二次根式的化簡方法分析及混合運算探究

劉志儀

【摘 要】? 二次根式的化簡計算中，有些是看上去復雜的加減乘除混合運算，有時能夠運用乘法公式、逆用冪的運算性質、加法和乘法的運算律等簡化計算，有時也可以運用一些技巧，如拆項、裂項、先求其倒數等使運算簡便.在進行二次根式的相關化簡和混合計算時，結合二次根式的性質和特點，合理利用條件、選擇合適的方法，往往可以使解題過程既快速又準確.

【關鍵詞】 二次根式；化簡；混合運算

1 二次根式的化簡

把二次根式化為最簡二次根式的過程叫做二次根式的化簡[1]。二次根式化簡的結果一定是被開方數不含分母，被開方數中的每一個因式或因數都開不盡。如果被開方數是分式或分數（包括小數），先利用商的算術平方根的性質把它寫成分式或分數的形式，然后利用分母有理化化簡。如果被開方數是整式或整數，先將它分解因式或分解因數，然后把開方開得盡的因式或因數開方，從而將式子化簡[2]。

1.1 巧用乘法公式

在二次根式的混合運算中，有符合或者化簡后符合完全平方公式和平方差公式的形式的式子，則可利用公式進行解題。有時可以利用配方法把被開方數寫成完全平方式，達到去根號的目的。運用公式：或，使計算快捷簡便。

例1? 化簡下面二次根式：

解：化簡過程如下

1.2 巧用逆運算

在部分化簡題目中，如果多項式的次數較大，且不能直接運算時，可考慮逆用一些乘法公式進行化簡。常見的公式逆用，，等。

例2? 化簡

解：化簡過程如下

1.3 巧拆項、裂項、添項

兩個含有二次根式的式子相除，如果有一個能夠較容易地因式分解，另一個適當地拆項后，能夠進行裂項，且裂項后能夠約分或較容易分母有理化，就可以使運算簡便。

例3? 化簡

解：化簡過程如下

1.4 巧取倒數

兩個含有二次根式的式子相除，如果直接化簡計算很麻煩，但它們的倒數卻比較容易求，就先求他們的“倒數”，這個“倒數”的倒數，就是所求的原式的值。

例4? 化簡

解：設，則

所以

1.5 換元法

當問題的結構比較復雜，難以直接發現規律時可以把其中某些部分看成一個整體，用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化，以便于發現解題規律。

例5? 化簡

解：設，，，則

2 二次根式的混合運算

二次根式的混合運算，是指二次根式的乘方、乘法、除法及加法和減法的混合運算，其運算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，同級運算按從左到右的順序依次進行，有括號先算括號里面的[3]。其中需要注意：（1）二次根式的混合運算的順序與實數的混合運算的順序是一致的；（2）計算時的注意事項：①結果要化為最簡二次根式；②分母為多項式時不能隨便拆項，可以利用分母有理化進行化簡；③如果含有字母，要注意字母的取值范圍是否能使式子成立，以及其中的隱藏條件；④若分子為多項式，則去分數線時要加括號。

2.1 二次根式的乘除運算

二次根式乘除混合運算的方法與整式乘除混合運算的方法相同，整式乘除法的一些法則、公式在二次根式乘除法中仍然適用，在運算時要明確運算符號和運算順序，若被開方數是帶分數，則要先將其化為假分數。

例6? 計算（1）；（2）。

解：（1）

（2）按順序先作除法，再作乘法

2.2 二次根式的加減運算

將各個二次根式化成最簡二次根式，找出化簡后被開方數相同的二次根式，將其合并。若有括號，則先去掉括號再運算。另外，有理數的加法交換律、結合律都適合于二次根式的運算例。

例7? 計算（1）；（2）。

解：（1）先算乘除，再算加減

（2）先去括號再運算

3 結語

二次根式的化簡看似復雜，但只要靈活運用其運算技巧，便可化繁為簡，省去大量計算步驟，快速準確得到最簡式。而二次根式的運算順序同實數的運算順序一樣，都是從高級到低級進行運算，有括號的先算括號，再配合一些方法技巧便可簡化運算。

參考文獻

[1]王偉宏.二次根式的混合運算分析[J].現代中學生（初中版），2022（18）：21-22.

[2]孫潔.把握化簡時機 巧算二次根式[J].初中生世界，2021（Z5）：89-90.

[3]姜鴻雁.二次根式運算背后的“門道”[J].中學生數理化（八年級數學）（配合人教社教材），2018（Z1）：18-19.