基于整體視角 強化核心概念
——以“質因數”貫通小學初等數論內容復習的思與行

陜西西安市未央區崇文路小學 （710021） 陳 妮

陜西師范大學附屬小學 （710119） 郝高峰

縱觀整個小學數學的學習內容，五年級歷來以難點多、概念多、問題多的“三多”現象著稱。初等數論的啟蒙知識便集中在五年級。如賁友林老師在教學“因數與倍數（復習）”時就和學生羅列了11種“數”（因數、倍數、質數、合數、最大公因數、最小公倍數、質因數、奇數、偶數、公因數、公倍數）。這些名稱各異的“數”，有的是具有某一類特征的數的統稱，如質數、合數等，有的是刻畫數與數之間的關系，如因數、倍數等。面對如此多的“數”，學生在學習中常會出現由“易”到“難”的過程，剛開始學習“倍數和因數”時，學生都覺得簡單易學，隨著學習進程的推進，煩惱隨之而來——概念間相互干擾，易混難辨，復習時更是“剪不斷，理還亂”。歸根結底，還是對概念理解不透的緣故。那么，如何改變這一現狀呢？基于整體視角，強化核心概念應是一個有效的策略。當前的數學課堂，多以“因數”和“倍數”的概念統領其他概念，這本無可厚非。但筆者認為還可以在期末復習時再進一步，以“質因數”作為核心概念，如此才能有效貫通初等數論在小學階段的有關內容，觸及知識的本質。

一、思考

為什么要在期末復習時強化“質因數”這個概念？又為什么說“質因數”觸及知識的本質呢？

（一）算術基本定理

眾所周知，算術基本定理是初等數論中一條非常基本且重要的定理，它把對非零自然數的研究轉化為對其含有的最基本的元素，即質數（素數）的研究。算術基本定理可以表述為：任何一個大于1 的自然數都可以分解為若干個質數的乘積，而且分解是唯一的。這與小學數學中的分解質因數相對應。可以說，數論研究的本質就是質數性質的研究。

質數的英文為“prime number”。Prime number之所以最終被翻譯為“質數”，是因為從因數分解的角度看它是不可再分的。而合數可以看作是由若干個質數“合”成的。可見，任何一個大于或等于2的自然數都與它的質因數有密切關系。即質數本身就可以看作它自己的質因數，而合數則是由它的若干個質因數的積“合”成的。從質因數的角度研究自然數更有利于觸及其本質。

（二）教學中對“質因數”的處理

現行教材中有關“質因數”內容的呈現方式不盡相同，“留”卻不能盡其用，“舍”偏又“舍不得”，頗有“食之無味，棄之可惜”之感。現以下面三個版本的教材為例予以比較（見表1）。

表1 三個版本的教材中的“質因數”知識

通過比較不難發現，為了減輕學生的學習負擔，各版教材在“因數與倍數”單元中均有明顯淡化質因數概念的意圖。其中，人教版教材在教學因數、質數的概念時并未提及質因數，只在“分數的意義和性質”單元中，因約分和通分要用到最大公因數和最小公倍數的相關知識，才在“你知道嗎”欄目中簡單提及“分解質因數”及“短除”；北師大版教材雖未提及“質因數”等概念，卻在“因數與倍數”“分數的意義”兩個單元中多次以“你知道嗎”的形式提及相關內容；蘇教版教材雖然通過例題明確引出質因數、分解質因數的概念，卻再無下文。盡管如此，但也從另一個側面說明，各版本教材都認為“質因數”這部分內容不能隨意從教材中移除。

實際教學更是如此。囿于各種原因，雖然有爭論，但大部分教師還是會補充相關內容，不過也和教材一樣，只是將“質因數”“分解質因數”作為短除或者短除法求最大公因數與最小公倍數的附屬品，并沒有充分挖掘其所蘊藏的數學教育價值。

（三）“質因數”的教學價值探尋

這部分的所有概念均源于“因數”和“倍數”兩個概念。比如質數是只有1 和它本身兩個因數的數；偶數是有因數2（或是2的倍數）的數等。質因數也不例外，它是質數和因數的組合體。因此其他概念表面上都可以越過“質因數”，直接或間接與“因數”建立起聯系，從而形成一個龐大的概念網。需要教師注意的是，這些概念之間只是建立起了“形”上的聯系，缺少“質”的溝通。基于算術基本定理，從“質因數”的視角反觀這些概念，恰恰能實現這一點。

1.因數和倍數

因為因數和倍數本身就是一對相互依存的概念，所以我們只討論質因數和因數的關系。從質因數的視角看，不難發現一個數的因數就是由其所含有的質因數決定的。比如12=22×3，那么20，21，22和30，31分別組合就會產生12 的6 個不同的因數。即1=20×30，2=21×30，4=22×30，3=20×31，6=21×31，12=22×31。

2.最大公因數和最小公倍數

因為一個數的若干個質因數會“合”成它除1以外的所有因數，所以幾個數的公因數當然是由它們公有的質因數合成的（1 除外）。那么最大公因數就是幾個數所有的公有質因數的積。而最小公倍數不僅包含幾個數公有的質因數，還得乘上它們各自獨有的質因數。短除法只是簡潔地記錄了這一過程。在最小公倍數的基礎上不斷增加質因數，就會構成其他的公倍數。如A=2×3×3，B=2×3×5。（A，B）=2×3=6，［A，B］=2×3×3×5=90。

