“切線放縮在導數不等式證明中的應用”教學設計

計富鏹

【摘? 要】? 導數的不等式證明是導數問題的基本問題之一. 本節課從兩個基本函數和與他們對應的切線圖象及結構特征出發創設典型問題，引導學生從不同角度分析不等式問題，讓學生在面對此類問題時可以嘗試切線放縮，把“曲線”轉為“直線”，實現抽象的不等式可視化，降低了解題的難度，減少了計算量.

【關鍵詞】 高中數學;導數;切線;不等式

1? 內容分析

本節課內容是在學生已學完選修1-1第三章“導數”后，教師就學生學習情況獨立設計的有關不等式與函數關系的提升課.目的是讓學生重視基礎函數圖象和性質，引導學生使用已掌握的基礎知識去分析和解決問題.函數與導數在高考中往往以綜合性比較強的壓軸題出現，它其本身又是由某個基本問題或某些基本問題的組合而成.遇到的導數問題常涉及和，本節課利用切線放縮的途徑把“曲線”轉為“直線”，實現降維打擊，降低解題難度，達到解決問題的目的.此外課堂內容還蘊含的數學思想和方法：以函數圖象為基礎進行研究，讓學生體會數形結合的重要思想.

2 學情分析

學生現在在解決導數問題，特別是涉及證明問題時，還處在的原始階段——先求導、后定好定義域，求極值點，定單調區間，若嘗試不得就只能止步于此.然而不等式恒成立問題中，許多試題的幾何背景是曲線與切線靜態或動態的上下位置關系，如果學生能利用曲線的切線與曲線的位置關系實現了常用函數到一次函數的放縮，進而獲得過程簡潔的解法，達到幫助學生建立信心，培養學生的思維，提升數學素養的目的.

3 教學目標和核心素養

（1）知識目標：掌握切線放縮和朗博同構的方法，了解這些方法的原理和適用條件，熟練運用這些方法證明一些函數不等式；

（2）能力目標：培養運用導數解決實際問題的能力，提升在涉及導數不等式證明中的思維靈活性和創造性；

（3）情感目標：激發對函數不等式證明的興趣和好奇心，增強對數學學習的信心和樂趣，培養對數學美的欣賞和追求.

4 教學的重難點

教學重點： 切線放縮和朗博同構的方法，以及這些方法在證明函數不等式中的應用.

教學難點： 選擇合適的函數進行切線放縮或朗博同構以及處理復合函數或分段函數的方法.

5 教學方法

（1）教學模式：以探究式教學為主，結合講授式和討論式教學為輔，引導學生通過一些具體的例題，自主發現切線放縮和朗博同構的方法，分析這些方法的原理和適用條件，運用這些方法證明一些函數不等式，歸納總結這些方法的特點和規律，表達交流自己的思路和感受.

（2）教學手段：展示函數圖象和切線圖象，直觀地說明切線放縮的含義和作用，利用動畫效果，演示朗博同構的過程和結果，增強學生的理解和記憶，收集和分享一些有趣的題目，激發學生的興趣和好奇心.

（3）教學組織：采用小組合作的形式，讓每個小組分別負責一個例題或練習題，通過小組內部的討論和協作，完成題目的解答和證明.

6 教學工具

geogebra數學軟件（下文均簡稱ggb）、希沃白板

7 教學過程：

7.1 創設情景

導語

同學們，今天我們一起來學習----切線放縮在導數的不等式證明的應用.

相信聰明的你已經反應過來了，在數學試卷上，總會有一些這樣的題目：

面對這樣的題目其實如果你掌握了切線放縮，這并不難.

那么，什么是切線放縮呢？它又是怎么證明函數不等式的呢？讓我們一起來探究吧.

設計意圖? 通過有趣的提問，讓學生快速進入學習狀態，并逐漸對學習內容感興趣，通過這樣的設計，學生能夠主動參與學習過程，積極思考和探索切線放縮的原理和方法.

7.2? 兩個引例

過渡? 切線放縮題型豐富，但是萬變不離其中，為了幫助理解這種方法，我設計了兩個引例，想知道是什么嗎？一起來看看吧！

師生活動

師? 安排學習小組分別完成引例1、引例2，然后利用希沃白板投屏學生的證明過程.

生 ?講解引例1、引例2的解題思路.

（預設學生展示成果）

注意? 只有在做選填題才可直接使用，而解答題必須先證明后再使用.

設計意圖 ?用兩個引例作為本次教學的楔子，讓學生掌握兩個基礎函數與他們相對應的切線建立起不等式的關系，引導學生進入課堂的核心內容，初步體會了“以直代曲”的數學的思想，把抽象的不等式可視化.

7.2? 形成新知，強化變形

師生活動

生 ?（預設答案）學生積極參與集思廣益得到一些結論：

號成立.

師? 強調在證明解答中運用切線放縮是要“先證后用”，另外還需要考慮等號成立的條件.

設計意圖? 教師引導，學生參與探究，共同交流，使學生體會指數、對數指數放縮的多樣性和嚴謹性.學生在探究中強化自身素養，為學生的全面發展提供保障.

7.4? 典例分析

過渡? 我們一起來看看切線放縮是如何出現在我們試卷中的吧.

師生活動? 師生一起用前面常規方法證明.

師 ?鼓勵學生相互討論嘗試使用放縮法證明不等式.教師到小組之間與學生交流.

生 ?整合交流結果做出證明.

設計意圖? 通過對比兩種不同的證明方法，學生可以從中體會到切線放縮的便利性，激起學生學習的興趣和動力.小組討論交流這種合作探究的方式，能達到學生共同解決知識難點，實現思維交互和多元發展需求.

師生活動? 老師留五分鐘給學生自行思考，然后學生投屏展示證明結果.

綜上所述，原不等式成立.

設計意圖? 學生直接面對高考原題，大膽嘗試，根據實際情況靈活使用對數切線放縮以及推廣，即能鞏固已學知識，又能幫助確定學習信心.

師生活動

師? 組織學生思考3分鐘，下到學習小組中了解學生思考情況

綜上原不等式成立.

（完整證明還需補充引例1和引例2簡單證明過程）.

設計意圖?? 給學生設計“圈套”，目的是讓學生更好的掌握以及應用好新知，讓學生不僅能掌握處理問題策略與方法 ，還可以擴寬分析問題與解決問題的思路.以情境為導向，引導學生高效率地完成知識探究任務.

7.5? 達標檢測

（完整證明還需補充引例1和引例2的簡單證明過程）.

（完整證明還需補充引例1和引例2簡單證明過程）.

設計意圖? 盡可能讓學生體驗從對數、對數函數到一次函數的放縮，體會到它的優越性，從而達到幫助學生建立信心，敢于分析和解決導數證明問題，培養學生的思維，提升數學素養的目的.

7.6? 歸納總結

（3）解題思路要根據問題的設置學會隨機應變，選擇合理的放縮和等價轉化，才能避免出現繁瑣的計算和分類討論，簡化了解題過程，降低了計算難度，克服了畏懼導數大題的心理.

8? 課后作業

9? 板書設計

10? 教學反思

教師備課時要注意教材與高考試題中蘊含的基本思想之間的聯系.從基礎知識延伸到相對比較復雜的綜合性問題，學生通過這樣的拓展才能有所收獲.建立在學生已有認知水平基礎上的備課才是真正有效的備課.復習提升課應注重問題的啟發性，讓學生在課堂上能充分表達自己的想法課堂.教師要注意發揮出學生的主體性，鼓勵引導學生主動地尋找問題、分析問題、解決問題.

參考文獻：

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