低慣量交流系統(tǒng)并網(wǎng)變流器次/超同步振蕩分析

胡 光 莊可好 高暉勝 辛煥海 汪海蛟 張雅君

低慣量交流系統(tǒng)并網(wǎng)變流器次/超同步振蕩分析

胡 光1莊可好1高暉勝1辛煥海1汪海蛟2張雅君3

（1. 浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院 杭州 310027 2. 中國電力科學(xué)研究院有限公司 北京 100192 3. 國網(wǎng)上海市電力公司電力科學(xué)研究院 上海 200437）

低慣量電力系統(tǒng)中跟網(wǎng)型變流器可能會與同步機轉(zhuǎn)子動態(tài)產(chǎn)生交互，給系統(tǒng)穩(wěn)定性分析引入新的問題，僅靠跟網(wǎng)型設(shè)備動態(tài)和短路比衡量交流系統(tǒng)強度不再準確。為此，該文綜合分析系統(tǒng)慣量和短路比對跟網(wǎng)型變流器小干擾同步穩(wěn)定的影響，提出適用于分析低慣量系統(tǒng)中并網(wǎng)變流器穩(wěn)定性的方法，所提方法計算量低、物理意義明確。首先，推導(dǎo)變流器和同步機混聯(lián)系統(tǒng)的閉環(huán)模型，并提取出能表征低慣量動態(tài)的相互作用系數(shù)矩陣，定性分析兩類設(shè)備間的交互關(guān)系。其次，基于模態(tài)攝動理論，將原多機系統(tǒng)解耦為穩(wěn)定性等效的子系統(tǒng)。然后，選取適用于分析小干擾同步穩(wěn)定問題的相位主導(dǎo)回路，根據(jù)該回路提出綜合考慮慣量和短路比的穩(wěn)定性分析方法。最后，基于仿真算例驗證了所提低慣量系統(tǒng)中并網(wǎng)變流器小干擾同步穩(wěn)定性分析方法的有效性。

低慣量系統(tǒng) 小干擾同步穩(wěn)定 廣義短路比 最小子系統(tǒng) 系統(tǒng)強度

0 引言

“雙碳”背景下，隨著新能源的大規(guī)模并網(wǎng)，電力系統(tǒng)逐漸演變?yōu)榈蛻T量、低短路比的弱交流系統(tǒng)[1]（以下簡稱為“弱交流系統(tǒng)”）。相較于傳統(tǒng)電力系統(tǒng)，弱交流系統(tǒng)中源網(wǎng)耦合加劇，動力學(xué)行為更加復(fù)雜[2-4]，并網(wǎng)變流器振蕩失穩(wěn)問題凸顯。

在研究系統(tǒng)振蕩失穩(wěn)問題時，系統(tǒng)電壓支撐強度（以下簡稱為“系統(tǒng)強度”）因可用于評估系統(tǒng)的穩(wěn)定性和響應(yīng)性能而備受關(guān)注[5]。系統(tǒng)強度由電網(wǎng)強度和設(shè)備動態(tài)共同決定，其中，電網(wǎng)強度描述了不考慮接入設(shè)備動態(tài)的開環(huán)交流電網(wǎng)性能，可通過短路比（Short Circuit Ratio, SCR）指標進行量化評估[6]。對于設(shè)備動態(tài)方面對系統(tǒng)強度的影響，鑒于目前我國交流系統(tǒng)中新能源機組的鎖相同步控制技術(shù)較為成熟，在未來一段時間，新能源設(shè)備主要以跟網(wǎng)型控制并網(wǎng)（不特殊說明，本文所研究的變流器特指跟網(wǎng)型變流器），組網(wǎng)功能仍主要由同步發(fā)電機組承擔(dān)[7]，而同步機的慣量在很大程度上影響著其組網(wǎng)的能力[8]。由此可見，除交流系統(tǒng)短路比外，系統(tǒng)慣量也是衡量系統(tǒng)強度、評估并網(wǎng)變流器穩(wěn)定性（后文穩(wěn)定性均指小干擾同步穩(wěn)定性）的重要指標。

短路比常被用于表征電力電子設(shè)備饋入交流系統(tǒng)時交流電網(wǎng)的相對強度，可用于分析交流網(wǎng)絡(luò)連接特征對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響[9-12]。變流器單饋入系統(tǒng)中，隨著并網(wǎng)線路阻抗增大，短路比減小，鎖相環(huán)動態(tài)和線路動態(tài)耦合加劇[13]，導(dǎo)致由鎖相環(huán)主導(dǎo)的系統(tǒng)小干擾同步失穩(wěn)問題頻發(fā)。文獻[9]提出廣義短路比（generalized Short Circuit Ratio, gSCR）的概念，建立了系統(tǒng)穩(wěn)定性和電網(wǎng)強度之間的顯性關(guān)系，實現(xiàn)了多變流器并網(wǎng)系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的量化。文獻[10]基于模態(tài)攝動理論，將廣義短路比理論拓展至異構(gòu)多機系統(tǒng)。然而，上述研究重點關(guān)注系統(tǒng)低短路比特性對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，分析時通常將同步機等效為理想電壓源節(jié)點，沒有考慮弱交流系統(tǒng)的低慣量特性。

