河道水力幾何關(guān)系研究進(jìn)展

摘 要：河道水力幾何關(guān)系（河相關(guān)系）研究旨在尋求流域因子與河床地貌形態(tài)的定量關(guān)系。系統(tǒng)回顧了斷面水力幾何和沿程水力幾何關(guān)系的研究方法，總結(jié)了經(jīng)驗(yàn)分析法、穩(wěn)定性理論、極值假說及變分方法的主要成果和存在的不足。結(jié)果表明：①這4種方法既有各自的優(yōu)缺點(diǎn)及適用性，又彼此相關(guān)。②經(jīng)驗(yàn)分析法是探究普適性水力幾何關(guān)系式的必經(jīng)之路；穩(wěn)定性理論由于設(shè)置太多限定條件，難以推廣；極值假說在河流地貌調(diào)整規(guī)律中尚缺少理論支撐；變分方法澄清了最大、最小極值假說的爭(zhēng)論，具有廣闊的應(yīng)用前景。③斷面水力幾何和沿程水力幾何關(guān)系分別在空間和時(shí)間維度有所延伸，尤其是多斷面水力幾何關(guān)系在估測(cè)河段流量方面具有良好應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞：水力幾何關(guān)系；河床地貌形態(tài)；沖積河流

中圖分類號(hào)：TV14 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引 言

河流為人類生存生產(chǎn)提供淡水、電力資源，是全球水文循環(huán)的重要組成部分。因此，對(duì)河流響應(yīng)流量變化的規(guī)律——水力幾何關(guān)系（河相關(guān)系）的研究非常必要。

關(guān)于水力幾何關(guān)系的研究多從河流地貌理論出發(fā)，早期，Davis提出了長(zhǎng)時(shí)間尺度的地貌演化過程，后來Horton、Strahler和Hack通過分析流域水系結(jié)構(gòu)，在其基礎(chǔ)上提出了地貌動(dòng)態(tài)平衡理論，彌補(bǔ)了Davis侵蝕循環(huán)理論的不足。Lane定性考慮了輸沙量、粒徑大小、流量和比降相互作用對(duì)河流地貌變化的影響[1]，不同學(xué)者們對(duì)水力幾何關(guān)系的研究從定性的經(jīng)驗(yàn)性規(guī)律逐漸向探究其物理原理轉(zhuǎn)變。1953年，Leopold等[2]通過現(xiàn)場(chǎng)反復(fù)測(cè)量美國(guó)西部諸多河流的斷面數(shù)據(jù)，提出一個(gè)經(jīng)驗(yàn)方程組，以表述沖積河流通過自動(dòng)調(diào)整達(dá)到較長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)的平衡狀態(tài)，其斷面形態(tài)與流域因素之間存在的某種定量關(guān)系——水力幾何關(guān)系。

水力幾何關(guān)系一般分為斷面水力幾何和沿程水力幾何。斷面水力幾何描述的是某一斷面的瞬時(shí)流量、寬度、平均水深和斷面平均流速之間的函數(shù)關(guān)系，主要反映河道斷面形態(tài)對(duì)流量過程的響應(yīng)。由于斷面水力幾何的研究只專注于單獨(dú)的斷面，忽略了流域水系的影響，因此在空間的一致性上有所欠缺。沿程水力幾何則是指幾個(gè)連續(xù)斷面在某一特征流量（如平灘流量、年均流量）下其平均河寬、平均水深及河流下游斷面流速與該特征流量間的函數(shù)關(guān)系。特征流量的選取原則是選擇對(duì)河流水沙過程起主導(dǎo)作用的流量（造床流量），因此，當(dāng)研究對(duì)象為沖積河流時(shí)，大多選擇平灘流量[3-4]；對(duì)于庫(kù)區(qū)河道，則選取汛期平均流量。沿程水力幾何反映了空間尺度下河道形態(tài)的轉(zhuǎn)化規(guī)律[5]，對(duì)認(rèn)識(shí)河流自我調(diào)整、河型轉(zhuǎn)化、流量估算具有重要意義[6]，一定程度上彌補(bǔ)了斷面水力幾何的不足。但沿程水力幾何關(guān)系只能反映某一特征流量下河流地貌形態(tài)在空間上的連續(xù)性和一致性，無法表達(dá)不同頻率流量下河流地貌的變化規(guī)律[4]。因此，尋求水力幾何關(guān)系的時(shí)空聯(lián)系，總結(jié)出具有普適性的水力幾何關(guān)系式成為研究的熱點(diǎn)與難點(diǎn)。

