雙中點、雙角平分線模型及其應用

蘇國東

[摘 要] 文章闡述雙中點模型、雙角平分線模型的基本型（和型、差型）和拓展型（有間隙型、有重疊型）的來源、構造、論證、推廣及應用，對學生推理能力的提升，數學思想方法的滲透，學生核心素養的發展有重要促進作用.

[關鍵詞]幾何圖形初步；雙中點；雙角平分線；模型；應用

人教版數學七年級上冊教材中的第四章“幾何圖形初步”是初中“圖形與幾何”領域的起始章節，本章中有關線和角的概念、性質、表示、畫法、計算等是重要的幾何基礎知識內容，是后續學習圖形與幾何以及其他數學知識的必備基礎.其中線段的中點、角的平分線是核心內容，雙中點模型、雙角平分線模型是重難點，對其專題學習，深化理解，能幫助學生提高畫圖識圖、邏輯推理能力，挖掘分類討論、整體思想等重要方法，發展幾何直觀、模型觀念等核心素養.

雙中點模型及其應用

當把兩個單中點模型放置在同一直線上，且有公共端點時，可形成兩線段和或差的位置關系，得到基本的雙中點模型.證明方法一般是設出參數，利用整體思想進行關系轉化.

1.雙中點和型

所以，基本的雙中點模型存在固定結論：兩中點之間的距離（新線段）等于原始線段非公共點的兩端點之間距離（不動線段）的一半.

對于選擇題和填空題，可以套用以下步驟快速解決：（1）識別模型——存在兩條有公共端點的原始線段，且各有一個中點；（2）確定要素——不動線段和新線段；（3）應用結論——新線段長等于不動線段長的一半.

題1 已知點A，B，C在同一直線上，AC=6，BC=3，M，N分別是AC，BC的中點，則MN的長為 .

所以，雙中點有間隙型存在固定結論：兩中點之間的距離（新線段）等于原始線段非間隙端點的兩端點之間距離（不動線段）與間隙距離之和的一半；雙中點有重疊型存在固定結論：兩中點之間的距離等于原始線段非重疊端點的兩端點之間距離與重疊距離之差的一半.

對于拓展型的雙中點問題的解決，關鍵是識別圖形屬于有間隙型還是有重疊型，找到新線段、不動線段和間隙線段（或重疊線段）.

題2 如圖7，E，F分別是AB，CD的中點，BC=a，EF=b，請用含a，b的式子表示AD.

（證明思路可類比雙中點模型，此略）

所以，雙角平分線有間隙型存在固定結論：兩角平分線之間的夾角（新角）等于原始角非間隙邊的兩邊之間夾角（不動角）與間隙角之和的一半；雙角平分線有重疊型存在固定結論：兩角平分線之間的夾角等于原始角非重疊邊的兩邊之間夾角與重疊角之差的一半.

對于拓展型的雙角平分線問題的解決，關鍵是識別圖形屬于間隙型還是重疊型，找到新角、不動角和間隙角（或重疊角）.

題4 如圖14，已知∠AOD= 150°，∠BOC=20°，射線OB在∠AOC內，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，則∠MON的度數是 .