以教定題

張喜峰

筆者有幸承擔(dān)了本區(qū)中考復(fù)習(xí)資料的一課時(shí)編寫工作，現(xiàn)將其中一道練習(xí)題的改編過程及思考與各位同仁分享。

一、緣起

分類討論思想是浙江中考時(shí)?？疾榈乃枷?，但是運(yùn)用分類討論思想解題對(duì)學(xué)生的能力要求較高，除了在初一、初二年級(jí)的課堂教學(xué)中注意滲透、提煉外，還要在初三總復(fù)習(xí)階段有意識(shí)地增加運(yùn)用這一思想方法的專題課，從而強(qiáng)化學(xué)生綜合運(yùn)用此種數(shù)學(xué)思想解題的能力。于是，選擇這一專題，并為此改編了一道練習(xí)題。

二、改編過程

1.原題

為保證學(xué)生對(duì)于稍難題的思考時(shí)間，讓學(xué)生在“做”中學(xué)會(huì)思考，老師及時(shí)當(dāng)堂進(jìn)行反饋和訂正，真正落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)提升能力，選取了2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的一道題作為原型進(jìn)行改編。

在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=7，AC=8，則BC=（???）

A.B.10C.D.

此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線：∠A的平分線后利用相似三角形性質(zhì)求解是解決問題的關(guān)鍵。

2.融題

原題沒有考查分類討論，如何融入運(yùn)用分類討論思想解題呢？將題目的背景進(jìn)行改編，改為：在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，我們把這種三角形叫做倍角三角形，并將設(shè)問改為：若一個(gè)倍角三角形的兩邊長(zhǎng)為5，6，求它的第三邊長(zhǎng)？如此，由于題干中的三角形的角不確定性，故自然地將運(yùn)用分類討論思想解決問題融入題中。

3.磨題

考慮到專題課的時(shí)間有限，且要讓學(xué)生在課堂上有足夠的時(shí)間思考、求解，于是，將題目的題型改為填空題：在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，我們把這種三角形叫做倍角三角形，若一個(gè)倍角三角形的兩邊長(zhǎng)為5，6，則它的第三邊長(zhǎng)為.這么一來，學(xué)生解題需要書寫的少了，時(shí)間得到了縮短，但是就這個(gè)專題的例題：1道中考解答題），配備練習(xí)：1道填空題，1道解答題的量而言，還是不夠側(cè)重分類討論思考的運(yùn)用。首先，倍角三角形中的三邊數(shù)量關(guān)系就會(huì)難住學(xué)生，無法達(dá)到通過此課提高學(xué)生運(yùn)用分類討論思想解題能力的目的。

該怎么再改呢？不妨降低起點(diǎn)，繼續(xù)改編背景：在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，我們把這種三角形叫做倍角三角形，如，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記作a，b，c，我們探究△ABC的三邊關(guān)系發(fā)現(xiàn)：，若一個(gè)倍角三角形的兩邊長(zhǎng)為5，6，則它的第三邊長(zhǎng)為.

的確，經(jīng)過這樣改編，學(xué)生在課堂與老師共同研學(xué)例題后，可利用此題獨(dú)立自主運(yùn)用分類討論思想解決問題。解答過程見下：

解：①當(dāng)a=5，b=6時(shí)，

由已知得：，解得c=-（不合題意舍去）；

②當(dāng)a=6，b=5時(shí)，，解得c=；

③當(dāng)a=5，c=6時(shí)，，解得b=-3（負(fù)值舍去）；

④當(dāng)a=6，c=5時(shí)，，解得b=4（負(fù)值舍去）；

⑤當(dāng)b=5，c=6時(shí)，，解得a=（負(fù)值舍去）；

⑥當(dāng)b=6，c=5時(shí)，，解得a=（負(fù)值舍去）．

綜上可知：第三邊的長(zhǎng)為或-3或4或或．

可這樣改編總覺得還不夠，解答過于單薄，缺點(diǎn)什么。于是，第三次改編，這次改編設(shè)問的線段長(zhǎng)：在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，我們把這種三角形叫做倍角三角形，如，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記作a，b，c，我們探究△ABC的三邊關(guān)系發(fā)現(xiàn)：，若一個(gè)倍角三角形的兩邊長(zhǎng)為2，4，則它的第三邊長(zhǎng)為.

解：①當(dāng)a＝2，b＝4時(shí)，

由已知得：，解得c＝（不合題意舍去）；

②當(dāng)a＝4，b＝2時(shí)，，解得c＝6（不合題意舍去）；

③當(dāng)a＝2，c＝4時(shí)，，解得b＝（不合題意舍去）；

④當(dāng)a＝4，c＝2時(shí)，，解得b＝（負(fù)值舍去）；

⑤當(dāng)b＝2，c＝4時(shí)，，解得a＝（負(fù)值舍去）；

⑥當(dāng)b＝4，c＝2時(shí)，，解得a＝（負(fù)值舍去）．

綜上可知：第三邊的長(zhǎng)為或或．

將設(shè)問改編后，除了分類討論舍去負(fù)值外，還需考慮三角形三邊應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系。這么一改，在專題課學(xué)生解決此題時(shí)就顯得趣味而不呆板了！

三、改編感悟

對(duì)數(shù)學(xué)教師而言，原創(chuàng)題難度，但改編題時(shí)可以努力嘗試的。有別與很多老師改編題是為了讓題目變得更難些，筆者根據(jù)這道題的定位：①為中考復(fù)習(xí)階段分類討論思想的專題課而服務(wù)；②要求學(xué)生獨(dú)立在課堂上完成的練習(xí)題，并且此專題課以一道中考真題的解答題作為例題，降低其難點(diǎn)，給出倍角三角形的三邊關(guān)系，選擇一組較為合適的數(shù)據(jù)作為設(shè)問的已知邊長(zhǎng)，以此契合課堂專題。

總之，課堂練習(xí)題的改編要基于課堂教學(xué)目標(biāo)，著眼學(xué)生的知識(shí)水平和能力儲(chǔ)備，注重題為教學(xué)服務(wù)。以教定題，這也許就是課堂練習(xí)題改編的方向。