經(jīng)歷探究過程，發(fā)展推理能力
——以“圓柱的體積”教學為例

江蘇張家港市南沙小學占文分校 （215600） 劉心怡

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱《課程標準》）將推理意識定為數(shù)學核心素養(yǎng)之一。推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟。其中，“圖形的認識與測量”是圖形與幾何領(lǐng)域中的一個重要內(nèi)容?！墩n程標準》中指出，“圖形的測量”重點是確定圖形的大小，學生在經(jīng)歷統(tǒng)一度量單位的過程中，感受統(tǒng)一度量單位的意義，理解圖形長度、面積和體積等；在推導一些常見圖形周長、面積和體積計算方法的過程中，逐步形成度量和推理意識。以蘇教版教材中的“圓柱的體積”為例，筆者從圖形的測量角度出發(fā)，研讀教材、分析學情，精選適合學生學習的素材，確定符合學生認知特點的學習路徑，以發(fā)展學生的空間觀念。

一、思考與分析

（一）教材內(nèi)容分析

在學習“圓柱的體積”之前，學生已經(jīng)學習了圓、圓的周長和面積，以及長方體和正方體的特征、表面積和體積。教材中圓柱的體積計算教學可以分為兩個層次：第一層次，引導學生比較等底等高的長方體、正方體、圓柱的體積，讓學生初步建立圓柱體積公式的猜想；第二層次，引導學生遷移圓面積公式的探索方法，通過操作來驗證猜想。

教材在“練一練”環(huán)節(jié)編排了兩道練習題：第一題是看圖計算圓柱體積，旨在幫助學生鞏固圓柱體積的計算方法；第二題是利用圓柱體積的計算方法來解決實際問題，有利于學生進一步鞏固應用公式解決問題的方法，拓展數(shù)學應用的廣度。

（二）學生情況分析

學生對圓柱有豐富的生活經(jīng)驗和直觀感受，他們也學習了長方體和正方體表面積和體積、圓柱表面積等知識，在探究圓柱體積時便有了基礎(chǔ)。為了了解學生是否知道圓柱的體積公式，會用哪些方法推導圓柱的體積公式，筆者對45 名六年級學生進行了前測。

通過對前測結(jié)果的分析，筆者得到結(jié)論：（1）82.2%的學生已經(jīng)知道圓柱的體積公式，能解決簡單的圓柱體積問題；（2）42.2%的學生知道可以將圓柱看成由無數(shù)個相同的圓形垂直疊加而成的圖形；（3）28.8%的學生能正確寫出圓柱體積公式的推導過程，知道遷移長方體和正方體體積的計算方法，猜測圓柱的體積公式也是底面積乘高。

（三）確定教學目標

通過對教材內(nèi)容和學情的分析，筆者有以下思考：首先，學生對圓柱體積有了一定的認識，但大部分學生還不清楚圓柱體積公式的產(chǎn)生過程。因此，教師應給予學生足夠的時間和空間，讓他們自己猜想并驗證圓柱的體積公式；其次，教師要用心選擇素材，可以為學生提供可活動的圓柱模型和小程序等資源，通過實際操作和可視化的方式，讓學生親自探究圓柱的演變過程，進一步加深對圓柱體積的認識；最后，教師應滲透轉(zhuǎn)化思想，讓學生認識到轉(zhuǎn)化思想不僅存在于圖形的測量中，而且存在于其他領(lǐng)域中。

基于上述分析和思考，“圓柱的體積”一課的教學目標可定為：（1）教學圓柱體積的含義；（2）探究圓柱體積公式；（3）滲透轉(zhuǎn)化思想。

二、教學實踐

（一）借助生活情境，引起矛盾沖突

為了幫助學生感受圓柱體積在生活中的應用價值，筆者創(chuàng)設(shè)了分飲料的情境，引導學生思考究竟哪杯飲料更多。這個素材不僅貼近學生的生活，還讓他們感受到學習數(shù)學知識的作用，為后續(xù)探究圓柱的體積公式做好準備。