次/超同步頻段下，弱交流系統(tǒng)的低慣量特性使得同步機無法等效為理想電壓源，可能導(dǎo)致同步機與變流器兩類設(shè)備的同步環(huán)節(jié)產(chǎn)生交互耦合[14-19]，由此可見，交流系統(tǒng)對并網(wǎng)變流器穩(wěn)定性的支撐強度還受到系統(tǒng)慣量的影響。針對兩機互聯(lián)系統(tǒng)，文獻[16-17]通過時域仿真和特征值分析，研究了同步機慣量常數(shù)和網(wǎng)絡(luò)阻抗對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；文獻[18]分析了同步機的物理特性和控制參數(shù)對電力電子設(shè)備穩(wěn)定性的影響，揭示了兩類設(shè)備動態(tài)的交互路徑。針對多機系統(tǒng)，文獻[19]建立了系統(tǒng)的詳細狀態(tài)空間模型，通過仿真分析發(fā)現(xiàn)，與全電力電子設(shè)備電力系統(tǒng)相比，含有小容量同步機的弱交流系統(tǒng)更容易失穩(wěn)。文獻[20]給出了一種便于拓展的多設(shè)備統(tǒng)一坐標系建模方法，保留了各設(shè)備同步環(huán)節(jié)的動態(tài)，為探索弱交流系統(tǒng)穩(wěn)定機理提供了一個分析方法。文獻[21]針對同步穩(wěn)定問題，兼顧了各類設(shè)備模型的魯棒性和穩(wěn)定分析的便捷性，給出了電流源視角下各類設(shè)備的統(tǒng)一建模方法。文獻[22]針對系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定性提升問題，啟發(fā)式地分析了慣量對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。上述文獻基于仿真法或模型解析法探索了低慣量特性對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，為分析弱交流系統(tǒng)穩(wěn)定性提供了一定的模型和理論基礎(chǔ)。但基于仿真分析所得結(jié)論可能僅適用于特定工況，不利于揭示失穩(wěn)機理，而且全系統(tǒng)電磁暫態(tài)模型仿真計算量過高，尚缺乏有效的全電磁仿真手段[23]。基于模型的解析方法又存在系統(tǒng)全階模型過于復(fù)雜，容易出現(xiàn)“維數(shù)災(zāi)”問題[24]。此外，上述研究尚未分析弱交流系統(tǒng)多機間耦合機理，也缺少綜合考慮弱交流系統(tǒng)低短路比和低慣量特性，以及對系統(tǒng)穩(wěn)定性的定量化分析。

為此，本文綜合分析了系統(tǒng)廣義短路比和慣量對跟網(wǎng)型變流器小干擾同步穩(wěn)定的影響，提出了適用于低慣量多機系統(tǒng)的并網(wǎng)變流器穩(wěn)定裕度量化方法。首先，推導(dǎo)了變流器和同步機混聯(lián)運行系統(tǒng)的閉環(huán)模型，利用相互作用系數(shù)矩陣定性分析了兩類設(shè)備間的耦合關(guān)系；其次，進一步基于模態(tài)攝動理論，將多機原系統(tǒng)解耦為穩(wěn)定性等效的子系統(tǒng)；然后，根據(jù)適用于分析系統(tǒng)小干擾同步穩(wěn)定問題的主導(dǎo)回路，提出了綜合考慮慣量和短路比的穩(wěn)定性分析方法。最后，通過仿真算例驗證了所提穩(wěn)定性分析方法的有效性。

1 同步機和變流器混聯(lián)系統(tǒng)建模

本節(jié)首先對要研究的問題及使用的假設(shè)條件進行了描述。然后以問題為導(dǎo)向，建立了同步機和變流器混聯(lián)系統(tǒng)的閉環(huán)模型。進一步通過數(shù)學(xué)變換，分離出系統(tǒng)中兩類設(shè)備耦合的動態(tài)，形成單位相互作用系數(shù)矩陣（Unit Interaction Factor Matrix, UIFM），并根據(jù)UIFM定性分析了兩類設(shè)備間的 交互。

1.1 問題描述及假設(shè)

考慮圖1所示的含臺變流器和臺同步機的多機混聯(lián)系統(tǒng)，其中節(jié)點1～連接新能源變流器，節(jié)點+1～+連接同步機。

圖1 多機系統(tǒng)示意圖

分析并網(wǎng)變流器鎖相環(huán)主導(dǎo)的系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定性時，由于變流器鎖相環(huán)動態(tài)與同步機搖擺方程動態(tài)處于不同時間尺度，可基于奇異攝動定理假設(shè)同步機節(jié)點電壓幅值和相位恒定，即認為同步機節(jié)點為無窮大節(jié)點[25]。然而低慣量系統(tǒng)中，兩類同步環(huán)節(jié)的帶寬可能產(chǎn)生交互耦合，即在鎖相環(huán)的時間尺度上，同步機無法提供理想的電壓支撐能力，不能再簡單地將同步機節(jié)點視為無窮大節(jié)點，需要考慮其動態(tài)對并網(wǎng)變流器穩(wěn)定性的影響。本文聚焦弱交流系統(tǒng)中并網(wǎng)變流器鎖相環(huán)主導(dǎo)的小干擾同步穩(wěn)定問題，擬研究問題可歸納為：

（1）弱交流系統(tǒng)中的低慣量特性，是如何誘發(fā)并網(wǎng)變流器小干擾失穩(wěn)的？

（2）如何綜合短路比和慣量兩個維度，定量化分析弱交流系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性、評估系統(tǒng)強度？

