一種控制輸入約束下的不確定離散系統非脆弱保性能控制器設計

段虹州 韓光信 高興泉

摘 要：【目的】針對考慮擾動及攝動情況下的控制輸入約束的不確定離散系統，提出了非脆弱保性能的控制方法。【方法】首先，以最小化目標函數為性能指標、控制輸入飽和范圍為約束條件，從而推導出約束狀態下的非脆弱保性能控制律。其次，使用李雅普諾夫方程來構造非線性矩陣不等式。再次，結合Schur補定理和布谷鳥群智能優化算法對不等式進行求解，得到控制輸入約束下的非脆弱保性能控制律的參數。最后，通過Quanser三自由度陀螺儀平臺進行試驗驗證。【結果】試驗結果表明，本研究所提出方法的穩態誤差浮動不超過0.07、跟蹤誤差不超過0.15。【結論】該方法在面對擾動及攝動情況時具有更高的魯棒性，對提升三自由度陀螺儀的穩定性及控制精度具有重要意義。

關鍵詞：不確定性離散系統；控制輸入約束；非脆弱性；保性能控制

中圖分類號：TP273? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1003-5168（2024）03-0004-06

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.03.001

Non-Fragile Guaranteed Cost Control for Uncertain Discrete

System with Control input Constraints

DUAN Hongzhou1 HAN Guangxin1 GAO Xingquan1，2

（1.Jilin Institute of Chemical Technology， Jilin 132022，China;

2.Jilin Industrial Vocational and Technical College， Jilin 132013，China）

Abstract： [Purposes] In this paper， a non-fragile guaranteed performance control method is proposed for uncertain discrete systems with input constraints under perturbation. [Methods] In this method， By taking the minimum objective function as the performance index and taking the saturation range of the control input as the constraint condition， the non-fragile guaranteed performance control law under the constraint state is derived. Secondly ， the nonlinear matrix inequality is constructed by Lyapunov equation.? Then， Schur's complement theorem and Cuckoo bird intelligent optimization algorithm are used to solve the inequality， and the non-fragile guaranteed performance control law parameters under the control input constraints are obtained. Finally， the experiment is verified by Quanser-3-DOF gyroscope platform. [Findings] The results show that the steady-state error of the proposed method is less than 0.07 and the tracking error is less than 0.15. [Conclusions] The method proposed in this paper has higher robustness in the face of disturbance and perturbation， and is of great significance for improving the stability and control accuracy of the 3-DOF gyroscope.

Keywords： uncertain discrete system; control input constraint; non-fragile; guaranteed performance control

0 引言

非脆弱保性能控制［1］是指在控制系統中考慮輸入約束和性能指標的前提下來設計控制律，從而使系統具有優異的性能，在面對不確定性或擾動時能保持強魯棒性。該方法被廣泛應用于工業生產［2］、機器人控制［3］、航空航天［4］等領域。

保性能控制起源于20世紀末，在21世紀得到進一步發展，學者們經過研究相繼取得了諸多成果。Yu等［5］提出關于不確定離散系統的保性能控制方法；Chen等［6］提出不確定離散時滯系統的保性能控制方法；Fan等［7］提出連續時間系統的保性能控制方法；He等［8］提出不確定T-S模糊系統的保性能控制方法；Yang等［9］對離散線性系統的保性能控制進行深入研究。

Makila等［10］研究發現，若某些控制器的參數發生極其微小的波動，閉環系統的性能有可能會大幅度下降，嚴重時甚至會直接導致系統不穩定。因此，對自身參數攝動具有較強抵制能力的控制器被稱為非脆弱控制器［11］。Jiang等［12］提出將H∞控制和非脆弱控制融合的辦法，并進行了實踐驗證；Gao等［13］對非脆弱、保性能和H∞控制的融合進行研究。

上述研究成果并未考慮控制輸入約束，獲得的控制器參數通常具有較高的增益，易導致系統不穩定或設備損壞。因此，本研究考慮最小化性能函數、系統不確定性、控制輸入約束及控制器增益攝動，提出了一種控制輸入約束下的非脆弱保性能控制器設計方法，在保證系統運行能滿足控制輸入約束的同時，還具有良好的性能，并在三自由度陀螺儀上驗證了所提方法的有效性。

1 問題描述

考慮不確定的離散系統表示見式（1）。

[x（k+1）=A+ΔAx（k）+B+ΔBu（k）x（0）=x0] （1）

式中：[x（k）∈Rn]為系統狀態向量；[u（k）∈Rm]為控制輸入向量；[ΔA]、[ΔB]為反映系統模型中參數不確定性的未知實矩陣。

本研究考慮參數不確定性時假設為范數有界，見式（2）。

[ΔAΔB=HFE1E2] （2）

式中：[H]、[Ei]（[i=1，2]）為具有合適維數的確定矩陣；[F]可測，且滿足[FTF≤I]；[I]為具有適當維數的單位矩陣。上述參數反映出不確定參數的結構信息。