師：媽媽在分飲料，聰聰要最多的那杯。于是媽媽準備了兩杯飲料（如圖1），讓聰聰自己選擇，這下聰聰犯難了，他該選哪杯呢？

圖1

生1：我覺得應該選矮的那杯，因為這個杯子雖然沒有左邊那個高，但是它杯口比左邊的要寬很多，所以應該選矮的那杯。

生2：我覺得這兩杯飲料是一樣多的，左邊的杯子雖然高但不寬，右邊的杯子雖然寬但不高。

生3：我覺得不能直接用眼睛看來判斷，要通過測量和計算才能區(qū)分。

師：你想知道哪些數(shù)據(jù)？

生3：我想知道這兩個杯子各有多高，它們的杯口各有多寬。

在強烈的對比面前，學生從一開始的直覺思維轉(zhuǎn)變成理性思維，他們感悟到可以通過測量圓柱形杯子的一些數(shù)據(jù)來判斷哪個杯子中的飲料更多。

（二）借助探究活動，推理圓柱體積

為了得到圓柱的體積公式，教師先組織學生憑借已有知識和生活經(jīng)驗進行猜想，利用圓柱的動態(tài)形成過程猜想圓柱的體積可能是底面積乘高；再以實物操作和信息技術(shù)為輔助，組織學生驗證猜想，在轉(zhuǎn)化前后圖形的對應關(guān)系中得到圓柱的體積公式。

1.猜想圓柱的體積公式

對數(shù)學猜想的證明常常要運用嚴格的邏輯推理、數(shù)學方法和技巧。這不僅增加了數(shù)學理論的內(nèi)涵和深度，還促進了數(shù)學科技的進步。許多數(shù)學猜想的證明過程涉及復雜的數(shù)學問題和技術(shù)，這些技術(shù)在解決實際問題中起到了重要的作用。

師：這節(jié)課我們一起來探究圓柱的體積。你知道圓柱的體積怎么算嗎？

生1：圓柱的底面積乘高。

生2：根據(jù)長方體是由底面向上移動形成的立體圖形，推測圓柱就是一個圓形向上移動形成的立體圖形。

師：有的同學猜想圓柱的體積是底面積乘高，接下來我們就要來驗證猜想。你們想怎樣驗證？

生3：我們在學圓的面積時，先把圓平均分成了若干個扇形，再拼成一個近似的長方形。我猜想也可以把圓柱平均分成若干份，再拼成一個長方體，根據(jù)長方體的體積公式推導出圓柱的體積公式。

2.驗證圓柱的體積公式

當學生利用已有的知識經(jīng)驗有了初步猜想，教師組織學生先利用實物學具或電腦小程序把圓柱轉(zhuǎn)化成長方體，再比較圓柱與長方體，最后利用長方體的體積公式推導出圓柱的體積公式。

師：把圓柱轉(zhuǎn)化近似的長方體，這是一個非常好的辦法。接下來請看學習要求。（1）借助學具，把圓柱轉(zhuǎn)化成長方體，請你操作3 次，記錄下每次平均分的份數(shù)和轉(zhuǎn)化成的圖形，以及你的發(fā)現(xiàn)；（2）根據(jù)轉(zhuǎn)化前后圖形的對應關(guān)系，用簡潔的語言說一說推導圓柱體積公式的過程。當用實物不能解決問題的時候，你也可以利用小程序。

生1：我是先把圓柱平均分成14 份、20 份和30份，再把它拼成一個近似長方體的圖形。我發(fā)現(xiàn)分的份數(shù)越多，就越近似一個長方體。我們已經(jīng)知道了“長方體體積=長×寬×高”，長方體的長就是圓柱底面周長的一半，長方體的寬就是就是圓柱底面的半徑，長方體的高就是圓柱的高，所以“圓柱體積=底面周長的一半×半徑×高”，用字母表示是“V=πr2h”。

生2：我們組也是把圓柱拼成了近似的長方體，因為“長方體體積=底面積×高”，所以“圓柱體積=底面積×高”，用字母表示是“V=Sh”。

師：怎么這兩個公式不一樣？

生3：我覺得這兩個公式是一樣的，圓柱的底面積就是圓形面積，用字母表示是“S= πr2”，所以“V=Sh= πr2h”。

在這個環(huán)節(jié)中，教師帶領(lǐng)學生圍繞圓柱的體積公式開展猜想和驗證活動。學生先結(jié)合長方體體積猜想圓柱的體積公式可能是底面積乘高，然后借助實物和信息技術(shù)直觀地看到圓柱與長方體之間的對應關(guān)系，從而探索得到圓柱的體積公式。