為了更好地闡述和論證上述問題，考慮以下合理簡化：①網(wǎng)絡(luò)中電容動態(tài)對所研究的鎖相環(huán)主導(dǎo)的小擾動穩(wěn)定問題影響較小，各線路的阻感比均相同[5]；②考慮負荷為恒電流負荷，在恒功率或恒阻抗負荷時，可以通過端口等值等方法，將負荷等效至設(shè)備端口處，進而將其動態(tài)歸至設(shè)備側(cè)進行解 耦[26]；③新能源變流器間的動態(tài)特性和同步機間的動態(tài)特性相似（兩類設(shè)備各自同構(gòu)），且同類設(shè)備間的相位差較小[9]。當(dāng)考慮兩類設(shè)備各自都異構(gòu)時，可以參考文獻[11]的處理方法，本文不再贅述。

1.2 混聯(lián)系統(tǒng)閉環(huán)模型

按圖1中的虛線可將系統(tǒng)模型劃分為網(wǎng)絡(luò)和設(shè)備兩部分，對應(yīng)的導(dǎo)納矩陣分別為N()和G()。根據(jù)多變量頻域理論，系統(tǒng)閉環(huán)模型sys()表示[27]為

1.2.1 設(shè)備側(cè)導(dǎo)納模型

對于小干擾同步穩(wěn)定問題，設(shè)備以電流源形式建模并兼顧了各類設(shè)備模型的魯棒性和穩(wěn)定分析的便捷性[21]，可建立簡潔統(tǒng)一的閉環(huán)模型。因此，本文設(shè)備側(cè)建模以電流源形式建模。

首先建立變流器設(shè)備線性化的導(dǎo)納模型。全局坐標系下，第（=1～）臺變流器導(dǎo)納模型VSC()可以表示為

其中

式中，yg1()、yg2()、yg3()和yg4()為變流器在同步dq坐標系下以自身容量標幺后的導(dǎo)納矩陣元素，推導(dǎo)過程及具體表達式見文獻[13]；為穩(wěn)態(tài)時坐標系間的相位差；Bi為第臺變流器經(jīng)系統(tǒng)基準容量標幺后的自身額定容量。值得一提的是，同步dq坐標系是穩(wěn)態(tài)時與局部dq坐標系重合的同步旋轉(zhuǎn)坐標系，該坐標系下的導(dǎo)納模型包含了同步環(huán)節(jié)（鎖相環(huán)）的動態(tài)，因此僅通過穩(wěn)態(tài)的坐標變換[21]和容量歸一化，即可得到全局坐標系下變流器設(shè)備（=1～）導(dǎo)納矩陣動態(tài)。

建立同步機的導(dǎo)納模型。為了重點分析慣量的耦合作用，本文建立諾頓等效后內(nèi)電流源端口處的模型，將自身容量標幺下的定子感應(yīng)電動勢的動態(tài)SG歸至網(wǎng)絡(luò)，如附圖1所示。由于同步機諾頓等效后為內(nèi)電流源并聯(lián)導(dǎo)納的形式，將SG歸至網(wǎng)絡(luò)時增加了同步機設(shè)備節(jié)點的自導(dǎo)納，增加量為對角矩陣SG=diag(Bj/SG)，其中對角元素Bj/SG為比值的形式，表征了考慮容量歸算后各節(jié)點導(dǎo)納增加量的有名值。式（4）給出了同步全局坐標系下第（=+1～+）臺同步機內(nèi)電源端口處的導(dǎo)納模型，具體推導(dǎo)過程及各元素的表達式如附錄式（A1）～式（A8）所示。

結(jié)合跟網(wǎng)型變流器和同步機的導(dǎo)納模型，全局坐標系下設(shè)備側(cè)動態(tài)模型可表示為

其中

1.2.2 交流電網(wǎng)模型

全局坐標系下，交流電網(wǎng)動態(tài)模型[9]（以電流流出變流器為正方向）為

其中

1.3 基于UIFM的設(shè)備耦合特性分析

系統(tǒng)閉環(huán)框圖如圖2所示，對應(yīng)的矩陣形式的系統(tǒng)閉環(huán)模型可表示為

求解系統(tǒng)閉環(huán)特征方程det(sys0())=0，即可根據(jù)系統(tǒng)是否有特征值實部大于0判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。為了進一步分析同步機動態(tài)對并網(wǎng)變流器穩(wěn)定性的影響，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)特征保持的Schur分解[28]，可以得到關(guān)注變流器穩(wěn)定問題的閉環(huán)模型為

為表達簡潔，式（9）及本節(jié)后文各式隱去了“()”。針對本文關(guān)注的低慣量場景，考慮系統(tǒng)中的同步機容量較小，根據(jù)Neumann級數(shù)性質(zhì)，式（9）可進一步表示為

其中

由此可見，當(dāng)不考慮同步機動態(tài)的交互耦合時（對應(yīng)節(jié)點變?yōu)闊o窮大或接地節(jié)點），系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程中僅包含變流器和網(wǎng)絡(luò)動態(tài)的交互，與變流器多饋入系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程相同[10]。此時相互作用矩陣UIF=0×n。由此可見，UIF項包含了同步機和互聯(lián)兩類設(shè)備的網(wǎng)絡(luò)動態(tài)，定性地描述了低慣量系統(tǒng)中同步機和變流器動態(tài)的交互作用，為低慣量系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析提供了模型基礎(chǔ)。此外，整理為UIF形式的閉環(huán)模型式（10），可以通過攝動理論和模態(tài)解耦進行降階，從而能通過低階等效模型量化分析低慣量對并網(wǎng)變流器穩(wěn)定性的影響。

