基于MCS-SBL 算法的配電網故障定位方法

周群，劉梓琳，冷敏瑞，印 月，何川

（四川大學電氣工程學院，成都 610044）

隨著智能電網的發展和用戶對可靠性要求的提高，快速準確的故障定位對于電力系統保護控制至關重要。雖然許多故障定位的方法已經應用于輸電網，但配電網具有更復雜的拓撲結構，支路節點眾多，而測量裝置數量卻遠小于節點數。因此，如何利用有限的測量信息實現配電網快速高效的故障定位是亟需解決的問題。

根據原理的不同，常用的故障定位方法可以分為阻抗法[1-3]、行波法[4-5]、電壓暫降法[6-8]和基于配電網自動化的方法[9-10]。阻抗法通過計算得到電壓與電流的比值，再根據線路參數確定故障點的距離，該方法原理簡單，但易存在偽故障點。行波法是根據行波理論實現故障定位，該方法精度高，廣泛適用于結構簡單、分支少、線路電阻較小的輸電線路，但因為行波法在配電網中間斷點的波反射疊加混雜，所以該方法在配電網中應用較少。電壓暫降法利用電壓暫降與實際的電壓暫降之間的差異來確定故障位置。文獻[8]通過測量節點的故障前和故障期間電壓來獲取電壓暫降，然后使用電壓暫降來檢測故障節點，但此方法需要在每次運行時更新阻抗矩陣，且要求負荷信息與測量信息同步，因此需要安裝具有高采樣率的測量裝置，在實際工程中實現困難。基于配電網自動化的方法是指利用故障指示器和配電開關監控終端FTU（feeder terminal unit）進行故障定位。文獻[9]提出了一種基于故障指示器的配電網故障區段自動快速定位方法，該方法可以有效識別同時存在的多個故障和分布式電源接入的配電網故障線路區段，但當不同類型故障的故障電流路徑重疊時，該方法不能識別出所有故障線路。文獻[10]提出了一種矩陣算法與優化算法相結合的配電網故障定位方法，構建的優化模型可以彌補矩陣算法抗干擾能力差的缺點，實現高容錯性能。此外，為了提高矩陣算法的容錯性能，一些學者還引入了許多智能優化算法，例如蟻群算法、遺傳算法、神經網絡、粒子群算法等[11-14]，這些智能優化算法大多具備良好的容錯性，但這類算法需要大量的信息且迭代次數較大，因此只適用于節點和支路數較少、結構簡單的配電網。

面對如何利用有限的測量信息來實現快速高效的故障定位這一難題，壓縮感知CS（compressed sensing）算法在這一領域中逐漸受到關注。CS算法的基本思想為通過對觀測矩陣的變換，從低維測量向量精確地恢復出高維稀疏向量。CS 算法首先在信號處理[15-17]中得到應用。近年來，CS 算法在許多其他領域也得到了廣泛應用，例如靜態信道估計[18]、動態信道估計[19]、噪聲抑制[20]和圖檢測[21]。

關于CS算法在配電網故障定位的應用，文獻[22]提出了一種基于CS算法和l1范數最小化的配電網實際故障節點估計方法，在文獻[8]的基礎上提高了故障定位算法性能，該方法在不同的故障類型、過渡電阻和噪聲影響下都能實現有效的故障定位。文獻[23]也提出了用于配電網故障定位的CS算法，且該方法還能處理沿分支發生的故障。文獻[24]提出了一種基于單測量向量SMV（single measurement vector）的CS 算法與稀疏貝葉斯算法SBL（sparse Bayesian learning）的配網故障定位方法（SCS-SBL），相較于傳統的最小二乘法及l1范數最小化，該方法的稀疏向量的非零元素更少，有效排除了偽故障點，保證了故障定位的準確度。

