融合新舊產品退化信息的可靠性建模研究

吳 怡,唐家銀,王勁博,劉新玲

(西南交通大學數學學院,四川 成都 611756)

0 引言

許多系統、產品和材料在失效之前都呈現老化、磨損或退化等特征,而監測性退化測量數據可以提供產品的退化衰減信息,對于該類數據的統計分析可以有效提高產品可靠性評估。在實際的退化測試和分析中,由于產品在制作過程中殘留的雜質或是制作工藝本身的缺陷,一些產品的退化路徑總是表現為2階段模式[1-2]。如文獻[3]中鋰離子電池、發光二極管(LED)、等離子體顯示面板(PDP)和真空熒光顯示器(VFD)等系統都具有2階段退化特征。運用變點線性回歸模型對2階段退化產品數據進行貝葉斯分析,得到產品性能退化量的變化趨勢和突變點的精確估計,有效提高了該類產品的可靠性評估,有利于廠家制定合理的維修或銷售策略。

關于變點線性回歸的研究及應用受到國內外廣泛關注[4-6]。目前,變點線性回歸模型的貝葉斯估計方法是利用產品退化數據擬合得到產品退化路徑重要方法之一,但大部分學者在利用變點線性回歸模型分析產品退化路徑時,總是將變點看作一個定值,而在實際應用中,退化變點往往具有隨機性。

目前,對于小樣本數據下的產品可靠性評估多數是從已知模型下提高參數估計精度入手,而貝葉斯可以融合多種信息,可以更有效地估計模型參數。為提高小樣本非線性下的性能退化產品可靠性評估準確性,馮海林等[7]提出一種融合性能退化數據與壽命數據的可靠性評估方法;柯賢朝[8]利用相似產品信息和新產品信息,得到產品可靠性的融合后驗,并在此基礎上進行可靠性推斷;Lu等[9]提出了一種基于多尺度超諧波特征偏轉形狀貝葉斯融合的階梯轉子裂紋定位方法;唐莉等[10]采用貝葉斯理論構建多個信息源數據融合的貝葉斯可靠性評估模型,解決小子樣高可靠性長壽命產品的可靠性評估,提高可靠性評估的精準度。

本文采用貝葉斯方法融合2階段退化新舊產品第1階段退化數據信息,利用變點思想和變系數分段回歸模型建立了變系數分段退化可靠性評估模型,完成了對新產品截尾數據的可靠性評估。

1 變系數分段線性回歸模型

1.1 模型假設

模型假設具體如下:

a.基于新產品的失效機理,可以利用相同或相似類型產品的退化數據分析新型產品退化路徑。二者退化量分布和參數估計量分布相同。

b.新產品原型可在一定試驗規范的實際工況下進行測試,試驗期間退化信號呈現多級退化模式。

c.具有隨機參數的線性模型可以用來表征各階段退化信號的變化,一些非線性模型也可以轉化為線性模型。

d.對新產品樣品的退化試驗已經進行了一段時間,并獲得了測量的退化數據的部分集合,即第1階段退化數據。

1.2 變系數分段回歸模型

變點線性回歸模型可以寫為

yij=

(1)

式中:yij為第i個樣本的第j次觀測值;tij為第i個樣本的第j次觀測時刻;n為樣本總數;m為每個樣本的觀測次數;τi為該產品在第i組樣本下的變點;ai0、ai1、bi0、bi1為第i個樣本回歸模型的待估參數;εij～N(0,σ2)。

也可以等價寫為

yij=ai0+ai1tij+ai2(tij-τi)++εij

(2)

式中:(tij-τi)+=(tij-τi)·I(tij>τi)。顯然有bi0=ai0+ai1τi,bi1=ai1+ai2。

2 參數估計

2.1 基于泰勒展開式的最小二乘法

利用最小二乘法估計回歸模型(1)的系數和變點,相當于最小化式(3),即

(3)

(4)

再將式(4)代入式(3)得到

(5)

2.2 遺傳算法求解參數值并擬合退化量分布

將極小化式(5)看作是多參數函數優化問題,這種問題通常可以通過遺傳算法得到未知參數的估計[12-13],具體步驟如下所述:

b.將二進制種群解碼分別得到4個參數的十進制種群。把殘差和函數式(5)作為適應度函數,分別將參數代入式(5),選擇一定數目的更優個體進入下一步,稱為輪盤選擇。

c.在輪盤選擇后的二進制種群中,以事先設置的交叉、變異概率進行個體間相互交叉和個體變異,最后得到新的二進制遺傳種群。

3 變系數分段退化可靠性評估模型

3.1 貝葉斯公式融合新舊產品退化信息

(6)