2 穩(wěn)定性等效的最小子系統(tǒng)

在第1節(jié)建立的系統(tǒng)閉環(huán)模型的基礎(chǔ)上，本節(jié)首先利用矩陣攝動理論，構(gòu)造了一個與原系統(tǒng)穩(wěn)定性分析等效的同構(gòu)系統(tǒng)；其次通過模態(tài)解耦，將構(gòu)造出的等效同構(gòu)系統(tǒng)解耦為多個子系統(tǒng)，并給出了主導(dǎo)系統(tǒng)穩(wěn)定性的子系統(tǒng)（即最弱子系統(tǒng)）的小信號電路模型。由此可提取出影響原復(fù)雜系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵因素，并將其具象為子系統(tǒng)中底層元件的 交互。

2.1 等效同構(gòu)系統(tǒng)

文獻[10]基于廣義短路比的概念，給出了一系列將多機同構(gòu)的系統(tǒng)解耦為等效子系統(tǒng)的方法，進而可以通過分析低階的子系統(tǒng)，表征原高階系統(tǒng)的穩(wěn)定性。根據(jù)上述思路，首先需要構(gòu)造一個與原系統(tǒng)穩(wěn)定性等效的同構(gòu)系統(tǒng)。根據(jù)矩陣攝動理論[30]，可以構(gòu)造出與式（10）所示原系統(tǒng)穩(wěn)定性等效的同構(gòu)系統(tǒng)為

其中

表1 等效同構(gòu)系統(tǒng)中各參量含義及選取方法

2.2 穩(wěn)定性等效子系統(tǒng)

對于式（14）中的等效同構(gòu)系統(tǒng)，可將其解耦為多個獨立的子系統(tǒng)[10]，重點關(guān)注其中主導(dǎo)系統(tǒng)穩(wěn)定性的最弱子系統(tǒng)，該子系統(tǒng)與原系統(tǒng)穩(wěn)定性等效，其閉環(huán)模型可表示為

式中，DVSC=VSCeq()Dc為等效變流器模型的電流小信號動態(tài)；DSG=SGeq()Dc為等效同步機模型的電流小信號動態(tài)；Dnet=gSCR()Dc為流過等效網(wǎng)絡(luò)模型電流的小信號動態(tài)；Dload=LeqDc為等效負荷模型的電流小信號動態(tài)；Dc為虛擬公共連接點的電壓小信號模型。根據(jù)基爾霍夫定律，圖3給出了解耦子系統(tǒng)對應(yīng)的小信號電路模型。

圖3 等效子系統(tǒng)的小信號電路模型

3 基于主導(dǎo)回路的穩(wěn)定性分析

本節(jié)首先選取了適用于分析小干擾同步穩(wěn)定問題的相位主導(dǎo)回路，得到與最小子系統(tǒng)穩(wěn)定性等效的單輸入單輸出（Single-Input Single-Output, SISO）系統(tǒng)，可以通過奈奎斯特判據(jù)分析其穩(wěn)定性；然后建立了衡量系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的指標，并給出了綜合考慮系統(tǒng)慣量和短路比的二維穩(wěn)定運行域計算方法。

3.1 主導(dǎo)回路的選取

第2節(jié)建立的子系統(tǒng)模型考慮了設(shè)備的詳細動態(tài)，其中一些環(huán)節(jié)對于本文關(guān)注的小干擾穩(wěn)定問題影響較小。

首先，為便于揭示耦合機理并分離出慣量和電網(wǎng)強度對變流器小干擾穩(wěn)定性的影響，對兩類設(shè)備模型進行一些合理簡化。本文關(guān)注的變流器小干擾同步失穩(wěn)問題主要是鎖相環(huán)與弱電網(wǎng)（低短路比低慣量）相互作用導(dǎo)致的次/超同步振蕩。對于變流器，在該振蕩模態(tài)所在的頻段，根據(jù)奇異攝動理論，保留決定穩(wěn)定性的鎖相環(huán)動態(tài)進行建模，忽略功率外環(huán)等其他環(huán)節(jié)的動態(tài)，僅保留式（2）中yg4()的動態(tài)[13]；對于同步機，為重點關(guān)注慣量的影響，采用經(jīng)典二階模型[20, 31]。結(jié)合附錄式（A7）的具體表達式，保留了兩類設(shè)備基本同步動態(tài)性質(zhì)的子系統(tǒng)簡化模型可表示為

選取式（21）中簡化系統(tǒng)的主導(dǎo)回路，對于某個環(huán)節(jié)主導(dǎo)的穩(wěn)定問題，基于該環(huán)節(jié)對應(yīng)的主導(dǎo)回路模型得到的穩(wěn)定性分析結(jié)果的魯棒性和標稱性較好[32]。本文側(cè)重于分析跟網(wǎng)型變流器鎖相環(huán)動態(tài)與弱交流系統(tǒng)耦合導(dǎo)致的小干擾同步穩(wěn)定問題，變流器模型中的yg4()元素包含了鎖相環(huán)動態(tài)，反映了變流器的同步動態(tài)，因此選取yg4()同步回路作為主導(dǎo)回路進行分析，對應(yīng)SISO系統(tǒng)閉環(huán)特征方 程為

