水下大振幅壓電纖維致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的非線性流體動(dòng)力特性及實(shí)驗(yàn)

摘要

水下智能材料驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)在機(jī)器魚(yú)、水下航行器及精密醫(yī)療等領(lǐng)域具有廣闊應(yīng)用前景。本文研究了水下大振幅壓電纖維（Macro Fiber Composite， MFC）致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的非線性流體動(dòng)力特性，建立了流固耦合振動(dòng)模型，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。通過(guò)參數(shù)化的二維CFD分析了不同特征振動(dòng)頻率及振幅下柔性結(jié)構(gòu)周圍流場(chǎng)的分布演化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)隨著柔性結(jié)構(gòu)特征振幅增大，其周圍流場(chǎng)逐漸出現(xiàn)了渦旋脫落及對(duì)流現(xiàn)象，且流體阻尼效應(yīng)的非線性隨之增強(qiáng)。提出了由特征振動(dòng)頻率和振幅共同確定的非線性修正流體動(dòng)力函數(shù)解析表達(dá)式，分析結(jié)果表明：在小振幅情況下，修正流體動(dòng)力函數(shù)虛部也就是流體阻尼效應(yīng)隨著特征振動(dòng)頻率的增大而減?。欢?dāng)特征振幅增大到一定值后，流體阻尼效應(yīng)隨著特征振動(dòng)頻率的增大卻呈現(xiàn)出先減小后增大的變化規(guī)律，具有強(qiáng)烈的非線性特性。開(kāi)展了水下MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，證實(shí)柔性結(jié)構(gòu)在MFC主動(dòng)激勵(lì)下的實(shí)測(cè)幅頻、相頻特性與理論預(yù)測(cè)結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了所提修正流體動(dòng)力函數(shù)表達(dá)式及流固耦合振動(dòng)模型的有效性。

關(guān)鍵詞

非線性流體動(dòng)力學(xué); 流體動(dòng)力函數(shù); 流固耦合振動(dòng); 水下柔性結(jié)構(gòu); 壓電纖維

引 言

鑒于柔性結(jié)構(gòu)具有質(zhì)量輕、柔性好且載荷自重比高等優(yōu)點(diǎn)，柔性結(jié)構(gòu)與周圍流體的耦合作用機(jī)制被研究者引入到工程領(lǐng)域中，在微納機(jī)械傳感/致動(dòng)器件、柔性流體能量俘獲裝置、仿?lián)湟砦w行器以及水下仿生推進(jìn)裝備等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用［1?2］。但是柔性結(jié)構(gòu)特性導(dǎo)致其在流場(chǎng)運(yùn)動(dòng)中易產(chǎn)生彈性振動(dòng)，使整個(gè)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性更加復(fù)雜，并降低了系統(tǒng)性能。因此黏性流體環(huán)境中柔性結(jié)構(gòu)的流固耦合振動(dòng)問(wèn)題引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并成為了研究熱點(diǎn)［3］。

壓電陶瓷、形狀記憶合金、離子基聚合物以及介電彈性體等智能材料為流體環(huán)境中柔性結(jié)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)和主動(dòng)控制提供了全新方式［4］。尤其是MFC致動(dòng)器彌補(bǔ)了傳統(tǒng)壓電陶瓷柔韌性不足的缺點(diǎn)，具有柔性大、變形能力強(qiáng)且驅(qū)動(dòng)力大的優(yōu)點(diǎn)，并具有一定的防水性，適用于水下柔性結(jié)構(gòu)變形的感知、驅(qū)動(dòng)和控制。Zhang等［5］利用MFC收集了T形懸臂梁在水流沖擊下的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)能量。Dong等［6］設(shè)計(jì)了基于MFC致動(dòng)圓形薄片的壓電泵，實(shí)現(xiàn)了最大28.70 mL/min微量流體的精密傳輸。Seeley等［7］利用d31模式的MFC致動(dòng)器主動(dòng)控制柔性水翼的彈性振動(dòng)，并研究了柔性水翼在不同流速下的阻尼特性。Tan等［8］和任梟榮等［9］分別設(shè)計(jì)了基于諧振式MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的水下機(jī)器魚(yú)，證實(shí)了MFC在水下柔性結(jié)構(gòu)的變形驅(qū)動(dòng)領(lǐng)域的潛在價(jià)值。

