相似三角形的幾種常見模型分析

謝子婧

【摘 要】? 相似三角形是初中幾何中重要的證明模型之一，它主要描述了兩個相似三角形的邊、角之間關(guān)系，其中對于不同的三角形的相似模型可以歸納為“A”字形、“8”字形、子母型和一線三等角型.本文對這幾種數(shù)學(xué)模型進(jìn)行歸納，并列舉了例題進(jìn)行講解，以期望幫助學(xué)生們對相似三角形的知識掌握得更加全面.

【關(guān)鍵詞】? 初中幾何；相似三角形；模型

1? “A”字形

“A”字形的相似模型有兩種：（1）如圖1（左）所示，平行于；（2）如圖1（右）所示，與不平行，但.

圖1

例1? 如圖2所示，在中，邊、上分別有、兩點(diǎn)，與線段、分別交于、兩點(diǎn)，已知，且，求證：

（1）平分；

（2）.

圖2

解? （1）因?yàn)樵诤椭?/p>

所以.

而在和中

因?yàn)椋?/p>

所以

所以

所以平分

（2）在和中

所以

所以

由（1）知

所以，

所以

2? “8”字形

“8”字形的相似模型也有兩種：（1）如圖3（左）所示，平行于；（2）如圖3（右）所示，與不平行，但.

圖3

例2? 如圖4所示，在正方形中，邊和的中點(diǎn)分別為點(diǎn)和，連接、、，線段與線段、分別相交于點(diǎn)、.

（1）求的值；

（2）求的值.

圖4

解? （1）因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)

所以

因?yàn)樗倪呅问钦叫?/p>

所以，且平行于

所以，

所以

所以

（2）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)

所以，

因?yàn)槠叫杏?/p>

所以

所以，

由（1）知，即

所以

所以

3? 子母型

子母型的相似模型有：（1）如圖5（左）所示，；（2）如圖5（右）所示，.

圖5

例3? 如圖6所示，在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，.

圖6

（1）求證：；

（2）的長為6，的長為3，求的長.

解? （1）因?yàn)椋?/p>

所以

（2）因?yàn)?/p>

所以

因?yàn)椋?/p>

所以，得

所以

4? 一線三等角型

一線三等角型有以下兩種模型：

（1）以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景的三等角型相似三角形，如圖7所示.

圖7

（2）以正方形為背景的三等角型相似三角形，如圖8所示.

圖8

例4? 如圖9所示，在中，為邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，已知，，求：

（1）若，且，求；

（2）若，不改變的值，以為旋轉(zhuǎn)中心，把按順時針或逆時針方向適當(dāng)轉(zhuǎn)動后，和始終保持相似，求.

圖9

解：? （1）因?yàn)椋?/p>

所以

因?yàn)椋?/p>

所以

又，

所以

則

（2）因?yàn)檗D(zhuǎn)動后，三角形和三角形始終保持相似

所以

又因?yàn)?/p>

所以

即時，和始終相似

5? 結(jié)語

相似三角形具有相同的形狀但是大小不同的特點(diǎn)，在初中數(shù)學(xué)中是一個重要的概念.通過模型的介紹，我們可以通過圖形比較的方式來展示相似三角形的特點(diǎn)，既可以幫助學(xué)生更直觀地理解相似三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，也可以幫助學(xué)生更好地掌握這一概念，為他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

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