綜上所述，現有故障定位方法大部分還存在偽故障點的問題，且缺少對多重故障的研究及低信噪比環境對故障定位的影響分析。基于此，本文提出了基于多重測量向量MMV（multiple measurement vector）的CS 模型和SBL 算法的配電網故障定位方法，即MCS-SBL 算法。利用測量節點故障前及故障期間的多個時段測量正序電壓分量組成測量矩陣，建立基于MCS模型的節點電壓方程。然后使用SBL算法求解重構稀疏電流矩陣，實現精準故障定位。所提方法既可以適用于單一故障，還可以解決多重故障定位的問題。MCS-SBL 算法可以減少迭代次數，計算速度較快，同時還可以減少噪聲的干擾，使得重構稀疏電流矩陣的計算更加穩定，增強抗干擾能力。結果表明，本文方法利用少量測點信息減少了偽故障點的出現，在定位多重故障和抗噪性方面有較為顯著的效果。

1 故障分量的節點電壓方程

如果N節點配電網的某一段發生故障，電流從所有電源注入故障點，故障電流可視為向節點注入反向電流的電流源。根據對稱分量理論，每個非對稱系統都可以分解為零序、正序和負序網絡。由于故障電流總是包含正序分量，所以本文使用正序阻抗矩陣和正序電壓來估計故障位置。然而，由于故障后結構的不確定性，故障電流不能直接用于確定故障區段。為了使正序電壓向量和注入正序電流向量相關聯，將故障電流建模為兩個虛擬注入電流源。

假設線路參數均勻分布，沿l-m段發生故障，節點l與節點m之間的阻抗為Zlm，以故障點f為界，節點l到故障點f的距離與節點m到故障點f的距離的長度比為y:(1-y)，為節點l的正序故障電壓分量，為故障前節點l的電壓，為故障后節點l的正序電壓，為節點m的正序故障電壓分量，為故障點的正序故障電壓分量。正序故障電流如圖1所示，正序故障電流由故障點f注入配網。

圖1 正序故障電流Fig.1 Positive-sequence fault current

為了不改變導納矩陣，正序故障電流可以建模為節點l和m的兩個虛擬電流源，此時虛擬故障電流如圖2所示。

圖2 虛擬注入電流源Fig.2 Virtual injection current source

節點l和m的正序電流和電壓的關系表達式為

式中，Yli(Ymi)表示連接節點i到節點l(m)的正序導納。若節點i未連接到節點l(m)，則Yli(Ymi)等于0。

對于N節點配電系統，正序注入電流向量可表示為

式中：I+為虛擬節點正序注入電流向量，I+∈RN；Y為正序導納矩陣，Y∈RN×N；ΔU+為節點正序故障電壓分量，ΔU+∈RN。由此可以得到節點l和m的兩個虛擬電流分別為

式中，Ylm為節點l與節點m之間的正序導納。當N節點配電系統發生故障時，正序注入電流向量I+中的大部分元素都等于0，而故障區域的兩個節點則為非零元素。盡管存在互感效應，但與非零元素相比，接近0 的元素可以忽略不計，因此正序注入電流向量I+是稀疏的。故障電壓正序分量的大小由測量裝置提供，故式（3）可以改寫為

式中，Z為正序阻抗矩陣，Z∈RN×N。由于測量裝置的數量M遠小于N，正序電壓分量的測量是稀疏的，故式（6）可以改寫為

2 MCS-SBL 算法基本原理

2.1 MCS 模型

為了提高故障定位的抗噪性能，實現對多重故障的定位，本文利用MMV 模型重構稀疏源信號。與SMV模型相比，MMV模型可以減輕噪聲的影響，使收斂到全局最小值的可能性大幅度提升，即提高稀疏信號重構的成功率。在故障發生后的相繼時段Δt1,Δt2,…,ΔtL，采集一系列隨時間變化的正序故障電壓分量，再根據節點導納矩陣建立一系列基本的CS模型，上述模型被稱為MCS模型。

無噪聲模型可表示為

式中：l=1，2，…，L，L為測量向量的個數，通常假設L＜M[25]；為測量向量，∈RM；i(l)為重構稀疏解向量，i(l)∈RN。當L=1時，退化為基于SMV的CS模型，簡稱為SCS模型。