與空氣中柔性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性相比，水下柔性結(jié)構(gòu)的流固耦合機(jī)制研究中面臨的挑戰(zhàn)就是如何確定非定常流體作用在柔性結(jié)構(gòu)上的時(shí)變流體動(dòng)力載荷。本質(zhì)而言，作用在振蕩柔性機(jī)構(gòu)上的流體動(dòng)力載荷是由結(jié)構(gòu)變形誘導(dǎo)產(chǎn)生的非定常流體慣性、對(duì)流及擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)耦合產(chǎn)生的復(fù)雜作用力。Brumley等［10］提出解析式流體動(dòng)力函數(shù)對(duì)小振幅無(wú)限薄的勻質(zhì)矩形懸臂梁所受的流體動(dòng)力載荷進(jìn)行定量描述，其中流體動(dòng)力函數(shù)的實(shí)部和虛部分別表征流體的附加質(zhì)量和阻尼效應(yīng)。Phan等［11］和Facci等［12］分別研究了結(jié)構(gòu)厚寬比系數(shù)和寬長(zhǎng)比系數(shù)對(duì)勻質(zhì)矩形懸臂梁結(jié)構(gòu)流體動(dòng)力載荷的影響特性。趙立波等［13］通過(guò)研究作用在懸臂梁上的流體動(dòng)壓力，得到懸臂梁諧振頻率與流體密度的函數(shù)關(guān)系。針對(duì)V形梁結(jié)構(gòu)的變截面和變剛度的復(fù)雜幾何特征，胡璐等［14］引入截面孔寬比系數(shù)對(duì)矩形梁流體動(dòng)力函數(shù)進(jìn)行修正，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提V形梁結(jié)構(gòu)修正流體動(dòng)力函數(shù)表達(dá)式的正確性。但是以上研究主要針對(duì)小振幅柔性結(jié)構(gòu)的流固耦合振動(dòng)問(wèn)題，忽略了流體的非線性慣性對(duì)流效應(yīng)，在線性簡(jiǎn)化的Stokes流場(chǎng)框架內(nèi)分析求解流體動(dòng)力載荷問(wèn)題，而Aureli等［15］研究發(fā)現(xiàn)隨著柔性結(jié)構(gòu)振幅增大，流體的對(duì)流及旋渦脫落效應(yīng)將主導(dǎo)非定常流場(chǎng)的變化。Demirer等［16］分析了水下柔性結(jié)構(gòu)在智能材料變形產(chǎn)生內(nèi)部彎矩驅(qū)動(dòng)和在外部激勵(lì)下變形行為的差異，指出水下柔性結(jié)構(gòu)的末端振幅對(duì)流體動(dòng)力載荷的附加質(zhì)量效應(yīng)影響較大。因此深入分析大振幅情況下壓電纖維致動(dòng)水下柔性結(jié)構(gòu)的非線性流固耦合振動(dòng)特性，對(duì)水下智能柔性結(jié)構(gòu)的流固耦合性能分析和應(yīng)用推廣具有重要價(jià)值。

基于經(jīng)典的Euler?Bernoulli梁理論，首先建立水下壓電纖維致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的流固耦合振動(dòng)模型。通過(guò)參數(shù)化的二維CFD分析了不同特征參數(shù)下柔性結(jié)構(gòu)周圍流場(chǎng)的分布特征及演化規(guī)律，并擬合得到大振幅下MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的修正流體動(dòng)力函數(shù)表達(dá)式。最后搭建實(shí)驗(yàn)測(cè)控平臺(tái)，開(kāi)展柔性結(jié)構(gòu)在MFC主動(dòng)激勵(lì)下的空氣和水下振動(dòng)特性實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證所提修正流體動(dòng)力函數(shù)表達(dá)式及流固耦合振動(dòng)模型的有效性。

1 耦合動(dòng)力學(xué)模型建立

圖1給出了水下MFC致動(dòng)柔性梁結(jié)構(gòu)示意圖。一對(duì)MFC致動(dòng)器對(duì)稱地粘貼在柔性梁根部的上下表面。顯然在MFC的致動(dòng)控制下，柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)與周圍流體之間存在著顯著的流固耦合效應(yīng)。

在Euler?Bernoulli 梁簡(jiǎn)化前提下，水下壓電纖維致動(dòng)柔性懸臂梁的流固耦合動(dòng)態(tài)模型可以表示為［17］：

式中 m（x）和k（x）分別為MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)在x截面處的等效質(zhì)量和抗彎剛度；w（x，t），f（x，t）和M（x，t）分別為柔性結(jié)構(gòu)距離固定端x處的橫向振動(dòng)位移、流體動(dòng)力載荷和MFC的致動(dòng)力矩；符號(hào)“ ′ ”代表變量關(guān)于空間位置x的一階導(dǎo)數(shù)，符號(hào)“ · ”代表變量關(guān)于時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)。

將MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量m（x）和等效抗彎剛度k（x）沿著x方向分為兩段，二者表達(dá)式分別為：

式中 ρb， bb和hb分別為梁的密度、截面寬度和厚度；ρp，bp和hp分別為MFC的等效密度、截面寬度和厚度；Eb和Ib分別為梁的楊氏模量和截面極慣性矩；Ep和Ip分別為MFC致動(dòng)器的等效楊氏模量和截面極慣性矩。

對(duì)于MFC致動(dòng)器而言，通?？梢詫⑵湟暈橛梢幌盗醒刂陨斫Y(jié)構(gòu)長(zhǎng)度和寬度方向上的等效電容單元并聯(lián)而成，圖1中采用并聯(lián)方式的兩片MFC致動(dòng)器的致動(dòng)力矩M（x，t）可表示為［18］：

式中 λ為MFC致動(dòng)器的機(jī)電耦合系數(shù)；δ（x）表示 Dirac 函數(shù)；d33表示MFC的等效壓電常數(shù)；br和lr代表MFC中等效體積單元的寬度和長(zhǎng)度；m為等效體積單元沿著MFC寬度方向上的個(gè)數(shù)；V（t）為MFC的驅(qū)動(dòng)電壓。

