小學生逆向思維能力培養的探究
——以“多邊形的面積”教學為例

山東鄒平市第一實驗小學 （256200） 劉元躍

小學是培養學生逆向思維能力的重要階段。在實際教學中，教師不應只采用正向思維的教學方式，還應該注重挖掘能鍛煉學生逆向思維的素材，結合學生的情況及年齡特征，有意識地從多個方面滲透逆向思維方法，促進學生形成良好的數學思維能力。逆向思維是對正向思維的補充，也是培養學生創新能力不可忽視的思維方式。應用逆向思維進行教學，對數學課堂提出了新的要求——從問題的反面進行探究，找出解決問題的新思路和新方法。對小學數學教學而言，逆向思維的運用，可以有效提高課堂教學效率，同時增強學生的學習效果。下面，筆者結合“多邊形的面積”的實際教學過程，簡要闡述培養學生逆向思維能力的方法。

一、新知探究，逆向思維必不可少

多邊形面積公式的探究是一個看似直觀卻又抽象的內容。小學階段，學生以形象思維為主，空間想象能力較差，新課教學活動應以量一量、剪一剪、拼一拼的自主探究和發現為主。同時，教師要根據學生的年齡和已有的學習水平、生活經驗，指導學生運用逆向思維解決問題，激發他們的學習興趣和內在動力，并引領他們通過自主探究或小組討論，逐步突破學習多邊形面積的重難點。

例如，在進行“多邊形的面積”大單元教學時，筆者出示了2 組圖形（如圖1-1、圖1-2），讓學生運用量一量這一自主探究的方式，找到2 組圖形之間的相同點和不同點。學生發現：圖1-1 中平行四邊形的底和長方形的長相等（或平行四邊形的高和長方形的寬相等）；圖1-2 中平行四邊形的底和長方形的寬相等（或平行四邊形的高和長方形的長相等）；圖1-1 中平行四邊形的斜邊比長方形的寬長，圖1-2 中平行四邊形的斜邊比長方形的長長，即2組圖形中的平行四邊形的周長比長方形的周長長。

圖1-1

圖1-2

接著，筆者讓學生以小組合作的方式，通過剪一剪、拼一拼的方式再次探究這2 組圖形之間的聯系和區別。學生小組發現：在圖1-1 中，沿虛線（高）把平行四邊形剪開，得到一個三角形和一個梯形，將三角形移至梯形右側，就能拼出與其右邊一樣的長方形；在圖1-2 中，按相同的方法剪開平行四邊形，也能拼出與其右邊一樣的長方形。于是學生得出結論：圖1-1 中平行四邊形和長方形的面積相等，圖1-2中平行四邊形和長方形的面積相等。

學生還結合圖1-1 中長方形的長與平行四邊形的底相等，長方形的寬與平行四邊形的高相等（或圖1-2 中長方形的寬與平行四邊形的底相等，長方形的長與平行四邊形的高相等），以及長方形的面積公式，運用逆向思維進行分析：因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

為了激發學生運用逆向思維方式解決問題的興趣，幫助他們樹立學好數學的信心，在探究三角形的面積公式和梯形的面積公式時，筆者繼續指導學生運用逆向思維的方式進行推導。

如圖2-1、圖2-2所示，學生經過測量后很快發現了圖形面積之間的關系：圖2-1 中平行四邊形與三角形等底等高，圖2-2 中平行四邊形的底等于梯形上底與下底的和，平行四邊形的高與梯形的高相等。接著，學生通過拼接知道：2 個完全相同的三角形（或梯形），可以拼成一個平行四邊形，這時平行四邊形的面積是三角形的面積（或梯形的面積）的2 倍。結合量、剪、拼和算的結果，學生運用逆向思維來探究問題的解決方法，對照平行四邊形的面積公式，很快就推導出：三角形的面積=底×高÷2，梯形的面積=（上底+下底）×高÷2。

圖2-1

圖2-2

二、公式應用，為逆向思維開辟新思路

多邊形面積公式的推導過程較為抽象，且推導過程具有雙向性的特點。讓學生運用逆向思維分析并解決問題，不僅能幫助學生深入地理解知識，還可以提升學生解決問題的能力。因此，在實際教學中，教師要根據學生的年齡特點和身心發展狀況，積極引導學生進行逆向思考，讓他們在持續的探索中突破多邊形面積學習的重難點，更好地激發他們的逆向思維。

