問學(xué)交融，觸及概念本質(zhì)

于偉玲

［摘 要］平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中常見的統(tǒng)計(jì)量。傳統(tǒng)平均數(shù)的教學(xué)偏重計(jì)算方法及其技能訓(xùn)練，忽視學(xué)生對平均數(shù)概念本質(zhì)的深層認(rèn)識。教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)讓學(xué)生在真實(shí)的情境中提出問題，促進(jìn)問與學(xué)的深度融合，逐步探索平均數(shù)的“代表性”“虛擬性”和“敏感性”，深刻理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，從而使深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

［關(guān)鍵詞］問學(xué)交融；移多補(bǔ)少；虛擬性；敏感性

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）08-0044-04

問題是學(xué)生深度學(xué)習(xí)的助推器，“問學(xué)課堂”的建構(gòu)就是以學(xué)生的疑問為發(fā)端，引導(dǎo)學(xué)生提出有效的數(shù)學(xué)問題；以學(xué)生的學(xué)為核心，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；問中學(xué)、學(xué)中問，讓學(xué)生在積極主動的“問學(xué)”過程中，對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行深刻的理解和建構(gòu)。“問學(xué)課堂”將教學(xué)方式從單一封閉的師生對話式教學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)閱l(fā)式、探究式等開放式教學(xué)，充分凸顯學(xué)生的主體地位，從而達(dá)到增長學(xué)生智慧、提升學(xué)生素養(yǎng)的目的。

本文以人教版教材四年級下冊“平均數(shù)”的教學(xué)為例，探討“問學(xué)課堂”中如何引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中提出問題，并以問題引領(lǐng)其逐步探索平均數(shù)的本質(zhì)，從而尋求促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的有效路徑。

一、課前慎思，深度對話教材

平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常見的刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量，傳統(tǒng)教學(xué)側(cè)重于讓學(xué)生從算法的層面理解平均數(shù)的意義，將平均數(shù)的學(xué)習(xí)弱化為一種簡單的技能訓(xùn)練。如何在問與學(xué)的深度融合中讓平均數(shù)從計(jì)算水平向統(tǒng)計(jì)水平轉(zhuǎn)變，真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識呢？為此，筆者在課前深耕教材、調(diào)研學(xué)情，翻閱大量的文獻(xiàn)資料，努力拓寬視野、延展思維，力求使課堂變得有溫度、有深度。

（一）研讀教材，深思存疑

研讀教材是深度教學(xué)的基礎(chǔ)。“平均數(shù)”是人教版教材四年級下冊的內(nèi)容，小學(xué)數(shù)學(xué)所說的平均數(shù)一般指算術(shù)平均數(shù)，它是學(xué)生在第一學(xué)段已經(jīng)理解平均分及除法運(yùn)算含義的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。教材設(shè)計(jì)了兩道例題，例1是利用象形統(tǒng)計(jì)圖呈現(xiàn)環(huán)保小隊(duì)4人收集的空水瓶數(shù)量，直接呈現(xiàn)問題“平均每人收集了多少個(gè)”。學(xué)生運(yùn)用“移多補(bǔ)少”和“求和均分”兩種方法求平均數(shù)，得出平均數(shù)的含義，同時(shí)在這個(gè)過程中體驗(yàn)平均數(shù)的“虛擬性”。例2是比較人數(shù)不同的兩組數(shù)據(jù)，通過問題“哪個(gè)隊(duì)的成績更好”，使學(xué)生感受到當(dāng)人數(shù)不同時(shí)，用總數(shù)比較兩隊(duì)的成績是不公平的，而用每個(gè)隊(duì)的平均成績來比較能反映兩隊(duì)的整體水平，凸顯平均數(shù)的應(yīng)用價(jià)值。

人教版教材的編排遵循了概念學(xué)習(xí)的基本路徑：概念（是什么）—方法（怎么求）—應(yīng)用（有什么用）。這樣的編排能讓學(xué)生掌握“移多補(bǔ)少”和“求和均分”兩種求平均數(shù)的計(jì)算方法。筆者觀摩過數(shù)節(jié)青年教師的平均數(shù)教學(xué)課例，發(fā)現(xiàn)教師往往更重視教授“求和均分”的方法，對“移多補(bǔ)少”這一方法則蜻蜓點(diǎn)水，導(dǎo)致學(xué)生只記住了求平均數(shù)的公式。其實(shí)通過研讀教材可知，“移多補(bǔ)少”的方法更能體現(xiàn)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。例1和例2兩個(gè)不同情境，將“算”和“用”分開，由于內(nèi)容情境不連貫，學(xué)生對平均數(shù)本質(zhì)的理解會有一定的割裂性。若教師簡單地按教材教學(xué)，就容易沖淡學(xué)生對平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的理解，造成學(xué)生思維的淺表化。