本文將從斷面水力幾何和沿程水力幾何關(guān)系的研究方法切入，總結(jié)不同方法的優(yōu)缺點(diǎn)、適用性、影響因素，以及水力幾何關(guān)系的理論延伸及應(yīng)用，闡明不同水力幾何關(guān)系研究方法的側(cè)重點(diǎn)及現(xiàn)實(shí)意義，為揭示國(guó)內(nèi)河流地貌變化規(guī)律提供參考。

1 水力幾何關(guān)系研究方法

1.1 經(jīng)驗(yàn)分析法

1.1.1 斷面水力幾何關(guān)系

自Leopold和Maddock提出水力幾何關(guān)系式后，學(xué)者們?cè)诓煌恿魃线M(jìn)行了斷面水力幾何關(guān)系的實(shí)測(cè)驗(yàn)證[7-8]。Park[9]和Rhodes[10]對(duì)驗(yàn)證結(jié)果進(jìn)行了總結(jié)研究，認(rèn)為斷面水力幾何的指數(shù)在不同河流間和流域范圍內(nèi)并無明顯規(guī)律，用區(qū)域內(nèi)斷面水力幾何指數(shù)的平均值來描述該區(qū)域內(nèi)河流地貌形態(tài)變化規(guī)律并不合理。Ferguson[11]開創(chuàng)性地加入了已經(jīng)被廣泛接受的曼寧公式，通過收集分析斷面的瞬時(shí)河寬、河深、流速和站點(diǎn)的流量，認(rèn)為斷面水力幾何關(guān)系的指數(shù)是斷面幾何形狀的函數(shù)，自此，對(duì)于斷面水力幾何關(guān)系的實(shí)證研究暫時(shí)告一段落。Singh[12-13]在其研究基礎(chǔ)上，推導(dǎo)得出對(duì)應(yīng)11種不同形狀的派生斷面水力幾何關(guān)系。Dingman[14]詳細(xì)研究了比降、糙率、沉積物負(fù)荷、斷面幾何形狀等因素可能對(duì)斷面水力幾何關(guān)系中的指數(shù)和系數(shù)造成的影響，認(rèn)為系數(shù)和指數(shù)以復(fù)雜的方式依賴于其他斷面水力幾何參數(shù)及斷面幾何形狀，但無法得到明確的函數(shù)形式。

Richards[15]發(fā)現(xiàn)斷面水力幾何關(guān)系的指數(shù)在不同的河型中具有明顯的規(guī)律。對(duì)于山區(qū)河流，Caraballo-Arias發(fā)現(xiàn)流速、河寬和河深是影響斷面水力幾何的主要因素，當(dāng)流量越大時(shí)，對(duì)流速的預(yù)測(cè)越準(zhǔn)確[16-17]；在所有水力變量中，對(duì)河深的預(yù)測(cè)精度最高；河道大小對(duì)寬度指數(shù)的影響明顯[17]。另外，河道糙率和河床比降對(duì)斷面水力幾何關(guān)系的影響也不可忽視。

1.1.2 沿程水力幾何關(guān)系

同斷面水力幾何關(guān)系一樣，沿程水力幾何關(guān)系也是通過實(shí)測(cè)資料被發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證[18-20]。Park[9]收集了全世界72條河流的沿程水力幾何關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其指數(shù)大多分布在某個(gè)范圍。邊界條件的變化會(huì)導(dǎo)致沿程水力幾何關(guān)系中系數(shù)、指數(shù)產(chǎn)生較大不同，而具有相似床沙組成和河型會(huì)使其指數(shù)的分布范圍相對(duì)一致[21-22]。河道內(nèi)植被[23]和河岸植被，還有河岸沉積[24]會(huì)影響河岸強(qiáng)度系數(shù)，進(jìn)而影響沿程水力幾何關(guān)系，具體表現(xiàn)為河岸植被會(huì)影響系數(shù)，但不會(huì)影響指數(shù)；較大研究尺度內(nèi)[25]河岸植被對(duì)河道寬度的影響大于深度和流速[26-27]。在河床以固結(jié)粘土為主的非沖積河流中，沿程水力幾何關(guān)系的寬度指數(shù)與典型礫石和砂石河床的沖積河流相當(dāng)，而深度指數(shù)更大[28]。Vachtman發(fā)現(xiàn)了粘性河道基準(zhǔn)面越高，流速指數(shù)和深度指數(shù)越小，越靠近上游，寬度指數(shù)越小；當(dāng)河道基準(zhǔn)面較低時(shí)，河道向剖面變陡、通道變窄趨勢(shì)調(diào)整[29]。王延貴等[30]從水系連通性角度分析并推求河道水力幾何關(guān)系后提出，河道來水來沙條件、分（匯）流狀況與河道邊界形態(tài)的協(xié)同作用是水系連通的控制核心。