由于執行機構飽和因素，控制輸入必須滿足約束條件，見式（3）。

[uν（k）=eTvu（k）≤uν，max，ν=1，2，…，m，t>0] （3）

式中：uv為向量u的第[ν]個分量；[ev]為引入的空間[Rm]第[ν]個標準向量基。

考慮控制輸入約束的非脆弱保代價控制問題描述如下。設計的狀態反饋控制器見式（4）。

[u（k）=（K+ΔK）x（k）=Kx（k）] （4）

為使閉環系統內部穩定，最小化目標函數見式（5）。

[J=k=0∞xT（k）Qx（k）+uT（k）Ru（k）] （5）

同時，為滿足控制輸入約束，[Q]和[R]為給定的正定對稱矩陣，[K]為設計的狀態反饋控制器增益，[ΔK]為控制增益加性攝動，[M]和[N]為具有合適維數的確定矩陣，[Fk]可測且滿足[FTkFk≤I]，[I]為具有適當維數的單位矩陣。

引理1：取[M=MT]，[H]和[E]為具有相應維數的實數矩陣，[F]滿足[FTF≤I]，則以下條件等價［14］。

[M+HF（t）E+ETFTHT<0] （6）

存在標量[ε>0]，使得[M+εHHT+ε-1ETE<0]。

根據引理1，可推導出以下結論。

推論1：取[M=MT]，[H]和[E]為具有相應維數的實數矩陣，[Fi（t）]滿足[FT（t）F（t）≤I]引理以下條件等價。

[M+HFE+ETFTHT>0] （7）

存在標量[ε>0]，使得[M-εHHT-ε-1ETE>0]。

若不等式[M+HF（t）E+ETFTHT>0]成立，則有[-M-HF（t）E-ETFTHT<0]，即[-M+（-H）F（t）E+ETFT（-H）T<0]，也即[M-εHHT-ε-1ETE>0]。

2 非脆弱保性能控制器設計

將控制器（4）代入到系統（1）中，并考慮系統模型的不確定性（2），得到的閉環系統見式（8）。

[x（k+1）=Aclx（k）x（0）=x0] （8）

式中：[Acl=A+HFE1+（B+HFE2）K]。

對于系統（8），若存在對稱正定矩陣[P]使得[K]滿足式（9）。

[ATclPAcl-P+Q+KTRK<0] （9）

則狀態反饋控制律[u（k）=Kx（k）]是系統的一個具有性能矩陣[P]的保性能控制律。其中，[K=K+ΔK]，控制性能目標函數（5）的一個上界為[J*=xT0Px0]，即對所有的[k>0]，都有[xT（k）Px（k）≤xT0Px0]。

為消除不等式條件（7）中含有的模型不確定性，獲得易檢驗條件，根據推導，得到保證式（4）成立且保證目標函數[J≤α]的充分條件，即存在標量[ε1>0]，對稱正定矩陣[X=P-1]，使得以下矩陣不等式成立，見式（10）、式（11）。

該不等式雖消除了模型的不確定性，但還包含控制器的增益攝動，下面尋找一個滿足式（10）的充分條件。

定義[Y=KX]，根據Schur補定理有式（12）。

考慮控制輸入約束（3），閉環系統滿足控制約束意味著應有式（13）。

[uTv（k）uv（k）≤u2v，max， t≥0， v=1，2，…，m] （13）

根據[uv（k）=eTv（Kx（k））]，可得式（14）。

[xT（k）KTeveTvKx（k）≤u2v，max] （14）

式中：[ev]為引入的空間Rm第[ν]個標準向量基。

根據前面的討論，若式（8）、式（9）成立，則對任意的[k>0]，均有[xT（k）Px（k）≤xT0Px0=α]，即式（8）成立的一個充分條件是對所有的[x（k）]均滿足式（15）。

[xT（k）KTeveTvKu2v，maxx（k）≤xT（k）Px（k）α] （15）

將[K=K+ΔK=K+MFkN]代入，則有式（16）。

[u2v，maxeTvKKTevPα+eTvM0Fk（t）0N+0NTFTk（t）MTev0≥0] （16）

根據推論1，上式成立的一個充要條件是存在標量[ε3>0]使得式（17）成立。

[u2v，maxeTvKKTevPα-ε3eTvM0eTvM0T-ε-130NT0NTT≥0] （17）

左右兩邊同時乘以[diagIαP-1I]，定義[Y=KX]，見式（18）。

[u2v，max-ε3eTvMMTeναeTvY0αYTevXαXNT0αNXε3I≥0] （18）

假設初始狀態范數[x0]有界，即[x0≤ψ]，則式（11）成立的一個充分條件見式（19）。

[1ΨIIαX≥0] （19）

3 基于布谷鳥算法的控制器參數整定

最小化矩陣不等式（19）求出性能指標的一個上界[?min=α]、滿足控制輸入約束（18）、存在一個P使（12）成立，并求出盡可能大的控制器參數[K1K2K3K4]。適應度函數的選擇應以快速、準確為目標，使用ITAE誤差為性能評價指標，見式（20）。