由于阻抗矩陣ZM對于每個L都是相同的，可以將式（8）改寫為

此外，還需對重構稀疏電流矩陣I作如下假設：重構稀疏電流向量i(l)稀疏且具有相同的稀疏結構，即其大部分元素為0且非零元素的位置指標與l獨立。

由于實際中存在噪聲干擾，通常會在式（9）所示模型的基礎上添加噪聲項。含加性噪聲的模型可以表示為

式中，N=[n(1),n(2),…,n(l),…,n(L)]，n(l)表示加性噪聲，n(l)∈Rm。

在考慮噪聲的情況下，必須考慮擬合質量之間的權衡，例如通過‖ZMI-‖ΔUM測量和解決方案的稀疏性。在考慮噪聲情況下，MCS-SBL算法還可以被視為一種魯棒性較強的稀疏收縮算子，通過使用響應的平均值來調節收縮機制，消除局部極小值，使得MCS-SBL算法可以始終收斂到實際解。

為了減少計算量，不考慮相位角影響，取正序分量、阻抗的模值進行計算，且不要求量測信息滿足嚴格的同步性，這樣不會改變故障定位的結果[25]。此外，設置仿真實驗的故障電壓數據的總時長為0.07 s，其中暫態時長約為0.01 s。由于不同的故障初相角僅影響故障的暫態過程，而暫態過程較整個故障發生的時長相對較短，所以其對故障定位重構稀疏電流的影響可以忽略。

首先，通過測量裝置及對稱分量法可以得到正序電壓分量矩陣，負荷采用恒阻抗模型；然后，再根據拓撲結構和線路負荷參數計算出阻抗矩陣；最后，只需求解該欠定方程組，精準求解出故障電流矩陣I即可實現故障定位。

因此，本文方法是利用MCS-SBL算法重構稀疏電流矩陣，以實現故障定位。進一步對比MCS-SBL算法與文獻[25]所提出的SCS-SBL算法在提高稀疏向量的重構性能上所發揮的作用，以及增加響應對噪音的影響等。

2.2 SBL 算法

由于貝葉斯算法求解稀疏信號能力較強，被引入到了CS領域。給定的多響應模型為

式中：Φ為觀測矩陣，Φ∈RM×N，M＜N，一般情況下，M?N；T為測量矩陣，T=[t1,t2,…,tj,…,tL]；W為相應的解矩陣，W=[w1,w2,…,wj,…,wL] ；ε為N×1 維服從N(0,σ2)的高斯白噪聲。為了便于分析，設xj為矩陣x的第j列，xi為矩陣x的第i行，xij為矩陣x第j列中第i個元素。

在本文中，測量矩陣T對應正序電壓分量矩陣ΔUM，觀測矩陣Φ對應節點阻抗矩陣ZM，解矩陣W對應重構的稀疏電流矩陣I。此時，通過T對解矩陣W進行恢復，因為M?N，所以式（11）為欠定方程，這使得恢復解矩陣W的難度大大增加。但由于CS 算法實現的前提是該信號自身稀疏，或在某種變換基下呈現出稀疏性，所以假定該信號的稀疏度為K，并且解矩陣W與測量矩陣T滿足一定關系，這樣測量矩陣T的恢復問題可轉化為解決松弛優化問題W0(λ)。W0(λ)可表示為

式中：λ為平衡參數，λ＞0；用于計算解矩陣W中不等于0 的行數，其中l()表示指示函數，‖ ‖表示任意向量范數，‖ ‖F表示Frobenius 范數。觀測矩陣Φ的列之間具有很強的相關性，MCS-SBL算法相較于傳統的基于l1范數最小化的CS 算法及SCS-SBL 算法而言，提高了恢復成功率，在局部與全局收斂方面都具有更好的性能且全局最小解唯一，抗干擾能力也更強。

MCS-SBL 算法首先采用基于先驗的貝葉斯模型，然后利用自動相關性確定ARD（automatic relevance determination）解決MCS 模型中測量矩陣T對應解矩陣W的恢復問題。

假設p(T|W)是具有未知噪聲的方差為σ2的高斯似然函數。因此，對于每對tj、wj都有

根據ARD需將L維高斯先驗分配給W的第i行wi，即

式中：γi為未知方差參數；N(0,γiI)表示高斯分布運算。通過將這些先驗組合在一起，得到了一個完整的權重先驗，即

式中，γ為超參數向量，γ=[γ1,γ2,…,γM]T，γ∈。結合似然和先驗，則矩陣W的第j列wj的后驗密度為

MCS-SBL 算法通過先驗將解矩陣W的行稀疏估計轉換為超參數適量估計，對參數估計采用一種簡單期望最大化EM（expectation-maximum，）算法。EM算法中，E-step（expection-step）采用下式計算后驗概率密度函數：