式（1）中f（x，t）表示流體作用在柔性結(jié)構(gòu)上的流體動(dòng)力載荷。對(duì)柔性結(jié)構(gòu)的低階振動(dòng)模態(tài)而言，其振動(dòng)波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于自身的彈性變形。針對(duì)柔性結(jié)構(gòu)的水下穩(wěn)定振動(dòng)行為，將作用在柔性結(jié)構(gòu)單位長(zhǎng)度方向上的流體動(dòng)力載荷求解問(wèn)題簡(jiǎn)化為剛性無(wú)限薄板振蕩產(chǎn)生的二維流場(chǎng)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)引起的流體動(dòng)力載荷的頻域形式可以簡(jiǎn)化為：

式中 b（x）為柔性結(jié)構(gòu)特征寬度；ρf表示流體密度；ω為柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)角頻率；上標(biāo)“^”表示頻域形式；Θ（x，ω）為未知的無(wú)量綱流體動(dòng)力函數(shù)，其值由無(wú)量綱特征參數(shù)——柔性結(jié)構(gòu)特征振動(dòng)頻率β（x，ω）和柔性結(jié)構(gòu)特征振幅ε（x，ω）共同決定。兩個(gè)無(wú)量綱特征參數(shù)定義為：

式中 μ為流體動(dòng)力黏度。

將式（2）～（7）代入到方程（1）中，并加入滯后形式的結(jié)構(gòu)阻尼，得到方程（1）的頻域表達(dá)形式為：

式中 ζ為MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù)。

基于Euler?Bernoulli梁變形理論，采用假設(shè)模態(tài)法描述水下柔性結(jié)構(gòu)連續(xù)變形的頻域形式為：

式中 n為保留模態(tài)階數(shù)；φi（x）為第i階模態(tài)振型函數(shù)；qi（ω）為第i階廣義模態(tài)坐標(biāo)的頻域形式。

將式（9）結(jié)果代入式（8），并采用標(biāo)準(zhǔn)模態(tài)分析方法，得到描述水下MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)變形的流固耦合動(dòng)力學(xué)方程為：

從式（10）中可以看出：在MFC的致動(dòng)力矩和周圍流體的非線性流體動(dòng)力載荷作用下，即使Euler?Bernoulli梁是線性的，水下MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)仍具有強(qiáng)烈的非線性，且柔性結(jié)構(gòu)的振幅和振動(dòng)頻率都影響著流體動(dòng)力載荷的非線性動(dòng)態(tài)特性。顯然，流體動(dòng)力函數(shù)Θ（β（x，ω），ε（x，ω））決定了柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)過(guò)程中所受的流體動(dòng)力載荷，其求解是分析水下MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)流固耦合振動(dòng)特性的關(guān)鍵。

2 流場(chǎng)特性CFD分析

MFC致動(dòng)器具體型號(hào)為M2814?P1，由Smart Material公司封裝制造。柔性梁結(jié)構(gòu)材料采用鋁合金1100，二者的基本尺寸和結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

數(shù)值分析過(guò)程中，為了盡可能減弱邊界效應(yīng)，流場(chǎng)區(qū)域大小設(shè)置為25 b（x）×25 b（x），b（x）為柔性結(jié)構(gòu)的特征寬度。綜合考慮求解效率和求解精度，將流場(chǎng)劃分為六個(gè)區(qū)域，并進(jìn)行網(wǎng)格獨(dú)立性和步長(zhǎng)獨(dú)立性驗(yàn)證，最后確定的二維流場(chǎng)區(qū)域劃分結(jié)果如圖2所示。CFD計(jì)算中選取柔性梁結(jié)構(gòu)末端截面，綜合考慮柔性結(jié)構(gòu)大振幅工況，特征振動(dòng)頻率和特征振幅參數(shù)的取值范圍分別為β∈［20，2000］和ε∈［0.001，0.1］，具體參數(shù)取值為β=｛20，50，100，150，250，500，750，1000，1250，1500，1750，2000｝，ε=｛0.001，0.002，0.005，0.01，0.02，0.03，0.04，0.05，0.07，0.1｝?；赨DF動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)，設(shè)置柔性梁末端截面在y方向上的位移為A0sin（ωt），其中振幅A0=ε×b。

在ANSYS/Fluent中開(kāi)展MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)周圍流場(chǎng)分析。控制柔性結(jié)構(gòu)周圍流體速度場(chǎng)v（x，y，t）和壓力場(chǎng)p（x，y，t）的二維Navier?Stokes方程如下：

式中 div（·）為散度算子；?為微分算子。

圖3給出了三種不同振幅下柔性結(jié)構(gòu)末端截面周圍流場(chǎng)流速在一個(gè)穩(wěn)定振蕩周期內(nèi)的分布變化情況。在相同特征振動(dòng)頻率β=100條件下，圖3（a），（b）和（c）分別對(duì)應(yīng)小振幅ε=0.001、適中振幅ε=0.01和大振幅ε=0.1三種情況。從圖3（a）～（c）中流速的周期性連續(xù)變化過(guò)程中可以看出，流速最大區(qū)域主要集中在截面上下端部附近，且在t=T/2時(shí)刻，即柔性結(jié)構(gòu)以最大振蕩速度ωA0跨過(guò)平衡位置時(shí)，流場(chǎng)的流速也達(dá)到最大。