[?=0tτ·|e（τ）|dτ] （20）

式中：積分區間為系統仿真時間；[e]為實際輸出和期望輸出的差值。

布谷鳥算法流程為初始化、循環、最優解輸出。

①初始化。設巢穴個數[N=4]、種群規模[D=25]，初始化巢穴的位置見式（21）。

[P0=x1（0）x2（0）x3（0）x4（0）T] （21）

②循環。在初始化及每次循環體結束后進行位置更新，保留上一次最優巢穴的位置[Pb（t-1）]對巢穴位置的更新見式（22）。

[xm（t+1）=xm（t）+σ?Levy，m=1，2，3，4] （22）

式中：[Levy?u=t-1-β（0<β≤2）]。

選取[0.25]作為巢穴主人發現寄生鳥蛋的可能性，并與[Pa]進行比較，并隨機更新被發現概率較高的巢穴位置，得到一組新的巢穴位置，用新的、較好的巢穴代替原來較差的，得到一組新的巢穴位置，見式（23）。

[Pt=x1tx2tx3tx4tT] （23）

③最優解輸出。找到前面環節得到的最優巢穴位置和最優解，若達到循環條件則停止迭代，此時輸出最優解，見式（24）。

[K1K2K3K4=Pb=x1tx2tx3tx4tT] （24）

反之，程序跳轉循環體繼續進行迭代。

4 仿真分析與試驗驗證

本研究使用三自由度陀螺儀平臺來驗證文中所提方法的有效性。其動力學模型［15］見式（25）。

[J3q2 + P1cosq2q3 -Jαsinq2cosq2q23 = τ2]

[J2+Jasin2q2q3-P1cosq2q2+2Jasinq2cosq2q2q3][=0] （25）

利用前向差分定理將其離散化，得到不確定性離散系統，見式（26）。

[x（k+1）=AC+ΔAx（k）+BC+ΔBu（k）x（0）=x0]

（26）

式中：[AC=10-0.004hJy001000.004hJz0100001 ]；[BC=0.004Jy000]；[ΔA=r1A1]；[ΔB=r2B2]。

取[|r1|≤1]、[|r2|≤1]，取值通過放大轉子質量至原來的1.1倍得到。控制輸入約束為[|u（t）|≤5]。系統描述見式（27）。

[x（k+1）=AC+HFE1x（k）+BC+HFE2u（k）] （27）

對性能指標式（5），取[Q=200001600000.0100000.000 1]、[R=5]，經布谷鳥算法迭代200次，得到相對最小化。

性能指標[α=3.107 5]，此時對應的控制參數為K1=0.505 183 3，K2=1.172 301 764，K3=0.046 237 9，K4=0.000 084。

通過仿真試驗來驗證控制參數的準確性及控制效果。階躍信號下輸出曲線、輸入電壓如圖1、圖2所示，階躍輸入仿真控制精度見表1。

由表1可知，LQR控制方法的跟蹤誤差為0.392 2，優于非脆弱控制下的跟蹤誤差。LQR控制方法的穩態誤差為0.32，遠大于非脆弱控制下的跟蹤誤差。達到穩態后，非脆弱控制器可穩定控制系統運行，效果遠強于LQR控制器。符合控制器設計思路，可進行實物驗證。

考慮到模型內部干擾，將電機效率調至95%作為內部擾動，模擬電路老化導致的性能下降。考慮內部擾動的階躍信號情況下輸出電壓、控制輸入電壓如圖3、圖4所示。

非脆弱保性能控制下的輸出曲線響應速度較慢，穩態后，精度比LQR控制下要高。在設備運行時，非脆弱保性能控制始終未達到設定的電壓上界，但LQR控制在每一次設備進行姿態變換時都超過臨界值（5 V），有可能對設備造成損害。

將陀螺儀外部銀色框架擰至輕微松動作為震動干擾，階躍信號下輸出電壓如圖5所示。

在同樣的外部擾動情況下，非脆弱保性能控制的魯棒性能相對突出，穩態誤差為0.087 1。在外部擾動情況下，非脆弱保性能控制器的魯棒性能要優于LQR控制器的魯棒性能。

考慮控制器增益攝動，設非脆弱控制器為[K]，但實際上執行的控制見式（28）。

[K=s1ΔK1+s2ΔK2] （28）

式中：[ΔK1=10]；[ΔK2=01]；[-1≤s1（t）≤1]；[-1≤s2（t）≤1]。

定義矩陣[Fk=diags1（t）s2（t）]，則控制器增益的描述見式（29）。

[ΔK=MF（t）N] （29）

式中：[M=11]；[N=1001]，取[Ψ=π24]代入式（23）。

考慮控制器攝動的階躍信號情況下輸入電壓、控制輸出電壓如圖6、圖7所示。

5 結語

本研究基于最小化性能函數、控制輸入約束、保性能控制等需求來設計控制器，通過李雅普諾夫方程推導將其轉化為成立的充分條件，進而推導出非線性矩陣不等式，再使用布谷鳥群智能優化算法對其進行求解優化。通過仿真試驗來驗證其可行性，再將求得的控制器帶入三自由度陀螺儀平臺中。試驗結果表明，約束狀態下存在允許范圍內的擾動或攝動，本研究所提出的非脆弱保性能控制器具有更好的魯棒性及控制精度。

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