淺談分率（百分率）、比與除法的一致性

宋文相

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重前后知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生遷移舊知，類(lèi)比學(xué)習(xí)新知。筆者結(jié)合《百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用（一）》的教學(xué)，淺談分率（百分率）、比與除法的一致性。

形式的一致性。課始，筆者出示數(shù)學(xué)問(wèn)題：“有45立方厘米的水，結(jié)冰后體積約為50立方厘米。（1）冰的體積比原來(lái)水的體積約增加了百分之幾？（2）水的體積比冰的體積約減少了百分之幾？”拋出問(wèn)題后，筆者引導(dǎo)學(xué)生分析：把冰的體積和水的體積寫(xiě)成比的形式為“50∶45=10∶9”；這個(gè)比可以轉(zhuǎn)化成分率，即“50∶45=10∶9=[109]”。但是要注意：比的后項(xiàng)是單位“1”，前項(xiàng)是比較量，表示冰的體積是水的幾分之幾；分率“[109]”中的分母相當(dāng)于除法中的除數(shù)，也相當(dāng)于比的后項(xiàng)；而分率過(guò)渡到百分率只是結(jié)果要化成百分率形式而已，由此可以列式得：50÷45×100%≈111.1%。這樣再來(lái)解決第（1）問(wèn)，就與解決“冰的體積比水的體積多幾分之幾？”是一致的了，即用多的數(shù)量“50-45”除以單位“1”的量（水的體積“45”）得到“[19]”。而求“增加了百分之幾？”就是求“冰比水多的體積是水的百分之幾”，類(lèi)比分?jǐn)?shù)的應(yīng)用可以列式為（50-45）÷45×100%≈11.1%。

建模的一致性。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中“求甲數(shù)是乙數(shù)（非零）的幾分之幾？”用除法，用比較量除以單位“1”的量，建模為“甲÷乙”，延伸到“甲數(shù)比乙數(shù)多幾分之幾”，建模為“（甲-乙）÷乙”。本節(jié)課要求的結(jié)果是百分率，可以理解為甲比乙多百分之幾，可用模型“（甲-乙）÷乙×100%”解決?？紤]到算法的多樣性，應(yīng)該先求出比較量是單位“1”的幾分之幾（或者百分之幾），再同整體“1”作比較。也就是說(shuō)，多幾分之幾（百分之幾）的問(wèn)題建模為分率（百分率）減“1”，少幾分之幾（百分之幾）的問(wèn)題模型為“1”減分率（百分率）。

數(shù)形結(jié)合的一致性。解決分?jǐn)?shù)的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)一畫(huà)分析數(shù)量關(guān)系。

圖1和圖2是基于第一種方法建模的線段圖，即用相差數(shù)量除以單位“1”的數(shù)量。

圖3對(duì)應(yīng)的是“求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多百分之幾”模型（百分率-100%）的線段圖，圖4對(duì)應(yīng)的是“求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)少百分之幾”模型的線段圖。

無(wú)論是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題還是百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，畫(huà)線段圖分析數(shù)量關(guān)系都能化難為易，幫助學(xué)生直觀地分析、解答問(wèn)題。

認(rèn)知沖突的一致性。教學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，筆者出示如下題目：“男生有40人，女生有50人，男生比女生少[15]，那么女生就比男生多[15]嗎？”學(xué)生形成認(rèn)知沖突之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生思辨，發(fā)現(xiàn)雖然相差數(shù)量不變，但由于單位“1”不同，相差的分率是不同的。同樣地，教學(xué)百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用題時(shí)，仍然有“水與冰相差的體積數(shù)量不變，冰的體積比水的體積增加了約11.1%，水的體積比冰的體積減少了11.1%嗎？”這樣的認(rèn)知沖突，筆者抓住認(rèn)準(zhǔn)單位“1”這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，幫助學(xué)生突破了“增加了百分之幾”“減少了百分之幾”的問(wèn)題。從比的知識(shí)來(lái)講，相差數(shù)這個(gè)比的前項(xiàng)不變，但比的后項(xiàng)改變了，所以比值發(fā)生了改變。

（作者單位：宜昌市秭歸縣第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

責(zé)任編輯? 張敏