式中：? 為后驗平均值；E[W|T;γ]表示后驗概率分布的期望值；?j=1,2,…,L；Γ?diag(γ) ；

然后將未知解矩陣W視為多余參量并將其積分出來[26]，結果相對于γ最大化的邊緣似然，得出基于ARD的代價函數為

為使?(γ)相對于γ最小化，取關于γ的導數并令其為0，形成導致更快收斂的不動點方程。Mstep（maximization-step）通過更新規則來表示，即

式中：?i=1,2,…,M；Σii為矩陣Σ的第i行第i列元素。通過式（17）、式（18）和式（20）可以將許多超參數驅使為0，從而允許修剪相關的權重。

關于噪聲方差σ2的估計，需要用σ2和γ的聯合最大化替換M-step。通過解耦，γ更新保持不變，σ2可根據下式進行更新：

綜上所述，可以采用后驗平均值來對估計解矩陣Wgen進行點估計。當γi=0時，行稀疏性滿足，同時使得Prob(wi=0|T;γi=0)=1，從而確保矩陣W的第i行的后驗平均值為0，即μi=0。因此，估計解矩陣Wgen的稀疏性輪廓可以轉變為估計具有正確數量和位置的非零元素的超參數向量。而超參數向量可以通過迭代得到，所得超參數向量即為重構出稀疏電流矩陣I，矩陣I中非零元素對應故障節點，從而實現應用少量測點完成故障定位。

2.3 故障定位流程

本文所提故障定位流程如下。

步驟1根據拓撲結構和線路負荷參數計算出阻抗矩陣ZM。

步驟2采集各量測點故障前和故障發生后的多時段數據，利用對稱分量法計算正序電壓的故障分量，組成正序電壓分量矩陣ΔUM。

步驟3利用MCS-SBL 算法進行計算，得到重構稀疏電流矩陣I。

步驟4輸出的重構結果WMCS-SBL對應所重構的稀疏電流矩陣I，其中非零元素對應的節點即為所求的故障區域。

圖3 為基于MCS-SBL 的計算流程，其中γ*為式（20）收斂后固定點所對應的值，?*為將γ*代入式（18）所得的結果。

圖3 MCS-SBL 的計算流程Fig.3 Flow chart of calculation of MCS-SBL

3 仿真驗證與分析

本文以IEEE33 標準節點系統作為算例，利用仿真軟件PSCAD/EMTDC 搭建該模型，系統的線電壓設置為12.66 kV，采用中性點不接地運行方式，系統接線如圖4 所示。測量裝置分布在配電網參考電源出口處節點及配電網末端各節點[27]，并且測量裝置數量還需要滿足CS算法要求的最小測量節點數[28]。本文滿足條件的節點編號分別為1、8、17、21、24、32，其中節點8 處安裝的測量裝置是為了滿足CS算法最小測量節點數而任意放置的。

圖4 IEEE33 節點配電系統接線Fig.4 Wiring of IEEE 33-node distribution system

利用電壓測量裝置記錄不同時段故障前及故障期間的三相電壓，然后計算其正序電壓分量，在Matlab中應用MCS-SBL算法求解重構稀疏電流I。

為了驗證MCS-SBL 算法在不同的故障類型和過渡電阻情況下的有效性，設置實驗中測量裝置數M取6，測量向量數L取3，故障定位結果如表1所示。

表1 不同故障類型下故障定位結果Tab.1 Fault location results under different types of fault

3.1 故障類型、過渡電阻的影響

根據表1 所示故障定位結果，對于不同的過渡電阻故障類型，本文方法所得的故障定位結果相差不大，這表明所提算法的性能不易受故障類型和過渡電阻的影響。但是，隨著過渡電阻增大，故障電流隨之減小，在阻抗矩陣不變的前提下，增加了重構稀疏電流矩陣I的難度。因此，隨著過渡電阻的增加，故障定位準確度也會有所下降。

