基于“一致性”：“2、3、5倍數(shù)的特征”的教學(xué)思考與建議

胥傳翠

［摘 要］基于“一致性”的理論發(fā)現(xiàn)“2、3、5倍數(shù)的特征”的教學(xué)中存在不能做到“通性”且“通法”的問(wèn)題。對(duì)此，教師應(yīng)從知識(shí)的結(jié)構(gòu)化、教學(xué)目標(biāo)、判斷方法、“教—學(xué)—評(píng)”一致性等維度設(shè)計(jì)和組織“2、3、5倍數(shù)的特征”的教學(xué)，以幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系。

［關(guān)鍵詞］一致性；2、3、5倍數(shù)的特征；教學(xué)

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）08-0062-03

史寧中教授在解讀《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》）時(shí)強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的一致性對(duì)于知識(shí)整體建構(gòu)和核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要性。作為一線(xiàn)教師，需要深入挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，從結(jié)構(gòu)化和一致性的視角出發(fā)，在選擇、組織和呈現(xiàn)課程內(nèi)容時(shí)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的思維方式，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)學(xué)科基本結(jié)構(gòu)的掌握和應(yīng)用。針對(duì)“2、3、5倍數(shù)的特征”的教學(xué)，教什么、怎么教、教到什么程度，如何實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)？以下是筆者的一些分析與思考。

一、“2、3、5倍數(shù)的特征”的教學(xué)現(xiàn)狀及分析

（一）教學(xué)現(xiàn)狀

“2、3、5倍數(shù)的特征”是蘇教版教材五年級(jí)下冊(cè)“因數(shù)和倍數(shù)”單元中的內(nèi)容，通常需要兩個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué)，有時(shí)也會(huì)從大單元的視角出發(fā)將其整合為一個(gè)課時(shí)。其中，“2、5倍數(shù)的特征”占一個(gè)課時(shí)，“3的倍數(shù)特征”占一個(gè)課時(shí)。大部分教師會(huì)從兩個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生深入探究“2、3、5倍數(shù)的特征是什么”“為什么2、3、5的倍數(shù)具有這樣的特征”。在解決“是什么”這個(gè)問(wèn)題時(shí)，教師一般會(huì)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“圈一圈”（在百數(shù)表里圈出2、3、5的倍數(shù)）、觀(guān)察猜想、舉例驗(yàn)證和歸納總結(jié)的方式進(jìn)行探究。在探究“為什么”這個(gè)問(wèn)題時(shí)，教師會(huì)通過(guò)幾何直觀(guān)的方式（如方塊圖或小棒圖）將抽象的概念轉(zhuǎn)化為具體的形式，以幫助學(xué)生更好地理解其中的原理。通過(guò)可視化工具，學(xué)生可以看到2、3、5倍數(shù)的組成，從而理解它們?yōu)槭裁淳哂羞@樣的特征。

（二）現(xiàn)狀分析

1. 重視對(duì)探究方法的引導(dǎo)

數(shù)學(xué)是一門(mén)研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間和變化等概念的學(xué)科，其核心在于研究和探索數(shù)學(xué)規(guī)律和原理。教師應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生正確的價(jià)值觀(guān)、學(xué)習(xí)品格和學(xué)習(xí)能力，在探究“是什么”環(huán)節(jié)中，通過(guò)觀(guān)察猜想、舉例驗(yàn)證和歸納總結(jié)，可以使學(xué)生全面經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程，積累探究經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)獨(dú)立研究一個(gè)數(shù)的倍數(shù)特征提供方法指導(dǎo)。

2. 重視理性思維的培養(yǎng)

理性思考是指建立在邏輯推理基礎(chǔ)上的思考方法，是掌握數(shù)學(xué)及解決生活難題所必需的基本品格。如果學(xué)生僅限于思考“是什么”的層面，沒(méi)有進(jìn)一步思考一個(gè)數(shù)的倍數(shù)特征背后的原因，那么數(shù)學(xué)學(xué)科無(wú)法實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生理性思維的育人價(jià)值。而在“為什么”環(huán)節(jié)，學(xué)生不僅能真正理解一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的本質(zhì)，而且潛移默化地培養(yǎng)了理性思維。

3. 忽視知識(shí)內(nèi)在的“一致性”

