探究性學習在初中數學教學中的應用研究

谷周波

[摘 要] 探究性學習是一種積極主動的思維活動，學生在探究過程中不僅能有效提高邏輯思維能力，還能不斷積累探究經驗，為形成終身可持續性發展的探究能力奠定基礎.文章以“三角形的中位線”的教學為例，具體從“情境導入，初露端倪”“幾何推理，步入正軌”“借助圖形，引發思辨”“逐層深入，訓練思維”四個方面談談如何科學合理地設計教學活動，幫助學生積累探究經驗.

[關鍵詞]探究；教學設計；中位線

基金項目：江蘇省教育科學“十四五”規劃2021年度初中專項課題“指向深度學習的初中數學單元整體教學實踐研究”（Ec/2021/39）.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（簡稱“新課標”）提出要將數學探究經驗的積累與建模活動作為課堂教學的主線，貫穿整個教學過程[1].這對教師的教學設計也提出了更高的要求.在實際教學中，探究活動經驗的積累常常受諸多因素的影響，教材所配備的探究資源未必與學情相匹配，這就要求教師靈活整合教材資源與學情合理設計教學，提高學生探究經驗積累的成效.

情境導入，初露端倪

初中階段的學生已經有了一定的生活閱歷，積累了一定的學習經驗.在課堂導入時，教師可緊貼學生的認知水平，緊扣教學內容所傳遞的數學思想方法與內涵等，通過通俗易懂的方式實施情境導入，為一節課順利進行做鋪墊.

三角形的中位線是在學生對三角形與四邊形有所了解后進行的教學，大部分教材都是以旋轉、剪拼或重疊等方式來驗證一些線段、角之間的關系.順著教材的思路進行教學，操作簡便，學生也容易理解，但在實際操作過程中，有學生提出以下幾個問題：①沿著三角形兩邊中點連線進行剪切是怎么想到的呢？②這種剪切方法與之前所學的知識有什么關系？

為解開學生的疑惑，教師在教學設計時，特地設計了如下充滿數學味的導入情境.

要求學生從認知儲備中提取已知的關于三角形的線段，學生很快就整理出三角形的三條邊、角平分線、高以及中線.在此基礎上，教師提出以下問題，并引導學生回答.

問題1 如圖1，在△ABC中，已知D為AB的中點，連接CD，可以獲得什么結論？

生1：△ACD和△BCD的面積相等.

問題2 如圖2，若E為AC的中點，連接ED又能獲得什么結論呢？

生2：ED為△ACD的中線，因此△AED與△DEC的面積相等.

師：非常好！若將圖2中的線段CD去掉，有什么發現？

生3：如圖3，△AED的面積與四邊形CEDB的面積之比為1∶3.

師：非常好！以上內容為本節課我們即將探索的主題“三角形的中位線”的基礎.現在請大家來看三角形中位線的概念.（多媒體直接展示，要求學生分組合作討論其可能存在的性質）

數學是一門系統性的學科，知識與知識之間有著一定的聯系，舊知為新知的基礎，新知又是舊知的延伸.因此，教師在導入新知時，應致力于將新知與學生原有的認知經驗和結構建立一定的聯系，通過一些鋪墊性問題的設置為新知學習搭建“腳手架”，讓學生順利實現新舊知識的銜接，優化認知結構.

本節課的情境導入，教師以問題串的形式，帶領學生從“三角形中線平分面積”這一知識點出發，揭露了三角形兩邊中點的連線可將原三角形分割成面積比為1∶3的兩個圖形.數學的思維自然而然地從三角形“中線”轉化到“中位線”，不僅順利完成了概念的導入，還為中位線性質的猜想奠定了基礎.這種低起點、小步子、高觀點的巧妙設計，符合學生的認知規律，讓學生的探究活動有據可循、層次分明、初露端倪.

幾何推理，步入正軌

定理是幾何體系的基礎與核心，也是學生認識與解決幾何問題的依據.基于幾何定理本身來說，所有定理都由嚴謹的推理論證而來，具有典型性與抽象性，且定理的求證過程也極具代表性，是積累探究經驗的主要渠道[2].

例如本節課，對三角形中位線定理的證明，可從以下思路出發：

師：非常好！思路清晰、條理清楚，生6構造一對全等三角形作為思維的“切入點”，順利推導出相應的結論.現在請大家分析一下，是否存在其他方法可以證明四邊形FCBD為平行四邊形呢？

師：這種跨越三角形全等的證明方法，優化了解題思路，讓證明過程變得更加簡便，值得推廣.

初中數學教學中的問題探究是指帶領學生基于數學的視角應用數學眼光思考與解決問題，形成解決問題的能力，積累探究經驗，增強應用意識的過程.因此，教師在課堂中應給予學生充足的思考與探索時間，讓學生有更多操作與實踐的機會，為積累探究經驗奠定基礎.