定義故障定位準確度η為

式中，Ntotal和Nerror分別為故障定位實驗總組數和故障定位失敗的組數。由表1 可知，約90%的故障實驗能夠實現精確定位。進一步分析可知，故障實驗未能準確定位與故障點附近的線路參數有關，線路參數過小容易導致故障定位錯誤。故障定位準確能一定程度上減少人工巡線排查故障的時間，提高供電可靠性。

圖5為節點13和節點14之間發生BC兩相短路接地故障且過渡電阻為10 Ω時的重構稀疏電流矩陣結果?？梢钥闯?，故障發生區域的兩節點重構電流不為0，其余節點的重構電流為0，因此可以很清楚地判斷出故障發生在節點13和節點14之間。

圖5 節點13 和節點14 間發生BC 兩相短路接地故障Fig.5 BC two-phase short-circuit grounding fault occurring between Nodes 13 and 14

圖6為節點6和節點7之間發生BC兩相短路接地故障且過渡電阻為10 Ω時的重構稀疏電流矩陣結果?？梢钥闯?，節點5和節點6的重構電流不為0，這表明所提方法可以定位到故障的相鄰區域。這種特殊情況可以通過在故障區域加裝測量裝置實現準確定位。

圖6 節點6 和節點7 間發生AB 兩相短路接地故障Fig.6 AB two-phase short-circuit grounding fault occurring between Nodes 6 and 7

3.2 噪聲及測量向量數量的影響

將高斯白噪聲加入到測得的原始數據中，信噪比范圍設置為[-5 dB，+40 dB]，并將遞增步長設置為5 dB。對比噪聲對SCS-SBL 算法和MCS-SBL 算法的影響，結果如圖7 所示?？梢钥闯?，當信噪比大于等于20 dB 時，兩種算法的重構成功率均達到90%；當信噪比低于20 dB 時，SCS-SBL 算法的成功率顯著下降，MCS-SBL算法則是緩慢下降。結果表明，MCS-SBL算法比SCS-SBL算法具有更好的魯棒性，抗噪能力更強。

圖7 噪聲對SCS-SBL、MCS-SBL 的影響Fig.7 Influence of noise on algorithms SCS-SBL and MCS-SBL

研究噪聲對MCS-SBL算法的影響時，還需要考慮測量向量數量L對抗噪能力的影響。本文中M取6，由于L＜M，所以L的取值范圍為2～5，當L=1時，退化為SCS模型。

圖8為不同的測量向量數量L對MCS-SBL算法抗噪能力的影響?？梢钥闯?，當使用MCS-SBL算法時，增加L可以明顯減輕噪聲的影響，但當L＞3時，增加L數量對減輕噪聲的影響變小。當L=3、4、5時，對MCS-SBL的影響幾乎一致。所以當測量裝置數量M=6時，測量向量數量L取3最合適。

圖8 不同的L 值對MCS-SBL 的影響Fig.8 Influence of different values of L on MCS-SBL

3.3 測點數量及分布的影響

根據文獻[27]，故障區域的上下游至少各需要一個測量節點才能實現故障定位。同時應滿足CS算法最小測量節點數的要求，最小測量節點數滿足如下條件[29]：

式中：K為稀疏解向量的稀疏度；N為稀疏解向量維度；M為配網中的測量節點數。根據式（23）計算可得至少需要6 個測量節點才能實現準確定位。因此，本文研究了3種方案。方案1：節點1、17、21、24、32 為測量節點；方案2：節點1、8、17、21、24、32為測量節點；方案3：節點1、8、11、17、21、24、32 為測量節點。

在配電網中設置不同的故障類型和0～30 Ω的過渡電阻，計及噪聲影響，信噪比為10～30 dB。隨機測試100 組不同的實驗情況，3 種方案的故障定位結果如表2所示。

表2 不同測量裝置分布方案的故障定位結果Tab.2 Fault location results under different measuring device arrangement schemes

從表2 可以看出，由于方案1 的測量節點數小于CS 算法要求的最小測量節點數，其故障定位準確度最低；方案2滿足CS算法的最小測量節點數要求，其故障定位準確度較方案1 有大幅度提高；方案3測量節點數最多，故障定位準確度最高。