式中，()、()分別為系統(tǒng)的前向通路和反饋回路。以變流器端口的視角觀察，反饋回路()包含了除變流器外系統(tǒng)其余環(huán)節(jié)的動態(tài)，反映了變流器所接入系統(tǒng)的系統(tǒng)強度。由于()包含了系統(tǒng)的慣量和廣義短路比，因此系統(tǒng)強度受到等效慣量和廣義短路比的共同影響，其中廣義短路比反映了系統(tǒng)的電網(wǎng)強度，慣量項反映了系統(tǒng)的慣量水平。

至此，本節(jié)通過數(shù)學(xué)變換將式（8）所示的多輸入多輸出（Multiple-Input Multiple-Output, MIMO）系統(tǒng)，轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定性等效的SISO 系統(tǒng)，進而可以通過奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性并量化穩(wěn)定裕度。

3.2 穩(wěn)定性分析

根據(jù)上述分析，圖4給出了多機系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及穩(wěn)定裕度評估流程。具體地，首先，計算系統(tǒng)的穩(wěn)定運行域，由于系統(tǒng)的穩(wěn)定性受到gSCR和eq兩個指標影響，在合理范圍內(nèi)遍歷兩指標的參數(shù)值，在不同參數(shù)取值的情況下對式（22）應(yīng)用奈奎斯特判據(jù)判斷子系統(tǒng)是否穩(wěn)定，進而形成兩個指標共同約束的二維穩(wěn)定運行域（Feasible Region, FR）；其次，對于某運行工況下的多機系統(tǒng)，通過圖4所示方法得到該工況下的等效子系統(tǒng)，當(dāng)該子系統(tǒng)的gSCR和eq落在可行域中時，即(gSCR,eq)∈FR，系統(tǒng)穩(wěn)定；最后，在系統(tǒng)穩(wěn)定時，可以根據(jù)穩(wěn)定裕度函數(shù)s評估系統(tǒng)強度。

4 算例分析

為驗證上述理論分析的有效性，基于Matlab/ Simulink平臺搭建如附圖2所示的兩區(qū)4機系統(tǒng)和附圖3所示的10機39節(jié)點系統(tǒng)，選取系統(tǒng)基準容量為100 MV·A，設(shè)備關(guān)鍵控制參數(shù)、設(shè)備容量和交流網(wǎng)絡(luò)線路參數(shù)見附表1～附表5，同步發(fā)電機的勵磁等控制環(huán)節(jié)所用參數(shù)見文獻[31]。

圖4 多機系統(tǒng)穩(wěn)定性分析流程

4.1 頻域理論分析

本節(jié)基于兩區(qū)4機系統(tǒng)驗證所提理論分析方法的有效性。

首先，驗證第2節(jié)中解耦子系統(tǒng)與原系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定的等效性。本文主要關(guān)注不同類型設(shè)備間的交互，為簡化分析，負荷采用恒電流負荷。修改系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)阻抗和慣量的值，觀察原兩區(qū)4機系統(tǒng)和解耦子系統(tǒng)的主導(dǎo)特征根的變化，其中原系統(tǒng)的特征根通過Matlab/Simulink中搭建模型的狀態(tài)空間方程計算得到，子系統(tǒng)的特征根通過Matlab中的m文件編程計算得到。兩區(qū)4機系統(tǒng)等效前后主導(dǎo)特征根對比如圖5所示。

圖5 兩區(qū)4機系統(tǒng)等效前后主導(dǎo)特征根對比

圖5a給出了eq=20的高慣量系統(tǒng)中，網(wǎng)絡(luò)線路電感36、46和56由各自的初始值逐漸增加至初始值的600%，對應(yīng)廣義短路比gSCR由2.876減小至1.913時，原兩區(qū)4機系統(tǒng)和解耦子系統(tǒng)的主導(dǎo)特征根的變化，可以看出，電網(wǎng)強度降低，惡化了跟網(wǎng)型變流器小干擾同步穩(wěn)定性。圖5b給出了gSCR= 2.1的低短路比系統(tǒng)中，各同步機慣量由5降至1.9時，系統(tǒng)主導(dǎo)特征根的變化，隨著系統(tǒng)等效慣量降低，圖5b中同步機轉(zhuǎn)子運動方程對應(yīng)模態(tài)的振蕩頻率逐漸增高，增至8 Hz附近（對應(yīng)特征根虛部為50 rad/s）時，兩類設(shè)備同步環(huán)節(jié)動態(tài)的帶寬產(chǎn)生交互耦合，導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生小干擾失穩(wěn)。由此可見，低慣量系統(tǒng)的相位動態(tài)特性，將會增加鎖相環(huán)型變流器的失穩(wěn)風(fēng)險。在系統(tǒng)強度（網(wǎng)絡(luò)阻抗和慣量）變化的過程中，原始兩區(qū)4機系統(tǒng)和等效子系統(tǒng)的主導(dǎo)特征根基本保持一致，驗證了子系統(tǒng)和原兩區(qū)4機系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定的等效性，因此通過模態(tài)解耦得到的子系統(tǒng)可以用于分析弱交流系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

值得一提的是，上述算例驗證了子系統(tǒng)的穩(wěn)定性與原系統(tǒng)等效，在該方法正確的情況下，可以利用解耦子系統(tǒng)分析各類穩(wěn)定性問題，例如，同步機調(diào)速器與電力電子設(shè)備外環(huán)的低頻段交互[18]、電力電子設(shè)備間的交互[33]等。由于本文關(guān)注低慣量系統(tǒng)中同步機轉(zhuǎn)子運動動態(tài)和跟網(wǎng)型變流器鎖相環(huán)動態(tài)的耦合，對于其他參數(shù)的影響不再展開分析。此外，本文所提簡化模型式（21）的合理性和準確性驗證詳見附錄第3節(jié)。