很長(zhǎng)一段時(shí)期人們對(duì)河流地貌自動(dòng)調(diào)整的認(rèn)識(shí)主要以經(jīng)驗(yàn)性為主，缺乏可靠的理論支撐。1998年，Orlandini等[31]提出了一種流域分布動(dòng)力學(xué)建模方法，將斷面水力幾何和沿程水力幾何關(guān)系通過糙率、局部河段比降、河寬和斷面面積聯(lián)系起來：

式中：S是局部河段比降；W0是河段出口斷面寬度；Q0是河段出口斷面流量；b′和b″分別是斷面水力幾何和沿程水力幾何關(guān)系寬度指數(shù)；A和A0是河段內(nèi)和河段出口斷面面積。

求解具有普適性的水力幾何關(guān)系式，需要解決三個(gè)方程（水流連續(xù)性方程、水流阻力方程、泥沙運(yùn)動(dòng)方程）和四個(gè)變量（河寬、水深、流速、河床比降）的無閉合解問題。學(xué)者們主要通過穩(wěn)定性理論、極值假說、變分方法等三類方法來試圖尋找第四個(gè)條件使方程組閉合，且以求解沿程水力幾何方程式為主。

1.2 穩(wěn)定性理論

Parker[32-33]分別以非粘性沙床和礫石河道為研究對(duì)象，通過設(shè)置一系列的邊界條件，求解兩種河道的水力幾何關(guān)系式。對(duì)于非粘性沙床河道，Parker通過限定岸坡沖刷速率等于懸移質(zhì)側(cè)向沉積速率來使假設(shè)的寬淺對(duì)稱順直河道保持平衡狀態(tài)。而對(duì)于礫石河道，Parker引入了臨界起動(dòng)理論，即認(rèn)為當(dāng)河流具有平灘流量時(shí)河道內(nèi)泥沙恰好都處于臨界起動(dòng)狀態(tài)，并在此基礎(chǔ)上將臨界起動(dòng)點(diǎn)限制在河岸與河床的交點(diǎn)上，認(rèn)為河床有推移質(zhì)運(yùn)動(dòng)且兩岸相對(duì)穩(wěn)定。

Parker基于謝爾茲數(shù)提出一個(gè)穩(wěn)定性系數(shù)來反映礫石河床的穩(wěn)定性[33]：

式中： 是平均水深；S是平均水面坡度；ξ = ρS /ρ-1，ρS和ρ分別為泥沙和水的容重。

通常人們認(rèn)為，泥沙輸移和穩(wěn)定的河道是相互沖突的。但一些研究表明，在局部順直河段，大多數(shù)礫石河流可以在輸送大量泥沙的同時(shí)保持穩(wěn)定的河寬[33]，而且，在許多礫石河道中，他們的穩(wěn)定性系數(shù)基本集中在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，是一個(gè)定值。由此，Parker研究并給出了平衡順直河道發(fā)生泥沙運(yùn)輸，但河岸不被侵蝕的極端情況下的沿程水力幾何關(guān)系式以及河床的臨界穩(wěn)定性系數(shù)，但該式并不具有普適性。

Julian等[34]、Parker等[9]、Wilkerson等[22]又基于穩(wěn)定性理論，嘗試加入流阻方程、謝爾茲數(shù)、無量綱數(shù)等來閉合方程組求解特定河道斷面形狀和約束下的水力幾何關(guān)系式。但都無法在假設(shè)條件以外的其他河流中使用。