（二）版本對比，適當(dāng)改編

用怎樣的情境來進(jìn)行平均數(shù)的教學(xué)，才能達(dá)到預(yù)期的效果？為此，筆者翻閱了蘇教版、北師大版、青島版3個(gè)版本的教材來與人教版對比并進(jìn)行篩選。各版本教材的具體編排見表1。

表1 各版本教材關(guān)于“平均數(shù)”的具體編排

[教材版本 編排年級 編排內(nèi)容 例題數(shù)量 人教版 四年級下冊 例1呈現(xiàn)一組象形統(tǒng)計(jì)圖，通過收集空水瓶的數(shù)據(jù)讓學(xué)生認(rèn)識平均數(shù)的概念及計(jì)算方法。例2呈現(xiàn)兩組數(shù)據(jù)，通過比較人數(shù)不同的兩隊(duì)踢毽比賽成績，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識平均數(shù)的意義。 2道 蘇教版 四年級上冊 例3呈現(xiàn)兩組套圈比賽成績，通過比較人數(shù)不同的男生、女生套中的個(gè)數(shù)，引出求平均數(shù)的方法及概念，突出平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況。 1道

北師大版（分兩次編排）

四年級下冊 例題呈現(xiàn)了淘氣5次記住數(shù)字的情況統(tǒng)計(jì)表，引出學(xué)習(xí)平均數(shù)的必要性和求平均數(shù)的方法，突出平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)平均水平的代表。 1道 五年級下冊 例1討論兒童免票乘車中“免票線從1.2 m調(diào)整到1.3 m”這個(gè)數(shù)據(jù)是如何得到的。例2討論歌手大獎賽中記分方法的合理性，認(rèn)識平均數(shù)的“敏感性”。 2道 青島版 四年級下冊 例1呈現(xiàn)籃球比賽中兩名運(yùn)動員小組賽的得分情況統(tǒng)計(jì)表，引出求平均數(shù)的方法及概念。突出平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的整體水平。 1道 ]

從4個(gè)版本教材的編排來看，蘇教版和青島版教材都只編排了1道例題來教學(xué)平均數(shù)，問題情境都是以比賽為背景，呈現(xiàn)比賽人數(shù)或比賽場數(shù)不同的兩組數(shù)據(jù)。北師大版教材在第一次認(rèn)識平均數(shù)時(shí)，問題情境呈現(xiàn)了一組數(shù)據(jù)，是單一對象從事同一種活動的多次結(jié)果。人教版教材呈現(xiàn)2道例題：例1呈現(xiàn)了一組數(shù)據(jù)，是多個(gè)對象從事同一種活動的統(tǒng)計(jì)結(jié)果；例2呈現(xiàn)了兩組數(shù)據(jù)，其情境與蘇教版、青島版教材例題的編排相同。

從教學(xué)平均數(shù)的計(jì)算方法來看，4個(gè)版本教材都采用了“移多補(bǔ)少”和“求和均分”兩種計(jì)算方法。其中，除了人教版教材是讓學(xué)生在象形統(tǒng)計(jì)圖上“移多補(bǔ)少”，其他3個(gè)版本的教材都是采用條形統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行“移多補(bǔ)少”。4個(gè)版本教材中，“移多補(bǔ)少”都先于“求和均分”出現(xiàn)。一方面，用“移多補(bǔ)少”方法求平均數(shù)比較直觀，有利于加深學(xué)生對“平均數(shù)”概念的本質(zhì)理解；另一方面，“移多補(bǔ)少”法對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識有著獨(dú)特的價(jià)值。為此，后續(xù)的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)凸顯“移多補(bǔ)少”的重要性。