“一致性”指的是前后相關(guān)知識(shí)之間存在本質(zhì)相通的原理，也指知識(shí)背后思想與方法的一致性。在教學(xué)中，對(duì)于“2、3、5倍數(shù)的特征”，其“一致性”主要體現(xiàn)在研究方法上，都是經(jīng)歷“觀(guān)察猜想—舉例驗(yàn)證—?dú)w納總結(jié)”的探究過(guò)程，但沒(méi)有打通知識(shí)之間的壁壘，將本質(zhì)相同的知識(shí)點(diǎn)連起來(lái)，學(xué)生因此不能觸類(lèi)旁通。

二、基于“一致性”思考“2、3、5倍數(shù)的特征”教學(xué)

“一致性”在課程體系中強(qiáng)調(diào)各組成部分都要與共同的學(xué)習(xí)目標(biāo)保持一致，并在教學(xué)目標(biāo)的引導(dǎo)下交互，共同構(gòu)建一個(gè)整體。只有當(dāng)學(xué)習(xí)目標(biāo)與課程目標(biāo)一致，而課程目標(biāo)與學(xué)科核心素養(yǎng)相符時(shí)，才能促進(jìn)學(xué)生的終身發(fā)展，實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人的目標(biāo)。

思考一：教學(xué)目標(biāo)的一致性

教學(xué)目標(biāo)具有統(tǒng)領(lǐng)作用，直接決定了“教什么”“怎么教”和“教到什么程度”。如果我們將“2、3、5倍數(shù)的特征”的教學(xué)目標(biāo)定位為讓學(xué)生“知其然且知其所以然”，那么在從觀(guān)察發(fā)現(xiàn)“是什么”到直觀(guān)分析“為什么”的教學(xué)中，目標(biāo)已經(jīng)基本達(dá)成。然而，根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》素養(yǎng)立意的目標(biāo)要求，除了探究“是什么”和“為什么”，還應(yīng)進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)一個(gè)數(shù)的倍數(shù)特征，并研究或理解其他數(shù)（如4、7、9等）的特征，讓他們感受到知識(shí)的“通性”與“通法”。

思考二：方法本質(zhì)的一致性

個(gè)位是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)，個(gè)位是0或5的數(shù)是5的倍數(shù)，各位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的是3的倍數(shù)。判斷一個(gè)數(shù)是不是2、3或5的倍數(shù)，從表面上看，判斷方法是不一致的，但本質(zhì)是可以通過(guò)直觀(guān)圖打通的。

例如，用圖分析47和248是不是2、3或5的倍數(shù)。從圖1-1、圖1-2中可以看出，無(wú)論是47還是248，在判斷它們是不是2、3或5的倍數(shù)時(shí)，都是將一個(gè)多位數(shù)分成涂色和空白兩部分，判斷這個(gè)數(shù)是不是2、3、5的倍數(shù)只需看空格部分。

根據(jù)圖1-1可知，無(wú)論多少個(gè)十都是2或5的倍數(shù)，所以判斷一個(gè)數(shù)是不是2或5的倍數(shù)，關(guān)鍵看剩下的空格數(shù)，即個(gè)位上的數(shù)：個(gè)位上的數(shù)是2或5的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是2或5的倍數(shù)，反之則不是；判斷一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)，則將一個(gè)多位數(shù)里每個(gè)十、每個(gè)百里3的倍數(shù)涂色后，只需根據(jù)剩下的空格個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不僅明白了3的倍數(shù)特征與2、5倍數(shù)的特征不同的原因，更重要的是理解了“各位上的數(shù)字之和”實(shí)質(zhì)是幾個(gè)一的和。

通過(guò)上面分析，發(fā)現(xiàn)“異中有同”，即都是對(duì)一個(gè)多位數(shù)進(jìn)行整體分析后歸納出的規(guī)律，只不過(guò)整體分析所采用的方式是將一個(gè)數(shù)拆分成兩部分來(lái)判斷，其實(shí)這樣一致的方法，并不局限于判斷一個(gè)數(shù)是否是2、3、5的倍數(shù)，判斷4、7、11等其他數(shù)的倍數(shù)的方法亦是如此。

下面以4的倍數(shù)加以說(shuō)明。

4的倍數(shù)：判斷一個(gè)多位數(shù)abc是不是4的倍數(shù)，則把這個(gè)多位數(shù)abc分成100a和bc，即abc=100a+bc，100a是4的倍數(shù)，所以只要看bc，即后兩位，后兩位是4的倍數(shù)，這個(gè)多位數(shù)就是4的倍數(shù)。

判斷4的倍數(shù)的過(guò)程同樣是將一個(gè)多位數(shù)拆分成兩部分進(jìn)行分析，與前面2、3、5的倍數(shù)特征揭示的過(guò)程有相通之處。