(7)

(8)

3.2 變點連續性建立階段關系式

新產品在τi時,由變點的連續性得到

ai0+ai1·τi+εij=bi0+bi1·τi+εij

(9)

在式(9)兩邊同時取期望和方差,得到:

(10)

(11)

(12)

假設產品的失效閾值ηc為常值,那么可靠度函數為

(13)

4 算例分析

通過數值模擬,驗證本文提出的基于變系數分段回歸模型和變點思想的分段退化可靠性模型的有效性。使用蒙特卡羅方法(MC)產生相關的仿真樣本數據:相似產品退化數據(100個樣本,每個樣本50次觀測)、新產品截尾退化數據(100個樣本,每個樣本20次觀測),假設回歸模型系數估計量均獨立服從高斯分布,參數取值如表1～表3所示。將仿真模擬結果與真值結果進行比對,最終分析判斷模型的精準性。

表1 (相似產品)變量特征值與真值比較

基于相似產品仿真退化數據集,通過上述遺傳算法得到未知參數ai0、ai1、ai2、δi的估計,再由極大似然估計得到變量的期望和方差以及第2階段退化速率b1的相關特征量,如表1所示。通過貝葉斯方法融合第1階段新舊產品退化信息,確定更新后各變量特征值,即新產品第1階段各變量特征估計值,如表2所示。假設相似產品與新產品在第2階段截距項相同,由變點處的連續性,以及式(10)和式(11)得到更新后第2階段退化速率特征值,如表3所示。

表2 (新產品)第1階段變量更新特征值與真值比較

表3 (新產品)第2階段變量特征值與真值比較

圖1～圖7分別是相似產品的參數估計值散點圖或頻率直方圖,表1是相似產品變量的特征估計值與真值的比較,從中可以看到各參數估計值均在期望附近波動,其特征值與真值差異很小,驗證了參數估計方法的準確性。

圖1 a0估計值散點圖

圖2 a0估計值頻數直方圖

圖3 a1估計值散點圖

圖4 a1估計值頻數直方圖

圖5 a2估計值散點圖

圖6 a2估計值頻數直方圖

圖7 τ估計值曲線

則新產品的退化量為

(14)

假設產品的失效閾值ηc為(常值),那么可靠度函數為

R(t)=

(15)

圖8給出了給定閾值下相似產品和新產品的預測與實際可靠度函數曲線,從中看到新舊產品在第1階段可靠度保持在100%不變,進入第2階段后可靠度開始逐步遞減,新產品的可靠性曲線呈現平緩遞減趨勢,基本上,在相同可靠度下,新產品的可靠壽命較大,符合實際背景。相似產品和新產品的預測可靠度函數曲線趨勢基本相同, 對于新型產品的可靠度預測誤差主要體現在第2階段,總體預測誤差較小,驗證了模型的有效性。

圖8 新舊產品預測與實際可靠度函數曲線

文獻[14]根據加速模型,在各溫度應力下設定相應參數值,利用蒙特卡羅方法仿真各數據集,相應參數值如表4所示,本文模型與文獻[14]模型下的可靠度函數曲線對比如圖9所示。

圖9 本文模型與文獻[14]模型下的可靠度函數曲線對比

表4 加速應力下分布參數設定值

文獻[14]提出了一種融合內場加速退化試驗與外場退化信息的可靠性評估方法,首先構建加速應力下的退化模型,然后將各加速應力折算得到正常應力水平,構成參數先驗分布數據樣本,利用貝葉斯融合內外場數據信息獲得分布參數的估計。而本模型完全建立于實際工況下數據(外場數據),節省了試驗成本和時間。從圖9可以看出,本文模型與加速試驗下得到可靠度函數曲線趨勢基本相同,本文模型下的可靠度更接近于實際可靠度。

5 結束語

本文基于2階段退化相似產品的退化測量數據,利用貝葉斯理論融合新舊產品信息建立了變系數分段退化可靠性評估模型分析新產品的退化路徑,完成對新產品截尾數據的可靠性評估。

a.采用變系數分段回歸模型和變點思想去分析2階段退化型產品的退化軌跡,使模型更加符合實際工程背景。

b.針對新產品第1階段截尾數據的可靠性評估問題,利用貝葉斯公式融合相似產品2階段退化數據信息,建立了變系數分段退化可靠性評估模型。

該模型建立在新舊產品退化路徑具有相似性且符合多階段線性退化趨勢的基礎之上,而某些產品的退化模式會出現多階段非線性且不易轉化為線性的情形。