基于以上分析，筆者結(jié)合人教版教材的實(shí)際情況和“問學(xué)課堂”的學(xué)習(xí)要求，適當(dāng)改編教材內(nèi)容，舍棄例1，從例2開始教學(xué)“平均數(shù)”。

（三）課堂前測，明晰學(xué)情

深度解讀教材之后，教師需要了解學(xué)生的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)起點(diǎn)。學(xué)生對平均數(shù)到底了解多少？“移多補(bǔ)少”和“求和均分”這兩種方法，學(xué)生更容易接受哪一種？對于“平均數(shù)”這個(gè)課題，學(xué)生會提出怎樣的問題？基于這些思考，筆者設(shè)計(jì)了“平均數(shù)”前測卷（如圖1所示）。

前測卷設(shè)置了4道題目，前3題是針對學(xué)生的已有認(rèn)知基礎(chǔ)提問，第1題和第3題考查學(xué)生是否能準(zhǔn)確區(qū)分“平均數(shù)”和“平均分”，第2題考查學(xué)生對平均數(shù)概念的理解。從前3題可以看出，學(xué)習(xí)平均數(shù)的認(rèn)知基礎(chǔ)是平均分和除法，知道平均數(shù)對應(yīng)的結(jié)果是每份同樣多。實(shí)際上，學(xué)生容易把“平均數(shù)”和“平均分”混為一談，平均數(shù)的概念在學(xué)生的頭腦中是模糊的。前測結(jié)果顯示，將近一半的學(xué)生會計(jì)算平均數(shù)，那么在實(shí)際教學(xué)中，是否可以淡化平均數(shù)“求和均分”的計(jì)算方法，通過“移多補(bǔ)少”的方法來探究平均數(shù)的三重意義，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識呢？第4題是詢問學(xué)生想了解哪些有關(guān)平均數(shù)的知識，學(xué)生的回答可以歸納為以下6個(gè)問題：

①平均數(shù)的意義是什么？

②平均數(shù)有什么作用，在生活中哪里可以用到？

③平均數(shù)是怎樣形成的？

④“平均數(shù)”和“平均分”的相同點(diǎn)和區(qū)別是什么？

⑤從統(tǒng)計(jì)圖中能不能看出平均數(shù)？

⑥平均數(shù)的公式是什么？

教師根據(jù)以上6個(gè)問題對學(xué)生在課堂上可能提出的問題進(jìn)行預(yù)設(shè)，為開展“問學(xué)課堂”教學(xué)做好準(zhǔn)備，讓教學(xué)設(shè)計(jì)做到有的放矢。

二、留足時(shí)間，喚醒學(xué)習(xí)需求

通過教材研讀、版本對比及學(xué)情調(diào)研，筆者確定了整體的教學(xué)思路。新課導(dǎo)入環(huán)節(jié)從例2的男生、女生踢毽比賽開始，從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)入手引發(fā)認(rèn)知沖突，揭示課題后讓學(xué)生針對課題提出問題，以問題引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，逐步探尋平均數(shù)的本質(zhì)意義。

筆者適當(dāng)改編教材內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)了從比較人數(shù)相等的男生隊(duì)、女生隊(duì)踢毽比賽成績（如圖2-1所示）到比較人數(shù)不等的男生隊(duì)、女生隊(duì)踢毽比賽成績（如圖2-2所示）。“人數(shù)不同怎么比較”是學(xué)生理解上的難點(diǎn)，學(xué)生需要跳出思維定式，不僅要關(guān)注踢毽總數(shù)，還要關(guān)注參賽人數(shù)。對這一難點(diǎn)的有效突破必須建立在學(xué)生的自主理解之上，即通過現(xiàn)實(shí)情境在不同觀念的碰撞中認(rèn)識到比較總數(shù)的不足，讓學(xué)生在思辨中體會到使用平均數(shù)的必要性。

面對平均數(shù)這一全新內(nèi)容，教師要給學(xué)生留出充足的時(shí)間，先讓學(xué)生把迫切需要知道的知識提出來，再把學(xué)生提出的零散問題加以篩選、歸納，提煉為關(guān)鍵問題，如“什么是平均數(shù)？”“平均數(shù)有什么作用？”“生活中哪些地方能用到平均數(shù)？”“平均數(shù)是怎樣求出來的？”等。這幾個(gè)關(guān)鍵問題正是后續(xù)學(xué)習(xí)新知需要探究的問題，起到了提綱挈領(lǐng)的作用，同時(shí)也體現(xiàn)了以學(xué)生為本的課堂理念。