1.3 極值假說

引入一個(gè)極值假說作為獨(dú)立方程一起求解方程組。極值條件一般包括：輸沙率最大、能量消耗率最大、阻力最大、能坡最小、河床活動(dòng)性最小等。Pickup[35]提出了輸沙率最大假說，但結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)的一致性不好。Yang等[36]提出了最小能量耗散率假說，認(rèn)為河流處于平衡狀態(tài)時(shí)能量趨于最小。但根據(jù)這個(gè)假說得出的水力幾何指數(shù)與Ferguson[11]觀測(cè)到的指數(shù)范圍有較大偏差。所有這些假說中，以White等[37]的輸沙率最大假說和Chang[38-39]的能坡最小假說最具代表性。

White的假說建立在具有非粘性河床及岸坡的穩(wěn)定均勻流中。通過對(duì)大量實(shí)測(cè)資料的分析提出了一個(gè)無量綱粒徑系數(shù)Dgr來區(qū)分粗顆粒、細(xì)顆粒和過渡粒徑顆粒泥沙。Dgr≤1的顆粒為細(xì)顆粒泥沙，Dgr≥60的顆粒為粗顆粒泥沙，在此區(qū)間范圍內(nèi)的稱為過渡粒徑顆粒泥沙。不同粒徑分組的泥沙對(duì)應(yīng)不同的輸沙率公式中的參數(shù)和系數(shù)，利用變分方法求解方程組得到沿程水力幾何關(guān)系式[40-41]。

通過這個(gè)方法，White驗(yàn)證了在沙質(zhì)河流和礫石河流中，輸沙率最大假說和河道比降最小假說是等價(jià)的，這也證明了在這兩種河道中，沖積河流的自我調(diào)整向著輸沙率最大、能量消耗最小的趨勢(shì)演變。該方法求解所得的沿程水力幾何關(guān)系式對(duì)河道寬度和深度的預(yù)測(cè)都具有良好的一致性，對(duì)深度預(yù)測(cè)略微偏大。

Chang的能坡最小假說與之有許多相通之處，Chang認(rèn)為對(duì)于沖積河流，達(dá)到平衡的充分必要條件是河流能耗在給定條件下達(dá)到最小值[39]，即在給定流量和來沙量情況下，河流向著能坡最小方向演變。Yang等[36]也做出了相似的假設(shè)，只是在分析過程中，假設(shè)河道斷面面積在演變期間保持不變。

極值假說條件使方程組閉合求解的方法簡(jiǎn)單直觀，必要時(shí)還可以使用計(jì)算機(jī)編程進(jìn)行迭代試算，但對(duì)于為何將這些極值假說引入到河道調(diào)整規(guī)律研究中還缺少令人信服的物理解釋。

1.4 變分方法

不同于以往引入新的條件使方程組閉合的研究方法，Huang等[42]引入了一個(gè)無量綱河道形態(tài)因子寬深比，直接用連續(xù)性、阻力和泥沙輸送這三個(gè)基本水流關(guān)系來說明沖積河道的自調(diào)節(jié)原理。

斷面寬度、面積和水力半徑可以用寬深比表示為：

式中：為無量綱河道形態(tài)因子寬深比；W為斷面寬度；D為斷面深度；A為斷面面積；R為水力半徑。

將它們代入到三個(gè)基本水流方程中得出輸沙量Qs表達(dá)式，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)為0時(shí)，輸沙量存在唯一最大值。也就是說，當(dāng)輸沙量最大時(shí)河道達(dá)到平衡條件，這為之前的極值假說提供了支撐。引入的無量綱河道形態(tài)因子寬深比集中在2.5～3.0，通過這個(gè)理論得出的水力幾何關(guān)系式與實(shí)際觀測(cè)情況高度一致[9]。此外，Huang還利用最小作用原理分析了河流達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)輸沙率達(dá)到最大的機(jī)理。需要注意的是，其在分析過程中將河道斷面簡(jiǎn)化成了矩形，而天然沖積河流多為沙床，過水?dāng)嗝娓咏菪巍７鹕萚43]將過水?dāng)嗝娓呕癁榈妊菪危骄苛撕影抖盖投葘?duì)沖積河流平衡河道形態(tài)的影響，發(fā)現(xiàn)當(dāng)河岸陡峭度θ在0°～60°變化時(shí)，平均水力幾何形態(tài)關(guān)系式也可以較合理地反映河岸抗沖性對(duì)平衡河道形態(tài)和輸沙能力的影響。樊金生等[44]還探究了河岸河底相對(duì)粗糙度對(duì)河道平衡形態(tài)的影響，結(jié)果表明，河岸河底相對(duì)粗糙度λ對(duì)根據(jù)變分方法推求的臨界和平均水力幾何關(guān)系式中系數(shù)取值影響顯著，隨著λ的增大，平衡河道形態(tài)向窄深趨勢(shì)調(diào)整。

