經歷探究過程，發展推理能力

劉心怡

［摘 要］文章以蘇教版教材“圓柱的體積”一課為例，根據教學內容和學情分析，設計了四個環節：借助生活情境，引起矛盾沖突；借助探究活動，推理圓柱體積；借助轉化過程，滲透推理能力；借助數學知識，解決實際問題，讓學生經歷探究過程，從而發展推理能力。

［關鍵詞］圓柱的體積；探究；推理能力

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）08-0065-03

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）將推理意識定為數學核心素養之一。推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟。其中，“圖形的認識與測量”是圖形與幾何領域中的一個重要內容。《課程標準》中指出，“圖形的測量”重點是確定圖形的大小，學生在經歷統一度量單位的過程中，感受統一度量單位的意義，理解圖形長度、面積和體積等；在推導一些常見圖形周長、面積和體積計算方法的過程中，逐步形成度量和推理意識。以蘇教版教材中的“圓柱的體積”為例，筆者從圖形的測量角度出發，研讀教材、分析學情，精選適合學生學習的素材，確定符合學生認知特點的學習路徑，以發展學生的空間觀念。

一、思考與分析

（一）教材內容分析

在學習“圓柱的體積”之前，學生已經學習了圓、圓的周長和面積，以及長方體和正方體的特征、表面積和體積。教材中圓柱的體積計算教學可以分為兩個層次：第一層次，引導學生比較等底等高的長方體、正方體、圓柱的體積，讓學生初步建立圓柱體積公式的猜想；第二層次，引導學生遷移圓面積公式的探索方法，通過操作來驗證猜想。

教材在“練一練”環節編排了兩道練習題：第一題是看圖計算圓柱體積，旨在幫助學生鞏固圓柱體積的計算方法；第二題是利用圓柱體積的計算方法來解決實際問題，有利于學生進一步鞏固應用公式解決問題的方法，拓展數學應用的廣度。

（二）學生情況分析

學生對圓柱有豐富的生活經驗和直觀感受，他們也學習了長方體和正方體表面積和體積、圓柱表面積等知識，在探究圓柱體積時便有了基礎。為了了解學生是否知道圓柱的體積公式，會用哪些方法推導圓柱的體積公式，筆者對45名六年級學生進行了前測。

通過對前測結果的分析，筆者得到結論：（1）82.2%的學生已經知道圓柱的體積公式，能解決簡單的圓柱體積問題；（2）42.2%的學生知道可以將圓柱看成由無數個相同的圓形垂直疊加而成的圖形；（3）28.8%的學生能正確寫出圓柱體積公式的推導過程，知道遷移長方體和正方體體積的計算方法，猜測圓柱的體積公式也是底面積乘高。

（三）確定教學目標

通過對教材內容和學情的分析，筆者有以下思考：首先，學生對圓柱體積有了一定的認識，但大部分學生還不清楚圓柱體積公式的產生過程。因此，教師應給予學生足夠的時間和空間，讓他們自己猜想并驗證圓柱的體積公式；其次，教師要用心選擇素材，可以為學生提供可活動的圓柱模型和小程序等資源，通過實際操作和可視化的方式，讓學生親自探究圓柱的演變過程，進一步加深對圓柱體積的認識；最后，教師應滲透轉化思想，讓學生認識到轉化思想不僅存在于圖形的測量中，而且存在于其他領域中。

基于上述分析和思考，“圓柱的體積”一課的教學目標可定為：（1）教學圓柱體積的含義；（2）探究圓柱體積公式；（3）滲透轉化思想。

二、教學實踐

（一）借助生活情境，引起矛盾沖突

為了幫助學生感受圓柱體積在生活中的應用價值，筆者創設了分飲料的情境，引導學生思考究竟哪杯飲料更多。這個素材不僅貼近學生的生活，還讓他們感受到學習數學知識的作用，為后續探究圓柱的體積公式做好準備。