思考三：“教—學(xué)—評(píng)”一致性

《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)了育人導(dǎo)向，將學(xué)科核心素養(yǎng)作為學(xué)科育人的目標(biāo)，落實(shí)了立德樹(shù)人的根本任務(wù)。它明確了“為什么教”，并強(qiáng)調(diào)了“教什么”“怎么教”和“教到什么程度”，提出了實(shí)現(xiàn)“教—學(xué)—評(píng)”一致性的要求。

美國(guó)教育心理學(xué)家科恩最早提出了“教學(xué)一致性”的概念，他用一致性來(lái)描述教學(xué)中設(shè)計(jì)條件、教學(xué)過(guò)程和教學(xué)結(jié)果之間的匹配程度，并且通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，教學(xué)目標(biāo)與評(píng)價(jià)一致性越高，學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)就越好。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》在“學(xué)業(yè)要求”和“教學(xué)提示”中強(qiáng)調(diào)了“教—學(xué)—評(píng)”一致性。在備課過(guò)程中，教師不僅需要設(shè)計(jì)課程目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容和復(fù)習(xí)方式，還需要制訂評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，即評(píng)估學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。評(píng)價(jià)是教學(xué)過(guò)程中非常重要的一環(huán)，它是檢驗(yàn)教學(xué)目標(biāo)達(dá)成程度的重要指標(biāo)。因此，評(píng)價(jià)內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo)的匹配度非常重要。

對(duì)于2、3、5倍數(shù)的特征，可以設(shè)計(jì)以下評(píng)價(jià)內(nèi)容：一是知識(shí)類(lèi)評(píng)價(jià)，判斷所給的數(shù)是否是2、3、5的倍數(shù)，以檢查學(xué)生是否掌握了這些倍數(shù)的特征；二是探究類(lèi)評(píng)價(jià)，讓學(xué)生獨(dú)立探究9的倍數(shù)的特征，以檢查他們是否能夠?qū)⒁粋€(gè)數(shù)拆分成兩部分（其中一部分是9的倍數(shù)）來(lái)研究問(wèn)題；三是證明類(lèi)評(píng)價(jià)，要求學(xué)生解釋“為什么一個(gè)多位數(shù)的后兩位是4的倍數(shù)，那么這個(gè)多位數(shù)就是4的倍數(shù)”，以檢查他們是否能夠建立起相關(guān)的知識(shí)體系并且觸類(lèi)旁通。

三、基于“一致性”對(duì)“2、3、5倍數(shù)的特征”教學(xué)建議

核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)立意要高，不能局限于教碎片化知識(shí)，而是要制訂指向核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)，全面把握教學(xué)內(nèi)容。在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)注重對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體分析，將知識(shí)點(diǎn)連點(diǎn)成線(xiàn)、連線(xiàn)成面，幫助學(xué)生建立起能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，并對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

圍繞獲得知識(shí)的同時(shí)習(xí)得探究方法、整體把握知識(shí)、建構(gòu)知識(shí)體系等教學(xué)目標(biāo)，對(duì)于“2、3、5倍數(shù)的特征”的教學(xué)，按教材編排的兩個(gè)課時(shí)的教學(xué)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力主要依靠不斷積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而這種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)又是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得的，不是教師可以簡(jiǎn)單傳授的。因此，教師的任務(wù)是給予學(xué)生充分的探究時(shí)間，讓學(xué)生在探究中體會(huì)知識(shí)的一致性。

筆者建議將“2、3、5倍數(shù)的特征”的教學(xué)內(nèi)容分為四個(gè)課時(shí)，具體安排見(jiàn)表1。

綜上，教師應(yīng)認(rèn)真研讀《課程標(biāo)準(zhǔn)》，掌握新理念，在素養(yǎng)立意導(dǎo)向下，審視教學(xué)內(nèi)容，著眼單元整體，合理設(shè)計(jì)單元或相關(guān)知識(shí)的教學(xué)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)探究過(guò)程中掌握并運(yùn)用學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人目標(biāo)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 李勤.一致性視角下數(shù)學(xué)主題統(tǒng)整式教學(xué)的內(nèi)涵、價(jià)值與路徑[J].江蘇教育，2022（89）：7-11.

[3] 崔允漷，夏雪梅.“教—學(xué)—評(píng)一致性”：意義與含義[J].中小學(xué)管理，2013（1）：4-6.

[4] 章勤瓊，邵蓓瑜.以“學(xué)教評(píng)一致性”落實(shí)數(shù)學(xué)課程核心素養(yǎng)：以“有余數(shù)除法”單元為例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2023（4）：63-69.

（責(zé)編 黃 露）