在相同特征振動(dòng)頻率下，當(dāng)柔性結(jié)構(gòu)特征振幅從小振幅ε=0.001增大10倍到適中振幅ε=0.01時(shí)，對(duì)比圖3（a）和（b）可以發(fā)現(xiàn)：二者的流場(chǎng)速度分布和演化過(guò)程具有高度相似性，且振蕩柔性結(jié)構(gòu)誘導(dǎo)產(chǎn)生的最大流速也增大了10倍左右，說(shuō)明流速變化與柔性結(jié)構(gòu)特征振幅ε近似呈線性關(guān)系，意味著Navier?Stokes方程中的非線性慣性對(duì)流項(xiàng)較弱，以線性擴(kuò)散項(xiàng)為主。但是，當(dāng)柔性結(jié)構(gòu)特征振幅從適中振幅ε=0.01增大到大振幅ε=0.1時(shí)，對(duì)比圖3（b）和（c）觀察到流速的分布特征發(fā)生了顯著變化，在大振幅柔性結(jié)構(gòu)端部附近出現(xiàn)了明顯的高速流場(chǎng)包圍的零速區(qū)域，該零速區(qū)域?qū)?yīng)渦量場(chǎng)的渦心，意味著柔性結(jié)構(gòu)截面端部伴隨著渦旋相干結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生、發(fā)展、脫落及耗散現(xiàn)象［19］，這種情況在ε=0.001和0.01時(shí)均未出現(xiàn)。另外，當(dāng)特征振幅ε由0.01增大10倍至0.1時(shí)，速度標(biāo)尺最大值顯示流場(chǎng)流速增大了16倍左右。顯然，隨著柔性結(jié)構(gòu)振幅的增大，流場(chǎng)中的非線性效應(yīng)也隨之增強(qiáng)，水下柔性結(jié)構(gòu)的振幅對(duì)其非線性流固耦合動(dòng)力學(xué)特性具有顯著影響。

圖4給出了三種振幅參數(shù)下柔性結(jié)構(gòu)周圍壓力場(chǎng)在一個(gè)振蕩周期內(nèi)的演化情況。顯然，壓力場(chǎng)變化與速度場(chǎng)相似，也呈現(xiàn)周期性變化，且前、后半個(gè)周期正、負(fù)壓力集中分布區(qū)域分布情況相反。對(duì)比圖4（a）～（c）發(fā)現(xiàn)：小振幅和適中振幅情況下壓力場(chǎng)分布特征非常相似，而大振幅下的壓力場(chǎng)分布特征較前二者有顯著的差異，且不對(duì)稱的壓力場(chǎng)分布行為與渦旋相干結(jié)構(gòu)的形成和脫落顯著相關(guān)［19］。同樣地，當(dāng)特征振幅ε從0.001增大10倍至0.01時(shí)，壓力場(chǎng)最大值也隨之增大10倍，二者變化近似呈線性關(guān)系。但是，當(dāng)柔性結(jié)構(gòu)特征振幅從0.01變化到0.1時(shí)，對(duì)比圖4（b）和（c）發(fā)現(xiàn)壓力場(chǎng)最大值增大了15倍，出現(xiàn)了明顯的非線性特征。

振蕩柔性結(jié)構(gòu)周圍流體的非線性阻尼效應(yīng)是旋渦形成及傳遞現(xiàn)象的主要驅(qū)動(dòng)因素。圖5展示了旋渦的形成、擴(kuò)散及對(duì)流過(guò)程。在圖5（a）小振幅和圖5（b）適中振幅中，二者渦量場(chǎng)的演化特征相似性很高，且渦量的形成和發(fā)展主要集中在柔性結(jié)構(gòu)端部附近，流場(chǎng)對(duì)流運(yùn)動(dòng)較弱，不足以傳遞旋渦，導(dǎo)致旋渦在流場(chǎng)黏滯效應(yīng)下很快耗散，基本觀察不到旋渦的發(fā)展和脫落現(xiàn)象。在大振幅情況下，柔性結(jié)構(gòu)端部附近的渦量區(qū)域明顯擴(kuò)大，隨后向四周對(duì)流傳輸，渦旋的形成、脫落及擴(kuò)散過(guò)程與速度場(chǎng)中相似。同樣地，當(dāng)ε從0.001增大到0.01再到0.1時(shí)，對(duì)應(yīng)的渦量強(qiáng)度相應(yīng)地增強(qiáng)了10倍和13倍。因此，柔性結(jié)構(gòu)振幅的增大增強(qiáng)了渦量場(chǎng)的非線性，顯著改變了流場(chǎng)旋渦的分布特性和演化過(guò)程。

3 修正流體動(dòng)力函數(shù)求解

除了振蕩柔性結(jié)構(gòu)周圍流速、壓力及渦量以外，CFD分析也得到了流體每刻作用在柔性結(jié)構(gòu)上的流體動(dòng)力載荷，由于其變化頻率與柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率一致，且二者都隨時(shí)間作正弦規(guī)律變化，故作用在柔性結(jié)構(gòu)上的流體動(dòng)力載荷可描述為：

F（t）=F0sin（ωt+ψ0）" " （12）

式中 F0為流體動(dòng)力載荷的幅值；ψ0為流體動(dòng)力載荷與柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移之間的相位差。

結(jié)合流體動(dòng)力載荷的頻域表達(dá)式（5）和時(shí)域表達(dá)式（12），復(fù)指數(shù)形式的流體動(dòng)力函數(shù)Θ（β， ε）表示為：