師：媽媽在分飲料，聰聰要最多的那杯。于是媽媽準備了兩杯飲料（如圖1），讓聰聰自己選擇，這下聰聰犯難了，他該選哪杯呢？

生1：我覺得應該選矮的那杯，因為這個杯子雖然沒有左邊那個高，但是它杯口比左邊的要寬很多，所以應該選矮的那杯。

生2：我覺得這兩杯飲料是一樣多的，左邊的杯子雖然高但不寬，右邊的杯子雖然寬但不高。

生3：我覺得不能直接用眼睛看來判斷，要通過測量和計算才能區分。

師：你想知道哪些數據？

生3：我想知道這兩個杯子各有多高，它們的杯口各有多寬。

在強烈的對比面前，學生從一開始的直覺思維轉變成理性思維，他們感悟到可以通過測量圓柱形杯子的一些數據來判斷哪個杯子中的飲料更多。

（二）借助探究活動，推理圓柱體積

為了得到圓柱的體積公式，教師先組織學生憑借已有知識和生活經驗進行猜想，利用圓柱的動態形成過程猜想圓柱的體積可能是底面積乘高；再以實物操作和信息技術為輔助，組織學生驗證猜想，在轉化前后圖形的對應關系中得到圓柱的體積公式。

1.猜想圓柱的體積公式

對數學猜想的證明常常要運用嚴格的邏輯推理、數學方法和技巧。這不僅增加了數學理論的內涵和深度，還促進了數學科技的進步。許多數學猜想的證明過程涉及復雜的數學問題和技術，這些技術在解決實際問題中起到了重要的作用。

師：這節課我們一起來探究圓柱的體積。你知道圓柱的體積怎么算嗎？

生1：圓柱的底面積乘高。

生2：根據長方體是由底面向上移動形成的立體圖形，推測圓柱就是一個圓形向上移動形成的立體圖形。

師：有的同學猜想圓柱的體積是底面積乘高，接下來我們就要來驗證猜想。你們想怎樣驗證？

生3：我們在學圓的面積時，先把圓平均分成了若干個扇形，再拼成一個近似的長方形。我猜想也可以把圓柱平均分成若干份，再拼成一個長方體，根據長方體的體積公式推導出圓柱的體積公式。

2.驗證圓柱的體積公式

當學生利用已有的知識經驗有了初步猜想，教師組織學生先利用實物學具或電腦小程序把圓柱轉化成長方體，再比較圓柱與長方體，最后利用長方體的體積公式推導出圓柱的體積公式。

師：把圓柱轉化近似的長方體，這是一個非常好的辦法。接下來請看學習要求。（1）借助學具，把圓柱轉化成長方體，請你操作3次，記錄下每次平均分的份數和轉化成的圖形，以及你的發現；（2）根據轉化前后圖形的對應關系，用簡潔的語言說一說推導圓柱體積公式的過程。當用實物不能解決問題的時候，你也可以利用小程序。

生1：我是先把圓柱平均分成14份、20份和30份，再把它拼成一個近似長方體的圖形。我發現分的份數越多，就越近似一個長方體。我們已經知道了“長方體體積=長×寬×高”，長方體的長就是圓柱底面周長的一半，長方體的寬就是就是圓柱底面的半徑，長方體的高就是圓柱的高，所以“圓柱體積=底面周長的一半×半徑×高”，用字母表示是“[V=πr2h]”。

生2：我們組也是把圓柱拼成了近似的長方體，因為“長方體體積=底面積×高”，所以“圓柱體積=底面積×高”，用字母表示是“[V=Sh]”。

師：怎么這兩個公式不一樣？

生3：我覺得這兩個公式是一樣的，圓柱的底面積就是圓形面積，用字母表示是“[S=πr2]”，所以“[V=Sh=πr2h]”。

在這個環節中，教師帶領學生圍繞圓柱的體積公式開展猜想和驗證活動。學生先結合長方體體積猜想圓柱的體積公式可能是底面積乘高，然后借助實物和信息技術直觀地看到圓柱與長方體之間的對應關系，從而探索得到圓柱的體積公式。