3.4 MCS-SBL 算法計算時間

為了比較MCS-SBL 算法和SCS-SBL 算法的計算時間，采用測量方案2，設置信噪比為20 dB，過渡電阻為10 Ω，測量向量數量L為3。計算機配置為2.38 GHz AMD Ryzen 5 4500U with Radeon Graphics、16 GB內存和Windows11 64位操作系統。兩種算法的計算時間如表3 所示。可以看出，MCS-SBL算法的計算時間為0.084 1 s，而SCS-SBL 算法計算時間為0.253 0 s，這是因為SCS-SBL 算法一次只能對1個測量向量進行分析并計算稀疏向量解，總共需要3次迭代，計算時間更長。而MCS-SBL算法可以同時處理多個測量向量的矩陣，計算速度大大提高。在大型配電網中，隨著支路節點數及測量裝置的增多，使得測量向量數量增加，MCS-SBL 算法在計算速度方面的優勢將得到顯著提升。

表3 兩種算法的計算時間Tab.3 Computation time of two algorithms

3.5 多故障定位的仿真結果

對于多故障定位，故障電流矩陣中的非零值包含了更多的故障定位信息，需要更詳細的測量數據。因此，在多重故障定位中，需要再增加測量節點數量。多重故障設置為節點5和節點6之間發生BC 兩相短路故障，過渡電阻為10 Ω；節點23 和節點24 之間發生A 相接地故障，過渡電阻為10 Ω。將信噪比為20 dB 的高斯白噪聲加入到原始數據中。MCS-SBL算法中測量向量數量L設置為3。測量方案在方案3 的基礎上，增加節點19 和節點30兩個測量節點，即測量裝置分布在節點1、8、11、17、19、21、24、30、32。圖9 為SCS-SBL 算法、MCS-SBL算法及基于l1范數最小化的CS算法下雙重故障重構稀疏電流矩陣的效果對比。

圖9 多故障情況下的歸一化重構電流Fig.9 Normalized reconstructed current in the case of multiple faults

由于基于l1范數最小化的CS 算法重構的電流向量是一個含有較多非零元素的解向量，因此在故障定位中也會出現較多偽故障點，使得判斷故障區域的難度大大增加。而SCS-SBL 算法重構電流向量中非零元素的數量比基于l1范數最小化的CS算法要少，但是在雙重故障情況下，非零元素并沒有集中在故障區域，而是集中在其相鄰區域，還有在其他遠離故障區域的區間也可能有非零元素的出現。由圖9可知，MCS-SBL算法下的重構電流矩陣的非零元素集中在故障區域節點5和節點6、節點23和節點24之間，相比于其他兩種算法，MCS-SBL算法重構的電流矩陣更為稀疏且精準，即雙重故障定位效果最好。

此外，本文分別在有噪聲和無噪聲情形下隨機設置雙重故障，過渡電阻為0～30 Ω，并添加信噪比為10～30 dB的高斯白噪聲。根據式（22）計算故障定位準確度，雙重故障定位結果如圖10 所示?？梢钥闯觯p重故障定位準確度大部分都在85%～90%之間，一旦過渡電阻超過25 Ω 且噪聲的信噪比降低至20 dB以下，還有少量準確度低于80%的情況。

圖10 雙重故障定位結果Fig.10 Result of double-fault location

4 結論

本文提出了一種新的基于MMV 的CS 算法和SBL 重構算法的配電網故障定位方法。主要結論如下。

（1）通過對CS算法重構的電流矩陣進行處理，利用少量測點測量故障前后的正序電壓分量，即可實現準確故障定位，解決了偽故障點的問題，提高了供電可靠性。

（2）基于MCS-SBL 算法的故障定位準確度較高，在不同的故障類型和過渡電阻下，其故障定位精度不受影響。。

（3）MCS-SBL 算法具有較好的魯棒性，抗噪能力較強，可適用于低信噪比環境。與SCS-SBL算法相比，MCS-SBL算法的計算速度更快。

（4）本文所采用基于MCS-SBL算法的故障定位可以適用于多重故障，相比于SCS-SBL 算法、基于l1范數最小化的CS算法，本文算法的多重故障的定位精度更高。

隨著分布式電源逐年增加，配電網的拓撲結構變得更加復雜。分布式電源接入位置和容量的改變會對短路電流及電壓造成不同的影響，因此后續還會對本文方法應用于分布式電源接入的配電網進行分析驗證。