此后，Huang等[45]通過單擺現(xiàn)象從能量角度類比河道地貌調(diào)整機(jī)理，利用最小能耗原理將從理想無摩擦穩(wěn)定流中推導(dǎo)出的臨界流理論推廣到有摩擦流和有泥沙輸送流中。由此，河道水流運(yùn)動(dòng)的平衡狀態(tài)可以分為兩種情況：當(dāng)河流能量最小時(shí)，能耗最小，輸沙率最大，河流處于靜態(tài)平衡狀態(tài)；當(dāng)河流能量富余時(shí)，將最大可能地消耗多余的能量，河流處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)。其中靜態(tài)平衡狀態(tài)對(duì)應(yīng)已有研究中的最大輸沙率、最大流動(dòng)效率、最佳水力斷面形狀等理想假說，這也從物理原理上澄清了輸沙率最大、能量消耗率最大、阻力最大、能坡最小、河床活動(dòng)性最小等假說的爭(zhēng)論。

盡管對(duì)于水力幾何關(guān)系物理原理的探究仍有待深入，但水力幾何關(guān)系已經(jīng)是一個(gè)被廣泛接受的普遍現(xiàn)象，且已經(jīng)延伸出新的理論，具有廣闊的應(yīng)用前景。

2 水力幾何關(guān)系時(shí)空維度的理論延伸及應(yīng)用

2.1 斷面水力幾何關(guān)系到多斷面水力幾何關(guān)系

多斷面水力幾何關(guān)系是斷面水力幾何關(guān)系在空間維度的延伸，反映其系數(shù)、指數(shù)之間的空間關(guān)系[46]。多斷面水力幾何關(guān)系是指同一河段的不同斷面或同一流域內(nèi)不同河流的斷面具有相同的河寬、河深、流速和流量使其斷面水力幾何關(guān)系的系數(shù)、指數(shù)呈對(duì)數(shù)-線性關(guān)系[47]。起初只在6條河流中被驗(yàn)證[48-49]，后來又在美國(guó)的118條河流中得到驗(yàn)證。這些河流幾乎遍布整個(gè)美國(guó)，可以推定，多斷面水力幾何關(guān)系是一個(gè)存在于各種地質(zhì)和氣候環(huán)境中的河流現(xiàn)象。

影響多斷面水力幾何關(guān)系的因素較多，主要包括斷面水力幾何關(guān)系強(qiáng)度、河型、河流級(jí)別、匯水面積等。與斷面水力幾何關(guān)系相似，河深在多斷面水力幾何關(guān)系中的敏感度明顯優(yōu)于河寬和流速；且寬度指數(shù)小的河流（小于0.02），其多斷面水力幾何關(guān)系較弱[47]。河型通過調(diào)整河寬、水深和流速來響應(yīng)河流流量變化，辮狀河流主槽變化頻繁，河寬隨流量變化快，因此在辮狀河段其多斷面水力幾何關(guān)系較弱[50]。

目前，多斷面水力幾何最突出的應(yīng)用是結(jié)合遙感圖像估計(jì)河流流量[48，51-52]。通過將有限水文站收集的斷面資料推廣到整個(gè)流域范圍，為缺乏實(shí)測(cè)資料河段的流量估算提供理論支撐。

然而，在全球范圍內(nèi)，多斷面水力幾何關(guān)系只是在少量河流中被驗(yàn)證，理論上尚不成熟。未來研究應(yīng)分析驗(yàn)證多斷面水力幾何在其他地區(qū)的存在性及潛在的地質(zhì)和氣候條件影響，從而拓展其應(yīng)用范圍。