（三）借助轉化過程，滲透推理能力

當學生探究圓柱體積公式后，教師可以引導學生感悟圓柱體積推導過程中的轉化思想，并延伸到數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐等領域中的轉化思想。

師：剛才由圓的面積、平面圖形的知識聯想到了轉化，也通過轉化推導得出圓柱的體積公式。想一想，你在哪里遇到過這樣的轉化和推導方法？

生1：我們學習平行四邊形面積的時候，把平行四邊形分成兩個三角形再拼起來，這樣就把平行四邊形就轉化成了長方形。

生2：我們在求三角形面積的時候，把兩個完全一樣的三角形合在一起拼成一個平行四邊形，再利用平行四邊形的面積公式推出三角形的面積公式。

生3：我們在學乘法的時候，把很多個一樣的數相加轉化成用乘法來表示。

師：轉化思想在數學中應用廣泛。除了同學們說的，還有根據商不變性質推出分數的基本性質……

在這個環節中，教師讓學生進一步感悟轉化思想在數學中的應用價值，體會轉化思想在解決數學問題時具有指導作用。這既是對數學知識和方法的本質的理性認識，也是解決數學問題的靈魂和策略，能夠進一步完善學生的認知結構，提高學生的數學能力。

（四）借助數學知識，解決實際問題

當學生面對生活中的實際問題時，數學知識發揮著巨大的作用。借助數學知識解決數學問題，可以提高解題效率、增強邏輯思維能力、拓寬視野，還可以優化資源配置，培養學生的創新思維。

師（出示圖2）：現在我們要用圓柱的體積公式來算一算哪杯飲料更多。請算一算高杯和矮杯中飲料的體積。

生1：高杯中的飲料高9 cm，杯子的底面半徑是2 cm，V=πr2h=3.14×22×9=113.04（cm3）。矮杯中的飲料高4 cm，杯子的底面積是28.26 cm2，V=Sh=28.26×4=113.04（cm3）。

師：這兩杯飲料是一樣多的，咱們用數學知識解決了飲料多少的問題，接下來看看另一個問題。有一個直徑是8 m的半圓柱形隧道，如果這條隧道長1000 m，它里面的空間有多大？

生2：半徑[r=]8÷2=4（m），V=3.14×42×1000÷2=25120（m3）。

師：再來看另一個問題。一根圓柱形木料的底面周長是62.8 cm，高是50 cm，這根木料的體積是多少？

生3：因為圓柱形木料的底面周長是62.8 cm，所以半徑[r= ]C÷2π=62.8÷2÷3.14=10（cm），V=πr2h=3.14×102×50=15700（cm3）。

在這個環節中，教師精心選擇了三道有關圓柱的體積的練習題：第一題是讓學生判斷哪杯飲料多；第二題是呈現了半圓形的圓柱，引導學生將圓柱的體積公式進行變式；第三題是已知圓柱的底面周長和高，這樣，學生要先根據圓柱的底面周長算出圓柱的底面半徑，才能根據圓柱的體積公式算出體積。

綜上所述，本節課的教學主要幫助學生理解和掌握圓柱的體積公式，并能解決實際問題。圓柱體積的教學內容雖然比較簡單，但是學生探究和轉化圓柱體積的過程并不簡單。因此，教師要讓學生自己動手操作、小組討論、匯報交流，使得學生能自己發現并解釋圓柱的轉化過程，以及圓柱體積公式的由來。這樣不僅促進學生更好地掌握圓柱體積公式，還能發展學生的轉化思想、推理能力、空間想象力，實現從獲得知識到提高素養的進階。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 王斐.淺析小學數學推理能力的培養措施[J].數學教學通訊，2023（22）：66-68.

[2] 王志南.小學數學教學中如何發展學生的數學演繹推理能力[J].新課程研究，2023（23）：10-12.

[3] 陳峰.小學數學教學中推理能力的培養[J].教育藝術，2023（9）：19.

[4] 于秋華.基于推理能力培養的小學數學課堂教學策略探究[J].考試周刊，2023（46）：87-90.

（責編 黃 露）