（三）借助轉(zhuǎn)化過程，滲透推理能力

當學生探究圓柱體積公式后，教師可以引導學生感悟圓柱體積推導過程中的轉(zhuǎn)化思想，并延伸到數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐等領(lǐng)域中的轉(zhuǎn)化思想。

師：剛才由圓的面積、平面圖形的知識聯(lián)想到了轉(zhuǎn)化，也通過轉(zhuǎn)化推導得出圓柱的體積公式。想一想，你在哪里遇到過這樣的轉(zhuǎn)化和推導方法？

生1：我們學習平行四邊形面積的時候，把平行四邊形分成兩個三角形再拼起來，這樣就把平行四邊形就轉(zhuǎn)化成了長方形。

生2：我們在求三角形面積的時候，把兩個完全一樣的三角形合在一起拼成一個平行四邊形，再利用平行四邊形的面積公式推出三角形的面積公式。

生3：我們在學乘法的時候，把很多個一樣的數(shù)相加轉(zhuǎn)化成用乘法來表示。

師：轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學中應用廣泛。除了同學們說的，還有根據(jù)商不變性質(zhì)推出分數(shù)的基本性質(zhì)……

在這個環(huán)節(jié)中，教師讓學生進一步感悟轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學中的應用價值，體會轉(zhuǎn)化思想在解決數(shù)學問題時具有指導作用。這既是對數(shù)學知識和方法的本質(zhì)的理性認識，也是解決數(shù)學問題的靈魂和策略，能夠進一步完善學生的認知結(jié)構(gòu)，提高學生的數(shù)學能力。

（四）借助數(shù)學知識，解決實際問題

當學生面對生活中的實際問題時，數(shù)學知識發(fā)揮著巨大的作用。借助數(shù)學知識解決數(shù)學問題，可以提高解題效率、增強邏輯思維能力、拓寬視野，還可以優(yōu)化資源配置，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維。

師（出示圖2）：現(xiàn)在我們要用圓柱的體積公式來算一算哪杯飲料更多。請算一算高杯和矮杯中飲料的體積。

圖2

生1：高杯中的飲料高9 cm，杯子的底面半徑是2 cm，V=πr2h=3.14×22×9=113.04（cm3）。矮杯中的飲料高4 cm，杯子的底面積是28.26 cm2，V=Sh=28.26×4=113.04（cm3）。

師：這兩杯飲料是一樣多的，咱們用數(shù)學知識解決了飲料多少的問題，接下來看看另一個問題。有一個直徑是8 m 的半圓柱形隧道，如果這條隧道長1000 m，它里面的空間有多大？

生2：半徑r=8÷2=4（m），V=3.14×42×1000÷2=25120（m3）。

師：再來看另一個問題。一根圓柱形木料的底面周長是62.8 cm，高是50 cm，這根木料的體積是多少？

生3：因為圓柱形木料的底面周長是62.8 cm，所以半徑r=C÷2π=62.8÷2÷3.14=10（cm），V=πr2h=3.14×102×50=15700（cm3）。

在這個環(huán)節(jié)中，教師精心選擇了三道有關(guān)圓柱的體積的練習題：第一題是讓學生判斷哪杯飲料多；第二題是呈現(xiàn)了半圓形的圓柱，引導學生將圓柱的體積公式進行變式；第三題是已知圓柱的底面周長和高，這樣，學生要先根據(jù)圓柱的底面周長算出圓柱的底面半徑，才能根據(jù)圓柱的體積公式算出體積。

綜上所述，本節(jié)課的教學主要幫助學生理解和掌握圓柱的體積公式，并能解決實際問題。圓柱體積的教學內(nèi)容雖然比較簡單，但是學生探究和轉(zhuǎn)化圓柱體積的過程并不簡單。因此，教師要讓學生自己動手操作、小組討論、匯報交流，使得學生能自己發(fā)現(xiàn)并解釋圓柱的轉(zhuǎn)化過程，以及圓柱體積公式的由來。這樣不僅促進學生更好地掌握圓柱體積公式，還能發(fā)展學生的轉(zhuǎn)化思想、推理能力、空間想象力，實現(xiàn)從獲得知識到提高素養(yǎng)的進階。