圖6給出了小振幅情況下（?=0.001）流體動(dòng)力函數(shù)的實(shí)部和虛部隨著特征振動(dòng)頻率參數(shù)β的變化情況?？梢钥闯觯盒≌穹闆r下流體動(dòng)力函數(shù)的實(shí)部Re（Θ）和虛部-Im（Θ）都隨著β的增大而減小，表明隨著柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率增大，其所受的流體附加質(zhì)量力和阻尼力相應(yīng)減小。針對(duì)小振幅矩形截面微梁的流體動(dòng)力函數(shù)，目前廣泛采用無(wú)量綱厚度的仿射映射量β-0.5［15］描述流體動(dòng)力函數(shù)的變化情況，如下式所示［20］：

從圖6中CFD數(shù)值求解結(jié)果和式（14）的對(duì)比情況可以看出，二者隨著特征振動(dòng)頻率β的變化規(guī)律基本一致，MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)截面寬度和寬厚比遠(yuǎn)大于薄壁微梁，故所受流體附加質(zhì)量力略大于后者，導(dǎo)致在同一特征振動(dòng)頻率下的流體動(dòng)力函數(shù)實(shí)部Re（Θ）略高于式（14）的結(jié)果，且二者所受流體阻尼力隨著特征振動(dòng)頻率的變化而顯著變化。同樣引入仿射映射量β-0.5，采用最小二乘法對(duì)CFD數(shù)值結(jié)果進(jìn)行擬合得到小振幅下MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)流體動(dòng)力函數(shù)：

隨著柔性結(jié)構(gòu)振幅增大，其周圍流場(chǎng)旋渦的發(fā)展、脫落及對(duì)流現(xiàn)象也愈加顯著。為描述大振幅下柔性結(jié)構(gòu)的流體動(dòng)力函數(shù)，對(duì)描述小振幅柔性結(jié)構(gòu)的線性流體動(dòng)力函數(shù)式（15）進(jìn)行非線性修正，得到：

式中 Δ（β，?）為與柔性結(jié)構(gòu)振幅相關(guān)的非線性修正項(xiàng)，且當(dāng)?→0時(shí)，非線性修正項(xiàng)Δ（β，0）為零。

基于CFD結(jié)果，通過(guò)式（15）和（16）即可求得修正項(xiàng)Δ（β，?）的數(shù)值。修正項(xiàng)Δ（β，?）的實(shí)部隨著柔性結(jié)構(gòu)振幅的增大變化很小，因此流體動(dòng)力函數(shù)實(shí)部基本不受振幅參數(shù)的影響，可認(rèn)為Re［Δ（β，?）］與?無(wú)關(guān)，等于零。圖7給出了不同特征振動(dòng)頻率參數(shù)β下，修正項(xiàng)Δ（β，?）的虛部隨著特征振幅參數(shù)?的變化規(guī)律。與Δ（β，?）實(shí)部變化規(guī)律明顯不同，其負(fù)虛部-Im［Δ（β，?）］在同一特征振動(dòng)頻率參數(shù)β下隨著振幅參數(shù)?的增大顯著增大，因此可以判斷水下振蕩柔性結(jié)構(gòu)所受的流體阻尼效應(yīng)隨著其振幅的增大而增強(qiáng)，而其所受的附加質(zhì)量效應(yīng)基本保持不變。需要指出的是，當(dāng)?→0時(shí)，對(duì)應(yīng)于小振幅情況，此時(shí)-Im［Δ（β，?）］的值也基本為零，如圖7所示。表明由于流場(chǎng)退化到線性流場(chǎng)，大振幅情況下的非線性流體動(dòng)力學(xué)函數(shù)Θr（β，?）也退化為小振幅線性的Θ（β），進(jìn)一步證實(shí)了式（15）對(duì)線性流場(chǎng)施加在小振幅振蕩柔性結(jié)構(gòu)上的流體動(dòng)力效應(yīng)的刻畫(huà)能力［21］。

為了建立式（16）中非線性修正項(xiàng)Δ（β，?）的解析表達(dá)式，由于認(rèn)為修正項(xiàng)實(shí)部Re［Δ（β，?）］=0，采用如下函數(shù)僅對(duì)其虛部-Im［Δ（β，?）］進(jìn)行最小二乘擬合［15］：

式中 δ，d1和d2為擬合參數(shù)。通過(guò)最小二乘法初步擬合得到d1=0.449，d2=1.453。進(jìn)一步通過(guò)設(shè)定d1=0.45，d2=1.45簡(jiǎn)化冪指數(shù)，再次擬合得到δ=0.865，最終得到非線性修正項(xiàng)Δ（β，?）的表達(dá)式為：

式（18）流體動(dòng)力函數(shù)修正項(xiàng)虛部的擬合優(yōu)度如圖8所示，其擬合確定系數(shù)為0.9892，表明式（18）對(duì)CFD數(shù)值計(jì)算結(jié)果具有良好的擬合精度。

結(jié)合式（15）～（18），圖9給出了不同特征振幅下作用在柔性結(jié)構(gòu)上的修正水動(dòng)力函數(shù)Θr（β，?）的負(fù)虛部隨著特征振動(dòng)頻率參數(shù)β的變化情況。從圖9中可以得到如下規(guī)律：在小振幅情況下（?≤0.1），修正水動(dòng)力函數(shù)的負(fù)虛部隨著β增大而減?。欢?dāng)特征振幅參數(shù)增大到一定值后（?≥0.1），修正水動(dòng)力函數(shù)Θr（β，?）的負(fù)虛部隨著特征振動(dòng)頻率參數(shù)β的增大明顯呈現(xiàn)出先減小后增大的變化規(guī)律。顯然，隨著MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)振幅增大，流場(chǎng)中旋渦的形成、發(fā)展、脫落及耗散等演化現(xiàn)象導(dǎo)致流場(chǎng)的非線性也逐漸增強(qiáng)并占據(jù)主導(dǎo)地位，造成作用在柔性結(jié)構(gòu)上的流體阻尼力出現(xiàn)了強(qiáng)烈的非線性特征［22］。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

