例談“方差”模型在求解數(shù)學(xué)競賽題中的妙用

江蘇省靖江高級中學(xué) (214500) 倪 偉

數(shù)據(jù)方差公式是統(tǒng)計中的重要公式,除了用于判斷數(shù)據(jù)的波動程度的大小外,在解決數(shù)學(xué)問題時具有極其廣泛的運用價值.對于數(shù)學(xué)中的其它一些問題,若能根據(jù)特點,巧妙應(yīng)用或構(gòu)造“方差”模型來求解,則思路清晰、明快簡捷,常常會有出其不意的解題之效.本文從競賽視角談?wù)劇胺讲睢蹦Ｐ驮跀?shù)學(xué)解題中的妙用.

例1 (2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江預(yù)賽第7題改編)已知a,b,c∈R,且a+b+c=a2+b2+c2=3,則(a-1)2023+(b-1)2023+(c-1)2023=.

例6 (2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試B卷第9題)已知實數(shù)x,y,z滿足x≥y≥z,x+y+z=1,x2+y2+z2=3,求實數(shù)x的取值范圍.

從上述例子可以看出,對于問題中含有“一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及它們的平方和”的一類競賽題,通過構(gòu)造“方差模型”求解,思路清晰、方便快捷,有著出人意料的解題效果,因此重視對“方差模型”解題應(yīng)用的發(fā)掘和研究實屬必要.這對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和探索精神,啟迪學(xué)生思維和開拓學(xué)生視野也頗有裨益.