中位線定理的探究主要從如下幾點著手：①利用三角形全等來求證角度與線段分別相等，得到平行或倍分關系；②結合平行四邊形的性質，證明平行與倍分關系.這兩種方法作為幾何論證最常用的方法，屬于學生必備技能.因此，課堂探究活動需圍繞這兩種方法逐層深入地進行，以促進學生思考，幫助學生積累解決幾何問題的基本活動經驗.

借助圖形，引發思辨

幾何定理教學不僅要引導發現、理解并掌握定理，更要指導學生應用定理解決實際問題.當學生順利完成定理的推導后，為了鞏固學生對知識的掌握與應用，教師要通過相應的習題幫助學生厘清定理的應用過程，獲得解題技巧，發展邏輯思維能力.事實證明，借助圖形進行解題訓練常能有效地揭示知識間的內在聯系，讓學生感知數學的整體性、條理性與系統性特征，為建構良好的知識脈絡奠定基礎.

例1 （1）如圖7，在△ABC中，已知D，E分別為AB，AC的中點，連接DE，如果BC=4 cm，∠B=40°，求∠ADE的度數以及DE的長度.

（2）如圖8，在△ABC中，已知D，E，F分別為AB，AC，BC的中點，分別連接DE，EF，如果△ABC的面積是8 cm2，那么四邊形BDEF的面積是多少？

（3）如圖9，在△ABC中，已知點D，E，F分別為AB，AC，BC的中點，分別連接DE，EF，DF，如果△ABC的周長是6，那么△DEF的周長是多少？

（學生獨立思考并解題，教師巡視，展示學生的結論，此略）

當學生順利完成解題任務后，教師挑選幾個思路清晰、書寫過程規范的解法投影（略），并提出以下幾個問題：①在圖7中，四邊形CBDE是什么四邊形？②在圖8中，△AED與△ECF全等嗎？四邊形 FBDE是平行四邊形嗎？③在圖9中，四個小三角形全等嗎？

畫圖、讀圖與識圖是幾何學習的基礎，圖形傳遞出大量的信息是引發聯想的關鍵.解題中，新圖形的形成與應用，常能有效開闊學生的視野，優化學生的認知結構，促進學生創新意識的形成與發展.

教師針對以上三個圖形所補充的問題，讓學生對本節課的教學內容獲得了進一步認識.隨著對核心知識的提煉與梳理，學生自主將三角形中位線相關的知識羅列在一張網上，形成一個有序化、條理化的整體.烏申斯基認為：組織良好的知識體系是真正的智慧.在教師的引導下，學生將知識進行了縱橫溝通，編織出一張層次分明、條理清晰的知識網絡，積累了豐富的探究經驗.

逐層深入，訓練思維

知識的應用是外化的過程，概念的學習最終都要為解題服務，若想更深層次地訓練學生的思維，實現學生探究經驗的內化，教師要設計與知識相匹配的問題引導學生展開深入思考，讓學生在概念的實際應用中進行比較、分析與推理，實現新舊知識的整合與聯系.

例2 填空.

（1）如圖10，在△ABC中，已知D，E，F分別為AB，AC，BC的中點，M，N分別是線段DB，BF的中點，若NM=a，則AC= .

（2）如圖11，已知AF為△ABC的中線，DE為△ABC的中位線，線段DE與AF相交于點G，AF=5，GF= .

（學生解題，教師巡視，邀請幾個學生簡單地與大家分享解題方法）

生8：連接圖10中的DF，則NM為△DBF的中位線，FD=2NM=2a.同理可知AC=2FD=4a.

師：通過解決這道題發現，適當地添加輔助線能為解題創造出有利條件，誰來分享下第（2）題的解法呢？

概念、定理、法則等的應用是將知識轉化為能力的主要途徑，經典例題能深化學生對知識的理解程度，形成解題技巧，在思維訓練中完善思維品質[3].因此，教師在例題設計或選擇時，應基于學生探究經驗積累擇優而行，讓學生通過解題了解知識本質，感受數學學科的魅力，感知解題帶來的成就感，讓學生從真正意義上喜歡數學探究活動.

總之，探究性學習在數學教學中具有重要意義.在日常教學中，我們應將探究活動與最基礎的概念、定理、法則等的學習自然地融合在一起，幫助學生積累探究經驗，讓學生感知數學學習的樂趣所在，為形成良好的學習能力奠定基礎.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 沈木勇.“雙減”背景下提升初中數學課堂教學效益的策略[J].中學數學，2022（02）：91-93.

[3] 俞宏毓，朱向陽，顧冷沅.探究教學的設計與改進——以“面積與周長的關系”教學為例[J].數學教育學報，2018，27（01）：68-71.