采用環(huán)氧樹(shù)脂膠（3M?DP460）將一對(duì)MFC致動(dòng)器（MFC?2814?P1，Smart Materials Corp.）對(duì)稱地粘貼在柔性梁基體根部?jī)蓚?cè)，并對(duì)致動(dòng)器正負(fù)極引出觸點(diǎn)作防水和絕緣處理。為保證致動(dòng)器與基體粘貼可靠，將整個(gè)結(jié)構(gòu)放入真空干燥箱中靜壓保溫6 h（溫度：80 ℃，壓強(qiáng)：0.06 MPa）。將MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)沿著水箱長(zhǎng)度方向固定放置于0.76 m × 0.46 m× 0.5 m的水箱中部。由于水箱寬度方向尺寸遠(yuǎn)大于柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)波長(zhǎng)，可忽略箱體壁面效應(yīng)和表面波動(dòng)效應(yīng)。搭建如圖10所示的測(cè)試平臺(tái)，測(cè)試過(guò)程中MFC致動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)信號(hào)由PC機(jī)發(fā)出，經(jīng)嵌入在數(shù)據(jù)采集機(jī)箱NI cDAQ?9178上的D/A模塊NI?AO9263輸出，并通過(guò)功率放大器Trek PZD700A放大200倍后施加到致動(dòng)器上；同時(shí)利用激光位移傳感器Keyence LK?G80同步實(shí)時(shí)獲取柔性結(jié)構(gòu)末端在MFC致動(dòng)器作用下的振動(dòng)位移，并通過(guò)A/D模塊NI?AI9205經(jīng)USB總線輸送到PC機(jī)，整個(gè)測(cè)試實(shí)驗(yàn)平臺(tái)統(tǒng)基于LABVIEW軟件平臺(tái)完成。

為了驗(yàn)證所提出的修正流體動(dòng)力函數(shù)表達(dá)式以及MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)流固耦合振動(dòng)模型的正確性，分別了開(kāi)展空氣和水下MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性實(shí)驗(yàn)。首先對(duì)MFC致動(dòng)器施加正弦掃頻信號(hào)以獲取柔性結(jié)構(gòu)在空氣中的振動(dòng)特性，掃頻過(guò)程中驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)峰峰值為800 V，采樣頻率為1000 Hz，頻率范圍為0.1～30 Hz，持續(xù)時(shí)間20 s。通過(guò)對(duì)激光位移傳感器獲取的柔性結(jié)構(gòu)末端振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行FFT分析，初步得到空氣中MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的一階固有頻率約為17.3 Hz。

進(jìn)一步選用峰峰值為800 V，頻率范圍為1～22 Hz的正弦電壓信號(hào)（共27組）作為MFC致動(dòng)器的激勵(lì)信號(hào)，測(cè)試空氣中MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)特性。圖11（a）和（b）分別給出了空氣中MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)理論和實(shí)測(cè)的幅值?頻率和相位?頻率響應(yīng)特性對(duì)比結(jié)果，根據(jù)半功率帶寬法可以從實(shí)驗(yàn)結(jié)果中計(jì)算出MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)阻尼為0.04。顯然，空氣中MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)末端的實(shí)測(cè)頻響特性與理論計(jì)算結(jié)果大致吻合，但是圖11（b）中實(shí)測(cè)相頻特性與理論結(jié)果存在-8.28°的初始相位差，這是由于理論計(jì)算中的模態(tài)直接截?cái)喾椒▽?dǎo)致系統(tǒng)零點(diǎn)重新分布，改變了系統(tǒng)的相頻特性［23］。

進(jìn)一步開(kāi)展了柔性結(jié)構(gòu)在MFC致動(dòng)器不同簡(jiǎn)諧信號(hào)激勵(lì)下的穩(wěn)定流固耦合振動(dòng)特性測(cè)試。施加峰峰值為800 V，頻率范圍為0.1～4.9 Hz的正弦激勵(lì)信號(hào)（共22組）到MFC致動(dòng)器上，實(shí)驗(yàn)測(cè)得不同頻率下水下柔性結(jié)構(gòu)末端穩(wěn)定振動(dòng)的幅頻特性及相頻特性，并與理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比，如圖12所示。周圍流體的附加質(zhì)量和非線性流體阻尼效應(yīng)導(dǎo)致柔性結(jié)構(gòu)的一階固有頻率由空氣中的17.3 Hz降低為2.4 Hz，其固有頻率激勵(lì)下的穩(wěn)定振幅也由6.5 mm減小到4.8 mm。同樣地，柔性結(jié)構(gòu)的實(shí)測(cè)相頻特性與理論結(jié)果也存在著-8.57°的初始相位差，如圖12（b）所示。