接下來，驗證第3節(jié)中選取的同步主導(dǎo)回路分析低慣量系統(tǒng)穩(wěn)定問題的有效性。在m文件中編寫式（22）、式（23）所示SISO系統(tǒng)的閉環(huán)模型，并繪制其開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特曲線。圖6a和圖6b分別給出了gSCR由2.876減小至1.913和慣量由5降至1.9時的奈奎斯特曲線。可以看出，主導(dǎo)回路的穩(wěn)定性判斷結(jié)果與系統(tǒng)極點分析所得結(jié)果（見圖5）一致。進一步地，根據(jù)3.2節(jié)中式（24）計算圖6中穩(wěn)定系統(tǒng)的裕度，表2給出了系統(tǒng)強度量化結(jié)果，s的值越小，穩(wěn)定裕度越大，系統(tǒng)強度越強。

圖6 兩區(qū)4機系統(tǒng)主導(dǎo)回路的奈奎斯特曲線

表2 兩區(qū)4機系統(tǒng)強度量化結(jié)果

Tab.2 Quantitative results of the two area four machine power system strength

4.2 時域仿真驗證

進一步地，從時域角度驗證所提理論的準確性。首先遍歷系統(tǒng)等效慣量由1.5～9變化和系統(tǒng)廣義短路比由1.9～3.1變化的參數(shù)域，根據(jù)如圖4所示的穩(wěn)定性分析流程，計算各工況下系統(tǒng)是否穩(wěn)定，并給出了如圖7所示的系統(tǒng)二維穩(wěn)定運行域。

圖7 兩區(qū)4機系統(tǒng)二維穩(wěn)定運行域

在Matlab/Simulink中搭建附圖2中的兩區(qū)4機系統(tǒng)的電磁暫態(tài)仿真模型。系統(tǒng)的初始工況為圖7中的A點，在1.5 s和3 s分別切換至B和C點。系統(tǒng)運行在平衡點的情況下，于0.25 s時在同步機1的轉(zhuǎn)子處施加一轉(zhuǎn)速小擾動時，變流器1端口的有功功率時域仿真波形如圖8所示。

圖8 兩區(qū)4機系統(tǒng)時域仿真波形

可以看出，在A、B和C三點處對應(yīng)的工況下，時域波形分別振蕩發(fā)散、等幅振蕩和振蕩收斂，與理論計算結(jié)果一致。其中，振蕩發(fā)散的特征根為0.042±44.33i，振蕩收斂特征根為-0.091±44.33i，振蕩收斂對應(yīng)特征根實部的絕對值大于振蕩發(fā)散對應(yīng)特征根的絕對值，因此收斂速度快于發(fā)散的速度，與圖8中的仿真結(jié)果一致。此外，從曲線中得到的原兩區(qū)4機系統(tǒng)的振蕩頻率為7.12 Hz，這與圖5b中根據(jù)子系統(tǒng)計算得到的臨界穩(wěn)定特征根0.009± 44.33i的振蕩頻率7.05 Hz基本一致，說明了原始兩區(qū)4機系統(tǒng)和等效子系統(tǒng)的最弱振蕩模式相同。

4.3 適用性驗證

本節(jié)基于IEEE 10機39節(jié)點系統(tǒng)，旨在驗證本文所提穩(wěn)定性分析方法的適用性，因此重點對比了最終得到的SISO簡化模型和原系統(tǒng)的穩(wěn)定性等效性。具體地，在模態(tài)攝動解耦和主導(dǎo)回路選取后，得到穩(wěn)定性等效的SISO系統(tǒng)，并對比了Nyquist穩(wěn)定性判斷結(jié)果和時域仿真結(jié)果。

首先，根據(jù)附表5中系統(tǒng)交流網(wǎng)絡(luò)線路參數(shù)，計算出系統(tǒng)的廣義短路比gSCR=2.18。根據(jù)圖4中的穩(wěn)定性分析流程，將原多機系統(tǒng)模態(tài)解耦為等效子系統(tǒng)并選取同步主導(dǎo)回路進行分析。圖9給出了保持網(wǎng)絡(luò)參數(shù)不變（gSCR=2.18）情況下，等效慣量eq為2、2.82和4時的系統(tǒng)Nyquist曲線。由圖可知，在三種工況下，基于主導(dǎo)回路的穩(wěn)定性判斷結(jié)果分別為振蕩發(fā)散、等幅振蕩和振蕩收斂。

圖9 10機39節(jié)點系統(tǒng)主導(dǎo)回路的奈奎斯特曲線

在系統(tǒng)位于初始工況（gSCR=2.18,eq=2）平衡點的情況下，于1 s時在設(shè)備1（變流器）的端口處施加一q軸電壓小擾動，并在8 s和11 s時將等效慣量設(shè)置為eq=2.82和eq=4，圖10給出了變流器5端口的有功功率時域仿真波形。由圖可知，時域仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果一致，這驗證了本文所提穩(wěn)定性分析方法在多機系統(tǒng)中的適用性。

圖10 10機39節(jié)點系統(tǒng)時域仿真波形

綜上所述，本節(jié)從模態(tài)理論分析和時域仿真兩方面驗證了所提模態(tài)攝動解耦和基于主導(dǎo)回路的穩(wěn)定性分析方法的有效性。

5 結(jié)論

本文針對弱交流系統(tǒng)中并網(wǎng)變流器次/超同步振蕩問題，綜合分析了廣義短路比和等效慣量對并網(wǎng)變流器穩(wěn)定性的影響。主要結(jié)論如下：