三、以問促學(xué)，把握概念本質(zhì)

教師將學(xué)生提出的問題轉(zhuǎn)換為教學(xué)問題，可以借助一些學(xué)習(xí)材料和教學(xué)手段，引領(lǐng)學(xué)生逐一解決問題。在問題的驅(qū)動下，學(xué)生主動參與解決問題的過程，通過師生互動、生生互動獲得解決問題的新思路、新視角。問題串的持續(xù)推進(jìn)形成環(huán)環(huán)相扣的任務(wù)群，學(xué)生在持續(xù)的探究中形成對概念的深刻理解。當(dāng)然，學(xué)生在探究過程中會產(chǎn)生新問題、新思考，這時(shí)教師可以讓學(xué)生再次提問。這樣學(xué)生因“問”而“學(xué)”，因“學(xué)”生“問”，在“問”“學(xué)”相生中，學(xué)生積蓄了自主提問的動力，形成了深度學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。

根據(jù)前測結(jié)果，多數(shù)學(xué)生能根據(jù)“平均分”推測出“求和均分”的計(jì)算方法，但是較少有人知道“移多補(bǔ)少”的計(jì)算方法。教師可以利用條形統(tǒng)計(jì)圖，通過移一移、畫一畫，以及課件的動態(tài)演示找到平均數(shù)，為學(xué)生理解平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的整體水平提供支撐，讓學(xué)生經(jīng)歷“移多補(bǔ)少”的過程，強(qiáng)化學(xué)生對平均數(shù)產(chǎn)生過程的認(rèn)知，使學(xué)生體會平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)價(jià)值。教師應(yīng)將“移多補(bǔ)少”的教學(xué)放在重要位置，讓學(xué)生經(jīng)歷下面3個(gè)層次的教學(xué)，加深對平均數(shù)意義的本質(zhì)理解。

（一）初識平均數(shù)，著力“移多補(bǔ)少”

“什么是平均數(shù)？”這是學(xué)生最迫切想要解決的問題。教師可以先嘗試讓學(xué)生自主解決，充分調(diào)動學(xué)生已有的認(rèn)知。這時(shí)學(xué)生自然會想到“求和均分”的方法，教師適時(shí)將計(jì)算方法板書到黑板上，此時(shí)學(xué)生對平均數(shù)淺表的理解已完成，接下來進(jìn)入“移多補(bǔ)少”方法的教學(xué)。教師提問：“剛才通過計(jì)算，我們找到了人數(shù)不等時(shí)男生隊(duì)的平均數(shù)是8，女生隊(duì)的平均數(shù)是9。在條形統(tǒng)計(jì)圖中，你還能想到用別的方法來找到這兩個(gè)平均數(shù)嗎？”接下來讓學(xué)生完成學(xué)習(xí)單（如圖3所示）。

在集中展示交流環(huán)節(jié)，學(xué)生有理有據(jù)地闡述了自己的移動過程。為了讓學(xué)生有更深刻的認(rèn)識，教師再次提問：“經(jīng)過剛才的移動過程，你又產(chǎn)生了哪些新的問題？”這時(shí)學(xué)生提出了“為什么要這樣移動呢？”“這種方法和剛才列算式計(jì)算的方法有相同之處嗎？”“張倩踢了9個(gè)和女生隊(duì)的平均數(shù)9一樣嗎？”等直擊平均數(shù)本質(zhì)的問題，教師篩選和梳理了與本節(jié)課重難點(diǎn)相關(guān)的問題，在后續(xù)的教學(xué)中逐一解決，將平均數(shù)的教學(xué)推向深處。

（二）體會平均數(shù)的“虛擬性”和“代表性”