圖12對(duì)比結(jié)果證實(shí)采用小振幅線性流體動(dòng)力函數(shù)式（14）求得的柔性結(jié)構(gòu)頻響特性曲線與實(shí)際結(jié)果差異較大，這主要是由于水下柔性結(jié)構(gòu)末端的實(shí)際特征振幅?已超過(guò)0.1，因而其振動(dòng)特性受到強(qiáng)烈的非線性流體阻尼效應(yīng)影響。而采用的線性流體動(dòng)力函數(shù)式（14）虛部明顯小于實(shí)際值，計(jì)算過(guò)程中低估了流體的非線性阻尼效應(yīng)，因而基于式（14）求解得到的一階固有頻率明顯大于實(shí)際值，且響應(yīng)幅值略高于實(shí)測(cè)值。需要指出的是，由于式（14）低估了流體阻尼效應(yīng)導(dǎo)致其預(yù)測(cè)的水下柔性結(jié)構(gòu)頻響特性帶寬小于實(shí)際值。比較而言，采用式（16）中Θr（β，?）所得的理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本吻合，說(shuō)明本文提出的修正流體動(dòng)力函數(shù)可以有效地描述作用在MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)上的流體附加質(zhì)量效應(yīng)和非線性流體阻尼效應(yīng)的變化情況，證實(shí)了所提出的修正流體動(dòng)力函數(shù)表達(dá)式以及MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)流固耦合振動(dòng)模型的有效性。

5 結(jié) 論

本文以水下壓電纖維致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，分析了其在大振幅下的非線性流體動(dòng)力特性，建立了系統(tǒng)流固耦合振動(dòng)模型并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。首先基于歐拉?伯努利梁理論建立了水下壓電纖維致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的流固耦合動(dòng)力學(xué)模型。通過(guò)CFD仿真定性分析了不同振幅下振蕩柔性結(jié)構(gòu)周圍流體速度場(chǎng)、壓力場(chǎng)及渦量場(chǎng)的分布及演化情況，發(fā)現(xiàn)了隨著柔性結(jié)構(gòu)振幅增大，其周圍流場(chǎng)渦旋相干結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生、發(fā)展、脫落及耗散等運(yùn)動(dòng)逐漸增強(qiáng)，從而導(dǎo)致非線性流體動(dòng)力效應(yīng)也隨之增強(qiáng)。在描述小振幅柔性結(jié)構(gòu)周圍線性流場(chǎng)的流體動(dòng)力函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過(guò)疊加非線性修正項(xiàng)，提出由柔性結(jié)構(gòu)特征振蕩頻率和特征振幅共同決定的修正流體動(dòng)力函數(shù)來(lái)表征柔性結(jié)構(gòu)周圍的非線性流體動(dòng)力效應(yīng)。發(fā)現(xiàn)在小振幅情況下，修正流體動(dòng)力函數(shù)的負(fù)虛部也就是流體阻尼效應(yīng)隨著特征振動(dòng)頻率的增大而減小；而當(dāng)特征振幅增大到一定值后，流體阻尼效應(yīng)隨著特征頻率的增大呈現(xiàn)出先減小后增大的非線性變化規(guī)律。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的修正流體動(dòng)力函數(shù)可以有效地描述作用在大振幅MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)上的流體附加質(zhì)量效應(yīng)和非線性流體阻尼效應(yīng)的變化情況，證實(shí)了所提出流體動(dòng)力函數(shù)表達(dá)式以及MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)流固耦合振動(dòng)模型的有效性。相關(guān)研究為水下智能柔性結(jié)構(gòu)流固耦合特性分析及應(yīng)用提供了參考。

參考文獻(xiàn)

1

王光慶， 崔素娟， 武海強(qiáng)， 等. 多穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)能量采集器的動(dòng)力學(xué)模型及其特性分析［J］. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)， 2019， 32（2）： 252-263.

Wang Guangqing， Cui Sujuan， Wu Haiqiang， et al. Dynamical model and characteristics of a multi-stable piezoelectric vibration energy harvester［J］. Journal of Vibration Engineering， 2019， 32（2）： 252-263.

2

余龍煥， 邱志成， 張憲民. 基于加速度反饋的平面3-RRR柔性并聯(lián)機(jī)器人自激振動(dòng)控制［J］. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)， 2019， 55（21）： 40-50.

Yu Longhuan， Qiu Zhicheng， Zhang Xianmin. Self-excited vibration control of the planar 3-RRR flexible parallel manipulator based on acceleration feedback［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2019， 55（21）： 40-50.

3

Shah U H， Hong K S， Choi S H. Open-loop vibration control of an underwater system： application to refueling machine［J］. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics， 2017， 22（4）： 1622-1632.

4

王田苗， 郝雨飛， 楊興幫， 等. 軟體機(jī)器人： 結(jié)構(gòu)、驅(qū)動(dòng)、傳感與控制［J］. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)， 2017， 53（13）： 1-13.

Wang Tianmiao， Hao Yufei， Yang Xingbang， et al. Soft robotics： structure， actuation， sensing and control［J］. Journal of Mechanical Engineering，2017， 53（13）： 1-13.

5

Zhang G C， Klumpner C， Lin Y J. Energy harvesting utilizing reciprocating flow-induced torsional vibration on a T-shaped cantilever beam［J］. Smart Materials and Structures， 2018， 28（2）： 025001.

6

Dong J S， Liu C， Chen Q Q， et al. Design and experimental research of piezoelectric pump based on macro fiber composite［J］. Sensors and Actuators A： Physical， 2020， 312： 112-123.