2.2 沿程水力幾何關(guān)系到多頻率沿程水力幾何關(guān)系

由于沿程水力幾何關(guān)系無法量化單獨(dú)斷面在流量頻率發(fā)生變化時(shí)斷面水力因素的改變，因此，在時(shí)間維度上延伸出多頻率沿程水力幾何關(guān)系。覃超等[4]以青藏高原山區(qū)河流為對(duì)象，研究了不同頻率流量下同一河段及同一流域不同河段上的沿程水力幾何關(guān)系，發(fā)現(xiàn)在同一地貌單元內(nèi)，總有一個(gè)流量頻率使得所有斷面流量相等，且不同頻率沿程水力幾何關(guān)系系數(shù)、指數(shù)存在良好的對(duì)數(shù)-線性關(guān)系。由于受到水沙沿程一致性的影響，相比于同河段斷面，同流域不同河段上不同頻率下沿程水力幾何關(guān)系的系數(shù)、指數(shù)相關(guān)性較弱[4]。目前關(guān)于多頻率沿程水力幾何關(guān)系研究仍然較少，在其他地區(qū)、其他類型河流上的存在性及影響因素還有待驗(yàn)證。

3 結(jié)論與展望

（1）研究水力幾何關(guān)系的4種方法既有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，彼此又存在一定的相關(guān)性。

（2）經(jīng)驗(yàn)分析法是探究普適性水力幾何關(guān)系式的必經(jīng)之路。穩(wěn)定性理論和極值假說采用添加一個(gè)額外平衡條件使方程組閉合。穩(wěn)定性理論的推導(dǎo)過程嚴(yán)謹(jǐn)，但由于設(shè)置條件太多，難以推廣；極值假說簡(jiǎn)單直觀，但對(duì)缺少理論支撐。變分方法通過引入無量綱河道形態(tài)因子寬深比精簡(jiǎn)未知數(shù)個(gè)數(shù)，從最小能耗和最大輸沙率角度闡釋沖積河流的平衡條件并推導(dǎo)沿程水力幾何關(guān)系式，澄清了輸沙率最大、能量消耗率最大、阻力最大、能坡最小、河床活動(dòng)性最小等假說的爭(zhēng)論。變分方法理論自成體系，互相支撐，且已經(jīng)在國(guó)內(nèi)如青藏高原山區(qū)河流、黃河銀川平原段等處被驗(yàn)證，對(duì)以后應(yīng)用于國(guó)內(nèi)其他河流及大型河道型水庫(kù)具有參考意義。

（3）斷面水力幾何和沿程水力幾何關(guān)系分別在空間和時(shí)間維度有所延伸，尤其是多斷面水力幾何關(guān)系在估測(cè)河段流量方面具有良好應(yīng)用前景。

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Progress of Research on Hydraulic Geometry Relationship of River Channels

FENG Le1，JIN Zhongwu1，CHEN Peng1，LI Zhijing1，ZHU Jiaxi2

（1. River Research Department，Changjiang River Scientific Research Institute，Wuhan 430010，China；

2. College of Harbour，Coastal and Offshore Engineering，Hohai University，Nanjing 210024，China）

Abstract：The research on river hydraulic geometry （river phase relationship） aims to seek the quantitative relationship between watershed factors and riverbed geomorphology. This paper systematically reviews the research methods of at-a-station hydraulic geometry （AHG） and downstream hydraulic geometry （DHG），and also provides a summary of the main findings and limitations of empirical analysis，stability theory，extreme value hypothesis and variational methods. The results show that：（1） Each of the four methods has its own strengths，weaknesses，and applicability，but they are also interconnected. （2） The empirical analysis method is an essential approach to explore the universal hydraulic geometry relationship；stability theory is difficult to generalise due to the setting of too many qualifications；extreme value hypothesis lacks theoretical support in fluvial geomorphological adjustment patterns. On the contrary，the variational approach resolves the controversy over the assumptions of maximum and minimum extreme values and has promising potential for applications. （3） Both the AHG and DHG relationships have been extended in the spatial and temporal dimensions. In particular，the multi AHG relationships have promising applications in estimating streamflow in river reaches.

Key words：hydraulic geometry；riverbed geomorphology；alluvial rivers