1）同步機容量小的低慣量系統(tǒng)可以解耦為個單變流器和單同步機互聯(lián)的最小子系統(tǒng)，其中最弱子系統(tǒng)與原系統(tǒng)的穩(wěn)定性等效。

2）弱交流系統(tǒng)中，在設(shè)備動態(tài)固定的前提下，并網(wǎng)變流器小干擾穩(wěn)定性由線路連接阻抗和同步機慣量時間常數(shù)共同決定，可由廣義短路比和系統(tǒng)等效慣量共同約束的二維穩(wěn)定域刻畫，當(dāng)廣義短路比或等效慣量減小時，系統(tǒng)穩(wěn)定性惡化；反之，則改善。

3）隨著同步機容量減小，系統(tǒng)等效慣量水平逐漸降低，兩類設(shè)備同步環(huán)節(jié)動態(tài)的帶寬產(chǎn)生交互耦合，可能誘發(fā)并網(wǎng)變流器鎖相環(huán)主導(dǎo)的次/超同步振蕩失穩(wěn)。

如何綜合分析不同環(huán)節(jié)交互下的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，是未來主要的工作之一。

1. 同步機建模及其簡化模型

同步發(fā)電機定子感應(yīng)電動勢動態(tài)可以通過等效電感SG的動態(tài)表示為

內(nèi)電動勢的幅值動態(tài)為

內(nèi)電動勢的相位動態(tài)為

式中，、分別為同步機慣量和阻尼系數(shù)；、分別為轉(zhuǎn)子角與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；0為系統(tǒng)標稱頻率；e為有功功率；m為調(diào)速系統(tǒng)機械功率；gov()為調(diào)速器傳遞函數(shù)，可以由一階慣性環(huán)節(jié)近似表示；gov為其增益；gov為其等效時間常數(shù)。

根據(jù)式（A4）對同步機諾頓等效，附圖1給出了等效前后的同步機模型電路。將虛線右側(cè)的定子電感動態(tài)歸至網(wǎng)絡(luò)側(cè)。

附圖1 同步機內(nèi)部諾頓等效示意圖

App.Fig.1 Norton equivalence diagram of a synchronous generator at internal port

線性化式（A1）～式（A4）并聯(lián)立求解，得到內(nèi)電流源處的導(dǎo)納模型為

其中

dq同步坐標系和全局同步坐標系存在穩(wěn)態(tài)相位差時，僅需進行式（A7）坐標變換即可。

其中

第3節(jié)中僅關(guān)注相位動態(tài)的簡化模型為

2. 仿真系統(tǒng)介紹

附表1 設(shè)備主要參數(shù)

App.Tab.1 Main parameters of devices

設(shè)備類型參 數(shù)數(shù) 值 變流器功率外環(huán)PI參數(shù)0.5, 40 電流內(nèi)環(huán)PI參數(shù)0.5, 40 鎖相環(huán)PI參數(shù)4, 2 100 同步機慣量和阻尼8, 0 定子等效電感(pu)0.1

附圖2 兩區(qū)4機系統(tǒng)示意圖

App.Fig.2 Topology diagram of a two area four machine power system

附表2 兩區(qū)4機系統(tǒng)設(shè)備容量

App.Tab.2 Device capacity in two area four machine power system

設(shè) 備容量(pu) 變流器11.75 變流器21.65 同步機10.25 同步機20.35

附表3 兩區(qū)4機系統(tǒng)交流網(wǎng)絡(luò)線路參數(shù)

App.Tab.3 Network data of two area four machine power system

線路編號數(shù)值(pu) L150.013 8 L250.014 7 L360.018 3 L460.022 0 L560.024 4 線路阻感比0.1

附圖3 IEEE 10機39節(jié)點系統(tǒng)拓撲

App.Fig.3 Topology diagram of IEEE 10-machine 39-bus power system

附表4 10機39節(jié)點系統(tǒng)設(shè)備容量

App.Tab.4 Capacity of device in 10-machine 39-bus power system

設(shè) 備容量(pu) 變流器11.2 變流器21.4 同步機30.6 變流器41.1 變流器51.1 同步機60.7 變流器71.5 同步機80.6 變流器91.6 變流器101.1

3. 簡化模型驗證

首先，驗證所提簡化模型的合理性，式（21）中的簡化模型忽略了對所關(guān)注的主導(dǎo)特征根影響較小的環(huán)節(jié)。各動態(tài)環(huán)節(jié)對系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定性的影響，可以通過主導(dǎo)特征根的參與因子刻畫。具體見附表6，附表6中各環(huán)節(jié)參與因子為同類型設(shè)備對應(yīng)環(huán)節(jié)參與因子求和得到。由附表6可知，鎖相環(huán)動態(tài)、轉(zhuǎn)子運動動態(tài)和網(wǎng)絡(luò)動態(tài)主導(dǎo)了低慣量系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性，因此可以根據(jù)3.1節(jié)中分析對詳細模型進行合理簡化。

附表5 10機39節(jié)點系統(tǒng)交流網(wǎng)絡(luò)線路參數(shù)