例如，面對“已知一個三角形的面積是36 平方厘米，它的一條底邊長12 厘米，這條底邊上的高是多少厘米？”這一問題，習慣于已知三角形的底和底邊上的高的條件的學生無從下手，但對于熟練運用逆向思維的學生來說，此題并不難。運用逆向思維進行思考后，有學生給出了3種解決方法。

［方法1］2 個完全相同的三角形可以拼出1 個與三角形等底等高的平行四邊形。三角形的面積是36 平方厘米，三角形和平行四邊形的底都是12厘米，2個完全相同的三角形的面積是36×2=72（平方厘米）。根據“平行四邊形的面積=底×高”，可以得出平行四邊形的高是72÷12=6（厘米）。因此，三角形這條底邊上的高是6厘米。

［方法2］由“三角形的面積=底×高÷2”，得到36=12×高÷2。依據等式的性質，在這個等式的兩邊同時乘2，整理后得到12×高=72。因此，三角形這條底邊上的高是72÷12=6（厘米）。

［方法3］因為“三角形的面積=底×高÷2”，所以“三角形的面積×2”就是三角形底乘高的積。先用三角形的面積乘2，為36×2=72，72 是三角形底乘高的積，那么三角形的這條底邊上的高是72÷12=6（厘米）。

對比上述3 種方法，它們的共同之處都是先用“三角形的面積×2”得到三角形底乘高的積，再用“底乘高的積÷底”得到對應底邊上的高。

為了進一步增強學生運用逆向思維解決問題的意識，筆者出示了一個探究梯形的面積公式的問題：“一塊梯形菜地的上底是20米，下底是50米，菜地的面積是700 平方米，這塊菜地的高是多少米？”學生憑借剛才解決問題的經驗，很快就發現：計算梯形面積時，都是上底與下底的和乘高的積再除以2，所以要求梯形的高、上底或下底時，首先要將梯形的面積乘2，即700×2=1400，1400 就是上底與下底的和乘高的積，然后用積除以上底與下底的和，商就是梯形的高，1400÷（20+50）=20（米）。同理，如果梯形的高是20 米，下底是50 米，面積是700 平方米，求梯形的上底時，仍然是用面積乘2，即700×2=1400，然后用所得的積除以高就得到上底與下底的和，1400÷20=70（米），再用和減去下底就得到了上底，上底是70-50=20（米）。

三角形的面積公式和梯形的面積公式在應用過程中的逆向引領，打破了正向思維的定式，提升了學生應用公式解決問題的能力，讓不會或不敢運用逆向思維方式解決問題的學生突破瓶頸，幫助他們樹立解決問題和難題的信心。

三、鞏固拓展，為逆向思維提效率

在小學數學教學過程中，平面圖形面積公式的獲取和應用是可以從正逆兩個方面進行的，這就要求教師在鼓勵學生對面積公式進行正向推理的同時，也要對獲取的公式進行逆向推理，這樣不僅可以加深學生對數學公式的理解和掌握，而且有助于學生在實際運用中做到靈活應用。

例如，在學生經過正向推理得到“平行四邊形的面積=底×高”之后，筆者讓學生利用手中的平行四邊形，逆推證明“平行四邊形的面積=底×高”。學生經過自主探究發現了2種方法。

［方法1］如圖3 所示，找到平行四邊形左右兩條斜邊的中點，然后分別向下和向上作垂直線段，得到兩個小直角三角形，將兩個小直角三角形剪下后順時針旋轉180°，就可以拼成一個長方形。經測量得知，長方形的長等于平行四邊形的底，長方形的寬等于平行四邊形的高，由此推出“平行四邊形的面積=底×高”。

圖3

［方法2］如圖4 所示，以平行四邊形左邊斜線上一點向下作垂直線段，得到一個直角三角形，將其剪下后，平移到圖形的右邊，再將圖形的右上角多出的部分剪下，得到一個小的直角三角形，將小的直角三角形向左平移到圖形的左上角，就得到了一個長方形。經過測量發現：長方形的長等于平行四邊形的底，長方形的寬等于平行四邊形的高，由此得到“平行四邊形的面積=底×高”。