在教學(xué)“移多補(bǔ)少”的過程中，學(xué)生提出了一些有價(jià)值的問題，如“張倩踢了9個(gè)和女生隊(duì)的平均數(shù)9一樣嗎？”通過生生互動交流，學(xué)生理解了“張倩踢了9個(gè)”是她自己實(shí)際踢了9個(gè)，而“平均數(shù)9”是計(jì)算出來的，是假設(shè)平均每人踢得同樣多，并不是每個(gè)人都踢了9個(gè)，由此體會到平均數(shù)的“虛擬性”。同時(shí)，學(xué)生在這個(gè)過程中感受到“平均數(shù)”和“平均分”的區(qū)別。為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解平均數(shù)的“代表性”，基于學(xué)生的思維特點(diǎn)，教師通過把平均數(shù)與男生隊(duì)、女生隊(duì)中每人實(shí)際的踢毽個(gè)數(shù)進(jìn)行對比，將平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義直觀化，幫助學(xué)生深刻體會平均數(shù)的“代表性”，即反映了一組數(shù)據(jù)的整體水平。

（三）感受平均數(shù)的“敏感性”

劉加霞教授說過，一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)易受這組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)據(jù)的影響，數(shù)據(jù)稍有變動，就會引起平均數(shù)的改變，即平均數(shù)具有“敏感性”。特別是極端數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響很大，這使得平均數(shù)更具有統(tǒng)計(jì)意義。在本教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師可以對例題展開進(jìn)一步拓展：“剛才是4男3女對決，現(xiàn)在老師也加入女生隊(duì)，你們希望老師踢多少個(gè)呢？為什么？補(bǔ)充統(tǒng)計(jì)圖（如圖4所示）。”這個(gè)問題激發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的探究欲望。

在之前的教學(xué)中，“移多補(bǔ)少”思想在學(xué)生頭腦中已經(jīng)扎根，學(xué)生會運(yùn)用“移多補(bǔ)少”的方法，結(jié)合教師的踢毽個(gè)數(shù)正確解釋平均成績變化的原因，充分感受到一個(gè)數(shù)據(jù)改變，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就會隨之發(fā)生變化的特點(diǎn)。

四、借問延學(xué)，拓展思考空間

在教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注學(xué)生獲取的知識與方法，還要關(guān)注學(xué)生積累的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生提問能力的提高不是一蹴而就的，需要教師適時(shí)引導(dǎo)和鼓勵。教師要練就敏銳性和洞察力，及時(shí)發(fā)現(xiàn)和思考提問的關(guān)鍵點(diǎn)，把握好提問的時(shí)機(jī)。

在“平均數(shù)”教學(xué)的回顧階段，教師通過“這節(jié)課你有什么收獲？”來組織學(xué)生回顧總結(jié)，學(xué)生回顧的內(nèi)容大多是有關(guān)平均數(shù)的具體知識與方法。交流結(jié)束后，教師繼續(xù)提問：“學(xué)完了平均數(shù)，此刻你們有沒有新的問題？”學(xué)生紛紛說出自己的問題，如“未來的平均數(shù)會和現(xiàn)在不同嗎？”“平均數(shù)還可以用來干什么？”“有沒有比平均數(shù)更公平的數(shù)？”“平均數(shù)對我們的生活還有哪些影響？”“還有別的計(jì)算平均數(shù)的方法嗎？”等。這些問題的提出使得教學(xué)不再拘泥于課堂。教師針對其中具有探究性的問題，以實(shí)踐性作業(yè)的形式布置給學(xué)生，讓學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，把學(xué)生的學(xué)習(xí)從課內(nèi)拓展到了課外，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更深層次的思考，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維力。

時(shí)代呼喚創(chuàng)新，小學(xué)階段要注重對學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。將之落實(shí)到課堂教學(xué)中，讓學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中學(xué)會提出問題和解決問題，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的策略之一。“問學(xué)課堂”將學(xué)生的“問”與教師的“導(dǎo)學(xué)”深度結(jié)合，在此過程中發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，使學(xué)生成為愛發(fā)問、會提問、有思想、有智慧的人。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 劉加霞.“平均數(shù)”的本質(zhì)及小學(xué)生理解水平解析[J].湖北教育（教育教學(xué)），2021（2）：36-38.

[3] 吳烈.譜好提問“五部曲”? ? 引發(fā)學(xué)生“好問題”：以“平均數(shù)”教學(xué)為例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2022（Z4）：25-26.

【本文系2022年度河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項(xiàng)目重點(diǎn)課題“基于深度學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)‘問學(xué)課堂實(shí)踐研究”（立項(xiàng)編號：JCJYB2204070009）的研究成果。】

（責(zé)編 李琪琦）