一道2023年模考題的多視角探究

廣東省云浮市黃崗實驗中學 (527400) 陳漢邦

一、問題呈現與解法探究

本題是二元約束條件下的二元函數最值問題,試題簡潔、對稱、優美,有一定的難度,本文給出多種視角下的解法.

視角1 拆項+均值不等式

視角2 升冪+比值換元+均值不等式

視角3 函數視角

視角4 用求根公式減元

視角5 雙換元+均值不等式

二、變式拓展

三、試題背景

本題背景是拉格朗日乘數法求極值問題,拉格朗日乘數法時高等數學中求多元函數條件極值的重要方法,方法程序性強,容易掌握,其優點,一是把目標函數和等式約束統一到一個拉格朗日函數中;二是把條件最值問題轉化為無條件最值問題.對文首模考試題,應用拉格朗日乘數法解答如下.

四、追本溯源

本題是一道對思維有較高要求的好題,試題與教材有著緊密的聯系,體現了高考命題源于教材、高于教材的理念.本題來源于人教2019版(數學)選修1第58頁綜合運用第5題:若a>0,b>0,且ab=a+b+3,求ab的取值范圍.這題課本習題就是采用化二元為一元的策略去處理,與本題相通.因此,教師在教學中應重視對課本習題的深度挖掘,挖掘其中蘊含的數學背景、剖析背后的數學本質,感悟試題設計所蘊含的數學思想等.