圖4

借助“三角形的面積=底×高÷2”“梯形的面積=（上底+下底）×高÷2”的推導經驗，筆者利用問題“你能用1 個三角形或1 個梯形推出三角形或梯形的面積公式嗎”，培養學生運用逆向思維思考問題的習慣，并逐步養成逆向思維的能力。有了前面探究的經歷，學生很快就探究出了2種方法。

［方法1（三角形的面積）］如圖5 所示，從三角形左右兩邊的中點分別向下作垂直線段，沿垂直線段剪下后就得到兩個直角三角形，左邊直角三角形繞中點順時針旋轉180°，右邊直角三角形繞中點逆時針旋轉180°，就轉換成一個長方形，經過測量得到，長方形的寬等于三角形底的一半，長方形的長等于三角形的高，即“三角形的面積=（底÷2）×高”，整理后得到“三角形的面積=底×高÷2”。

圖5

［方法2（三角形的面積）］如圖6 所示，用線段連接三角形兩邊的中點，形成一個小三角形，沿線段剪下小三角形。畫出小三角形的高，沿高將小三角形剪成兩個直角三角形，左邊的直角三角形繞中點逆時針旋轉180°，右邊的直角三角形繞中點順時針旋轉180°，就轉換成一個長方形。經測量，長方形的長等于三角形的底，長方形的寬等于三角形高的一半，即“三角形的面積=底×（高÷2）”，整理后得到“三角形的面積=底×高÷2”。

圖6

對比上述2 種方法不難發現：在解決同一個問題時，可以按照人們認識事物的過程來考慮，即從條件到結論、從現象到本質，也可以運用逆向思維反向思考，從結論出發，追溯其充分條件。教師在實際教學中可以引導學生擺脫習慣的、傳統的、常規的正向思維方式的束縛，多采取逆向思考，以便形成新穎的構思，增強創新意識，提高創造能力。

四、開放性作業，培養逆向思維能力

布置開放性作業，對提高學生的數學核心素養、培養學生的逆向思維能力和創新意識有著重要作用。學生在多邊形的面積的學習中，經歷了正、逆向思維探究問題的過程，積累了一定的分析問題和解決問題的學習經驗。基于此，教師可以布置開放性的作業，以提高學生的逆向思維能力。如以小組為單位，從下列作業選取一道題或多道題進行分析和解答。

1.一塊梯形玉米地的面積是12 公頃，它的上底是（）米，下底是（）米，高是（）米。

（1）先補充上底、下底的長度，再計算出梯形玉米地的高。

（2）先補充上底、下底和高任意兩個長度，再計算另一個的長度。

（3）對比上述兩個問題，你發現了什么？

2.一塊三角形紙板的面積是24 平方厘米，它的底是（）厘米，高是（）厘米。

（1）如果底和高的長度都是整厘米數，分別是多少厘米？（把所有的情況都寫出來）

（2）如果底和高的長度不是整厘米數，會有多少種情況？列舉出來并說明理由。

（3）如果底是8厘米，請畫出5個形狀不同的三角形，它們有什么特點？畫出5 個之后，還能繼續畫嗎？如果能繼續畫，會有多少種不同的情況？為什么？

3.一個平行四邊形的底是12 厘米，高是3 厘米，求它的面積。

（1）請畫出5 個形狀不同的平行四邊形，仔細觀察后你發現了什么？

（2）量出所畫平行四邊形的一條邊以及它們所對應的高，算出每個平行四邊形的面積。分別量出所畫平行四邊形的另一條相鄰的邊，結合平行四邊形的面積，算出該鄰邊對應的高，比一比，然后把你的發現寫下來。

以上問題旨在打破學生的思維定式，讓學生的思維一直處于正向和逆向的轉換活動之中。這樣不僅使學生對知識辨析得更清楚，而且還使學生培養了正反聯想的思維意識。

綜上所述，逆向思維是數學邏輯思維中不可或缺的一種思維方式，教師應該給予充分的重視，并在教學過程中有意識地對學生進行逆向思維的訓練，這樣不僅能提高數學學科的趣味性，也能極大地提升學生學習數學的積極性和主動性。實踐證明，在教學過程堅持雙向思維，能使學生真正形成良好的思維品質，逐步養成創新思維。