7

Seeley C， Coutu A， Monette C， et al. Characterization of hydrofoil damping due to fluid?structure interaction using piezocomposite actuators［J］. Smart Materials and Structures， 2012， 21（3）： 035027.

8

Tan D， Yavarow P， Erturk A. Nonlinear elastodynamics of piezoelectric macro-fiber composites with interdigitated electrodes for resonant actuation［J］. Composite Structures， 2018， 187： 137-143.

9

任梟榮， 婁軍強(qiáng)， 賈振， 等. 壓電纖維致動(dòng)的仿鯉魚(yú)尾鰭式小型推進(jìn)器的擺動(dòng)特性及流固耦合機(jī)理［J］. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)， 2019， 55（20）： 214-221.

Ren Xiaorong， Lou Junqiang， Jia Zhen， et al. Oscillating performance and fluid-structure interaction mechanism of a small koi’s caudal fin-like underwater propulsion actuated by MFC［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2019， 55（20）： 214-221.

10

Brumley D R， Willcox M， Sader J E. Oscillation of cylinders of rectangular cross section immersed in fluid［J］. Physics of Fluids， 2010， 22（9）： 052001.

11

Phan C N， Aureli M， Porfiri M. Finite amplitude vibrations of cantilevers of rectangular cross sections in viscous fluids［J］. Journal of Fluids and Structures， 2013， 40： 52-69.

12

Facci A L， Porfiri M. Nonlinear hydrodynamic damping of sharp-edged cantilevers in viscous fluids undergoing multi-harmonic base excitation［J］. Journal of Applied Physics， 2012， 112（12）： 124908.

13

趙立波， 徐龍起， 熱合曼艾比布力， 等. 矩形微懸臂梁的流固耦合諧振頻率分析［J］. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)， 2013， 47（11）： 60-64.

Zhao Libo， Xu Longqi， Rahman Hebibul， et al. Resonant frequency of rectangular micro-cantilever in fluid-structure interaction［J］. Journal of Xi’an Jiaotong University， 2013， 47（11）： 60-64.

14

胡璐， 閆寒， 張文明， 等. 黏性流體環(huán)境下V型懸臂梁結(jié)構(gòu)流固耦合振動(dòng)特性研究［J］. 力學(xué)學(xué)報(bào)， 2018， 50（3）： 643-653.

Hu Lu， Yan Han， Zhang Wenming， et al. Analysis of flexural vibration of V-shaped beams immersed in viscous fluids［J］. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2018， 50（3）： 643-653.

15

Aureli M， Basaran M E， Porfiri M. Nonlinear finite amplitude vibrations of sharp-edged beams in viscous fluids［J］. Journal of Sound and Vibration， 2012， 331（7）： 1624-1654.

16

Demirer E， Wang Y C， Erturk A， et al. Effect of actuation method on hydrodynamics of elastic plates oscillating at resonance［J］. Journal of Fluid Mechanics， 2021， 910： A4.

17

朱吟龍， 譚大鵬， 李霖， 等. 含裂紋損傷充液圓柱殼的振動(dòng)響應(yīng)求解方法［J］. 固體力學(xué)學(xué)報(bào)， 2019， 40（1）： 51-73.

Zhu Yinlong， Tan Dapeng， Li Lin， et al. A method for analyzing the vibration responses of thin liquid-filled cylindrical shells with crack damage［J］. Chinese Journal of Solid Mechanics， 2019， 40（1）： 51-73.

18

劉露， 裘進(jìn)浩， 季宏麗， 等. 橡膠壓電堆隔振系統(tǒng)參數(shù)最優(yōu)化反饋控制［J］. 振動(dòng)與沖擊， 2016， 35（14）：7-12.

Liu Lu， Qiu Jinhao， Ji Hongli， et al. Vibration isolation system consisting of rubber and piezostack and making use of a controller with optimized feedback parameters［J］. Journal of Vibration and Shock， 2016， 35（14）： 7-12.

19

Facci A L， Porfiri M. Analysis of three-dimensional effects in oscillating cantilevers immersed in viscous fluids［J］. Journal of Fluids and Structures， 2013， 38： 205-222.

20

黃玨皓， 婁軍強(qiáng)， 楊依領(lǐng)， 等. 黏性流體環(huán)境中壓電宏纖維致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的流固耦合振動(dòng)特性及試驗(yàn)［J］. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)， 2021， 57（22）： 376-385.

Huang Juehao， Lou Junqiang， Yang Yiling， et al. Analysis and experiment of fluid-structure coupled vibration of MFC-actuated flexible structure immersed in viscous fluids［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2021， 57（22）： 376-385.

21

Shrestha B， Ahsan S N， Aureli M. Experimental study of oscillating plates in viscous fluids： qualitative and quantitative analysis of the flow physics and hydrodynamic forces［J］. Physics of Fluids， 2018， 30（1）： 013102.

22

Grimaldi E， Porfiri M， Soria L. Finite amplitude vibrations of a sharp-edged beam immersed in a viscous fluid near a solid surface［J］. Journal of Applied Physics， 2012， 112（10）： 104907.

23

Tan D， Wang Y C， Kohtanen E， et al. Trout-like multifunctional piezoelectric robotic fish and energy harvester［J］. Bioinspiration amp; Biomimetics， 2021， 16（4）： 046024.