從三角形面積公式到正余弦定理和三角恒等式

江西省南昌十中經開校區 (330013) 黃婧文

本文將通過三角形的面積公式導出正余弦定理和三角恒等式,過程中并不需要其他新知識作為鋪墊,不但能夠將初中平面三角形和高中三角知識有效的銜接,也能使得后置的正余弦定理和三角恒等式更早更自然的進入學生視野,以便后期學生學習相關內容時能夠有更深入的認識.

1.正弦定理

2.余弦定理

若給定ΔABC,∠A、∠B、∠C對邊邊長分別為a、b、c,則c2=a2+b2-2abcosC.

圖1

3.三角恒等式

設α、β是兩個角,則sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

下面僅證此公式,因為根據此公式和誘導公式可以推導出其他和角公式、差角公式.

圖2

圖3

在誘導公式、正余弦和角、差角公式的基礎上,其他諸如積化和差、和差化積、半角公式、萬能公式等三角恒等式均可通過簡單的代數運算和換角得到,亦可如上考慮其直觀的面積證法.通過直觀的三角形面積法來證明正余弦定理和三角恒等式,學生不僅能夠更快的接觸并熟悉和記憶這些公式,而且能夠融匯貫通初高中的三角相關知識.