函數(shù)與不等式恒成立問題解法

涂典波

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)常遇到函數(shù)與不等式恒成立問題。恒成立問題涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，恒成立問題的解題的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問題向基本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法求解。

恒成立問題的基本類型有以下幾種。

類型1：設(shè)[f（x）=ax2+bx+c（a≠0）]，（1）[f（x）>0]

[在x∈R]上恒成立[?a>0且Δ<0]；（2）[f（x）<0]

[在x∈R]上恒成立[?a<0且Δ<0]。

類型2：設(shè)[f（x）=ax2+bx+c（a≠0）]

（1）當(dāng)[a>0]時(shí)，[f（x）>0在x∈[α，β]]上恒成立[?-b2a<αf（α）>0或α≤-b2a≤βΔ<0或-b2a>βf（β）>0]，

[f（x）<0在x∈[α，β]]上恒成立[?f（α）<0f（β）<0]

（2）當(dāng)[a<0]時(shí)，[f（x）>0在x∈[α，β]]上恒成立[?f（α）>0f（β）>0]

[f（x）<0在x∈[α ， β]]上恒成立? [?-b2a<αf（α）>0或][α≤-b2a≤βΔ<0或-b2a>βf（β）<0]

類型3：

[f（x）>α對(duì)一切x∈I恒成立?f（x）min>α][f（x）<α對(duì)一切x∈I恒成立?f（x）max>α]。

類型4：

[f（x）>g（x）對(duì)一切x∈I恒成立?f（x）][的圖象]

[在g（x）的圖象的上方或f（x）min>g（x）max（x∈I）]

一、用一次函數(shù)的性質(zhì)

對(duì)于一次函數(shù)[f（x）=kx+b，x∈[m，n]]有：

[f（x）>0恒成立?f（m）>0f（n）>0， f（x）<0恒成立?f（m）<0f（n）<0]

例1：若不等式[2x-1>m（x2-1）]對(duì)滿足[-2≤m≤2]的所有[m]都成立，求x的范圍。

解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變?cè)?，即將元不等式化為：[m（x2-1）-（2x-1）<0]，；令[f（m）=m（x2-1）-（2x-1）]，則[-2≤m≤2]時(shí)，[f（m）<0]恒成立，所以只需[f（-2）<0f（2）<0]即[-2（x2-1）-（2x-1）<02（x2-1）-（2x-1）<0]，所以x的范圍是[x∈（-1+72，1+32）]。

二、利用一元二次函數(shù)的判別式

對(duì)于一元二次函數(shù)[f（x）=ax2+bx+c>0（a≠0，]

[x∈R）]有：

（1）[f（x）>0在x∈R]上恒成立[?a>0且Δ<0]；

（2）[f（x）<0在x∈R]上恒成立[?a<0且Δ<0]

例2：若不等式[（m-1）x2+（m-1）x+2>0]的解集是R，求m的范圍。

解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否是0。

（1）當(dāng)m-1=0時(shí)，元不等式化為2>0恒成立，滿足題意；

（2）[m-1≠0]時(shí)，

只需[m-1>0Δ=（m-1）2-8（m-1）<0]，所以，[m∈[1，9）]。

三、利用函數(shù)的最值（或值域）

（1）[f（x）≥m]對(duì)任意x都成立[?f（x）min≥m]；

（2）[f（x）≤m]對(duì)任意x都成立[?m≥f（x）max]。簡(jiǎn)單計(jì)作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類問題實(shí)質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問題。

例3：在[Δ]ABC中，已知[f（B）=4sinBsin2（π4+B2）+cos2B，且|f（B）-m|<2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍。

解析：由[f（B）=4sinBsin2（π4+B2）+cos2B=2sinB+1，∵0f（B）-2m

例4：（1）求使不等式[a>sinx-cosx，x∈[0，π]]恒成立的實(shí)數(shù)的[a]范圍。

解析：由于函[a>sinx-cosx=2sin（x-π4） ， x-π4∈][[-π4，3π4]]，顯然函數(shù)有最大值[2]，[∴a>2]。

如果把上題稍微改一點(diǎn)，那么答案又如何呢？請(qǐng)看下題：

（2）求使不等式[a>sinx-cosx，x-π4∈（0，π2）]恒成立的實(shí)數(shù)[a]的范圍。

解析：我們首先要認(rèn)真對(duì)比上面兩個(gè)例題的區(qū)別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得[y=sinx-cosx]的最大值取不到[2]，即取[a][2]也滿足條件，所以[a≥2]。

所以，我們對(duì)這類題要注意看看函數(shù)能否取得最值，因?yàn)檫@直接關(guān)系到最后所求參數(shù)[a]的取值。利用這種方法時(shí)，一般要求把參數(shù)單獨(dú)放在一側(cè)，所以也叫分離參數(shù)法。

四、數(shù)形結(jié)合法

對(duì)一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象法求解。

例5：已知[a>0， a≠1， f（x）=x2-ax，當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，]

[有f（x）<12恒成立]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：由[f（x）=x2-ax<12，得x2-121時(shí)，只有a≤2]才能保證，而[0

例6：若當(dāng)P（m，n）為圓[x2+（y-1）2=1]上任意一點(diǎn)時(shí)，不等式[m+n+c≥0]恒成立，則c的取值范圍是（）

A.[-1-2≤c≤2-1]

B.[2-1≤c≤2+1]

C.[c≤-2-1]

D.[c≥2-1]

解析：由[m+n+c≥0]，可以看作是點(diǎn)P（m，n）在直線[x+y+c=0]的右側(cè)，而點(diǎn)P（m，n）在圓[x2+（y-1）2=1]上，實(shí)質(zhì)相當(dāng)于是[x2+（y-1）2=1]在直線的右側(cè)并與它相離或相切。[∴0+1+c>0|0+1+c|12+12≥1∴c≥2-1]，故選D。