App.Tab.5 Network data of 10-machine 39-bus power system

線路編號數(shù)值(pu)線路編號數(shù)值(pu) L1,20.0370L15,160.008 5 L1,390.022 5L16,170.008 0 L2,30.013 6L16,190.017 5 L2,250.007 7L16,210.012 1 L2,300.016 3L16,240.005 3 L3,40.019 2L17,180.007 4 L3,180.012 0L17,270.015 6 L4,50.011 5L19,330.012 8 L4,140.011 6L19,200.012 4 L5,80.010 1L20,340.016 2 L6,50.002 3L21,220.012 6 L6,70.008 3L22,230.008 6 L6,110.007 4L22,350.030 9 L7,80.004 1L23,240.031 5 L8,90.032 7L23,360.024 5 L9,390.022 5L25,260.029 1 L10,110.003 9L25,370.020 9 L10,130.003 9L26,270.013 2 L10,320.036 0L26,280.042 7 L12,110.039 1L26,290.056 3 L12,130.039 1L28,290.013 6 L13,140.009 1L29,380.032 0 L14,150.019 5L31,60.022 5 線路阻感比0.1——

附表6 主導(dǎo)模態(tài)參與因子

App.Tab.6 Participating factors of the dominant modes

動態(tài)環(huán)節(jié)鎖相環(huán)模態(tài)參與因子搖擺方程模態(tài)參與因子 變流器鎖相環(huán)1.050.73 變流器外環(huán)0.0275.7×10-3 變流器電流內(nèi)環(huán)2.60×10-31.16×10-5 同步機轉(zhuǎn)子動態(tài)0.611.03 同步機勵磁4.2×10-30.011 同步機調(diào)速器3.7×10-30.031 網(wǎng)絡(luò)動態(tài)0.210.14

驗證簡化模型的準確性。附圖4進一步給出了根據(jù)所建立的簡化模型和詳細模型得到的系統(tǒng)主導(dǎo)特征根對比，其中簡化模型主導(dǎo)特征根是通過編寫m文件程序計算得到，詳細模型主導(dǎo)特征根通過Simulink線性化得到。可以看出，簡化模型與詳細模型的主導(dǎo)特征根基本一致，綜合上述分析，驗證了本文所提簡化模型的合理性和準確性。

附圖4 簡化模型與詳細模型主導(dǎo)極點對比

App.Fig.4 Dominant pole comparison diagram of simplified model and detailed model

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Sub/Super Synchronous Oscillation Analysis of Grid-Connected Converter in Low Inertia AC System

111123

（1. College of Electrical Engineering Zhejiang University Hangzhou 310027 China 2. China Electric Power Research Institute Beijing 100192 China 3. Electric Power Research Institute State Grid Shanghai Municipal Electric Power Company Shanghai 200437 China）

With the widespread integration of renewable energy sources, the power system is transitioning into a weak AC system characterized by low inertia and a reduced short-circuit ratio. Compared to conventional power systems, the interaction between sources and grids becomes more intricate in weak AC systems, resulting in complex dynamic behaviors. The challenge of oscillation instability in grid-connected inverters is accentuated in low-inertia power systems. In such systems, grid-following inverters may interact with the dynamics of synchronous machine rotors, posing new challenges for stability analysis. Relying solely on the dynamics and short-circuit ratio of grid-following devices is insufficient to assess the strength of the AC system. This paper addresses the small-signal oscillation instability in the sub-synchronous frequency range. The impact of the system's generalized short-circuit ratio and inertia on the small-disturbance synchronous stability of grid-following inverters are analyzed. The proposed stability margin quantification method is designed for grid-connected inverters in low-inertia multi-machine systems with low computational complexity and clear physical significance.

This paper initially establishes a closed-loop model for the hybrid system of synchronous machines and inverters. The dynamic coupling of the two types of devices is separated by mathematically transforming the closed-loop model. A unit interaction factor matrix (UIFM) is generated, including the dynamics of synchronous machines and the interconnected network of the two types of devices. This matrix qualitatively describes the interaction between the dynamics of synchronous machines and inverters in low-inertia systems, providing a model foundation for stability analysis.

The matrix perturbation theory is employed for the closed-loop model, constructing an isomorphic system equivalent to the original system's stability. Modal decoupling is then applied to break down the constructed equivalent isomorphic system into multiple subsystems. The small-signal circuit model of the dominant subsystem is provided. Key factors affecting the stability of the original complex system are extracted, concretizing the interaction of bottom-layer components in the subsystem.

Since the minimal subsystem remains a two-dimensional multiple-input, multiple-output (MIMO) system, this paper selects a phase-dominant loop suitable for analyzing small-disturbance synchronous stability problems. The result in a single-input, single-output (SISO) system is equivalent to the stability of the minimal subsystem. The stability of this system is analyzed using the Nyquist criterion, and stability margin indicators are established. A two-dimensional stable operating region calculation method, considering both system inertia and short-circuit ratio, is provided. Finally, using the Matlab/Simulink platform, the effectiveness of the proposed analysis method is validated using a two-area, four-machine system and a 10-machine 39-bus system.

Low inertia system, small-disturbance synchronization stability, generalized short-circuit ratio, minimum subsystem, system strength

國家電網(wǎng)有限公司科技資助項目（52094023001W）。

2023-09-01

2023-12-05

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.231434

TM712

胡 光 男，1999年生，博士研究生，研究方向為新能源并網(wǎng)穩(wěn)定分析。E-mail: 12110056@zju.edu.cn

辛煥海 男，1981年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為交直流系統(tǒng)穩(wěn)定分析與控制、新能源并網(wǎng)穩(wěn)定分析與控制。E-mail: xinhh@zju.edu.cn（通信作者）

（編輯 陳 誠）