov正則化方法受噪聲影響較大，識別載荷的波形與真實載荷相比差異較大，振蕩較明顯；而基于字典的稀疏正則化方法識別出的載荷波形相對平滑，相比于DCT字典或者Db10小波字典單獨表示連續(xù)沖擊載荷的諧波部分和沖擊部分，本文提出的RECT字典方法識別出的載荷更加接近真實載荷。

連續(xù)沖擊載荷不僅包含沖擊部分，還包含諧波部分，因此使用整體相對誤差RE和峰值誤差PRE一起評估載荷識別方法的準(zhǔn)確性。圖14和15對比了4種識別方法在不同噪聲水平下連續(xù)沖擊載荷識別結(jié)果的精度。可以看出，在［0%，100%］噪聲水平區(qū)間上，RECT字典識別方法的整體相對誤差和峰值相對誤差均小于Tikhonov正則化方法、DCT字典識別方法以及Db10小波字典識別方法。結(jié)合圖13，在40%噪聲水平時，RECT字典識別方法的整體相對誤差和峰值相對誤差分別為26.46%和14.48%。從圖14和15的對比中可以看出，DCT字典識別方法的整體相對誤差小于Db10小波字典識別方法，而Db10小波字典識別方法的峰值相對誤差小于DCT字典識別方法，表明DCT字典對于諧波信號的稀疏表示有優(yōu)勢，Db10小波字典對于沖擊信號的稀疏表示有優(yōu)勢，所以冗余擴展后的RECT字典的對于連續(xù)沖擊載荷的稀疏表示更好，在不同噪聲水平下識別結(jié)果的整體相對誤差和峰值相對誤差都是最小的。

圖16中對比了不同噪聲水平下的3種字典的稀疏表示向量的稀疏度。可以看出，RECT字典的稀疏度在任何噪聲水平下都高于DCT字典與Db10小波字典，說明冗余擴展后的RECT字典與連續(xù)沖擊載荷匹配性更好。圖17中展示了40%噪聲水平下連續(xù)沖擊載荷在DCT字典、Db10小波字典以及RECT字典下的稀疏表示系數(shù)。可以看出，RECT字典發(fā)揮冗余字典的優(yōu)勢，使用不同形式的字典原子匹配連續(xù)沖擊載荷的不同分量形式，既提高了稀疏性，又降低了識別誤差。

5 結(jié) 論

本文針對噪聲影響下傳統(tǒng)正則化載荷識別方法對復(fù)雜載荷識別精度低的問題，提出了冗余擴展余弦字典的構(gòu)造方法，建立了基于冗余字典的復(fù)雜動載荷識別模型。冗余擴展余弦字典由ECT字典與Db10小波字典級聯(lián)構(gòu)成，用于表示復(fù)雜載荷的主要特征。使用冗余字典與稀疏表示，將高噪聲水平下的復(fù)雜載荷求解問題轉(zhuǎn)換為稀疏表示向量的求解問題，L1范數(shù)正則化用于稀疏表示向量的目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建，截斷牛頓內(nèi)點法用于稀疏正則化的求解，改進L曲線準(zhǔn)則用于稀疏正則化參數(shù)的選擇。本文通過對拍頻載荷和連續(xù)沖擊載荷兩種復(fù)雜載荷識別的試驗研究，得出以下結(jié)論：

（1）針對測量數(shù)據(jù)中較高水平的噪聲影響，經(jīng)典Tikhonov正則化方法具有自身的局限性，對噪聲敏感，而本文提出的基于RECT字典的載荷識別方法通過特征提取降低噪聲影響，具有更好的穩(wěn)定性與抗噪性。

（2）相比傳統(tǒng)的DCT字典與Db10小波字典，基于離散余弦基函數(shù)的擴展字典和Db10小波字典級聯(lián)構(gòu)造的RECT字典對復(fù)雜載荷的匹配度更好，稀疏性更高，載荷識別精度也更好。

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