3. 2、3、5的倍數的特征

2 和5 的倍數特征看個位，恰恰是因為10 只含有2和5兩個質因數，即10=2×5。可見，一個整十數一定是2或5的倍數，所以只看個位就可以了。3的倍數的特征看各個數位，也是因為9，99，999，……中含有質因數3。比如要判斷354 是不是3 的倍數，之所以可以根據3+5+4=12來判斷，是因為百位上的“3”表示的3 個100 可以看作3 個99 和3 個1，十位上的“5”表示的5 個10 可以看作5 個9 和5 個1，個位上的4 就是4 個1，而“3 個99”“5 個9”都含有質因數3，即是3的倍數，只需要考慮剩下的“3個1”“5 個1”和“4 個1”，而這恰好暗合了各個數位上的數字之和。同理，偶數和奇數（0 和1 除外）也和是否含有質因數2密切相關。

4.約分和通分

約分就是同時剔除分子和分母中的公有質因數的過程，即運用分數的基本性質將分子、分母同時除以它們的公有質因數，直至只剩下各自獨有的質因數。通分就是不斷增添分子和分母的公有質因數的過程。這里分子、分母同乘4 就相當于同時2次增添共有質因數2。

通過“質因數”打通了這些概念之間的“隔斷墻”，讓這些在“因數”“倍數”概念統攝下的概念群真正融為一個整體后，“數”在學生的心中就不再是一個靜態的、固定的符號。學生知道它可以變換成不同的樣態后，在看見數，比如“20”時就會想：20是由2×2×5 合成的。這個想法也可以遷移到運算中。這樣更利于學生深入研究數，并且逐步由“數”向“式”過渡。而這一切都植根于算術基本定理。

二、實踐

在課時教學時，教師將“質因數”概念內隱其中，在一定程度上可以將難點分散，減輕學生的概念負擔；在單元復習時，教師可以通過“因數”和“倍數”將精簡后的諸多概念連成線、織成網，幫助學生整體建構知識體系。如此，到期末復習時，教師就可以捅破最后一層“窗戶紙”，以“質因數”作為核心概念貫通小學“初等數論”內容復習，幫助學生撥云見日，明確知識的本質。基于此，筆者做了如下嘗試。

（一）以“質數”為引，確立核心概念

【教學片段1】

師：在“因數與倍數”單元，我們學了許多不同的“數”，它們有些是一類數的統稱，有些則反映了數與數之間的關系。你能分得清嗎？

生1：偶數、奇數、質數、合數均表示一類具有共同特點的數；因數、倍數、公因數、公倍數、最大公因數、最小公倍數以及質因數等，是表示數與數之間的關系的數。

師：說得真好。那么在“偶”“奇”“質”“合”這四類數中，人們對哪一類數情有獨鐘？

生2：質數！因為它只有1和它本身兩個因數。

生3：我還知道很多數學家都喜歡研究質數的性質。我們書上介紹過的“哥德巴赫猜想”就跟質數有關，我還聽說過“孿生素數”呢。

生4：質數在密碼學中還有廣泛的應用！

師：質數，又叫素數。數學有一門分支叫“數論”，主要是研究自然數的性質，包括質數的性質。與質數相對的概念叫“合數”。我們常說“人如其名”，你有沒有想過，質數“質”在哪里？合數又是由什么“合”成的呢？

生5：合數是由質數合成的。如6=2×3，6 就是由質數2 和質數3“合”成的。質數就是數的本質、數根，不需要用別的數合成。

師：合數20是由“2×2×5”“合”成的。我們知道，任何一個合數都能寫成幾個質數相乘的積的形式，而且如果不考慮順序，這個分解式是唯一的。這幾個質數都是這個數的因數，因此都叫這個數的“質因數”。今天的復習課，我們就圍繞“質因數”展開。

（二）以“質因數”為核心，明晰概念本質

1.投石問路：探索“質因數”與“因數”的關系

【教學片段2】

師：老師寫一個數，你們能找到它的全部因數嗎？

（教師寫A，眾生搖頭，教師繼續寫A=2×2×3。）

師：現在呢？

生1：我能確定2 和3 都是它的因數，也是它的質因數。

生2：4、6也是，因為2×2=4，2×3=6。

生3：還有12，2×2×3=12。

生4：還有1。因為1是所有非零自然數的因數。

師：我們來整理一下，A 的因數有1，2，3，4（2×2），6（2×3）和12（2×2×3），其實A 就是12。現在你有什么發現嗎？

生5：我發現一個數的因數就是由它的質因數一個一個、兩個兩個，這樣幾個幾個“合”成的。

生6：我發現用“質因數”找因數時會漏掉“1”，大家一定要記得加上“1”。

2.舉一反三：自主溝通“質因數”與其他概念

【教學片段3】

師：同學們，你們想研究質因數與誰之間的關系？請以小組為單位，自主選擇研究方向。注意用質因數的積的形式表示數，這樣會更便于大家發現關系。（學生合作探究后交流）

組1：我們組研究的是質因數與最大公因數的關系。通過研究A=2×2×3，B=2×3×5 發現，最大公因數就是把它們公有的質因數乘起來（如圖1）。我們還用列舉的方法驗證了A 是12，B 是30，它們的最大公因數是6。

圖1

組2：我們選擇用12 和18 來研究最小公倍數。12=2×2×3，18=2×3×3（如圖2）。我們用短除法試了一下，除數2和3就是它們的公有質因數，最后剩下的商2是12獨有的質因數，3是18自己獨有的質因數。最小公倍數乘“一圈”原來是這個道理。我們還可以看出最大公因數乘“一邊”的道理。

圖2

組3：我們發現偶數都含有質因數2，而奇數都不含有質因數2。

組4：我們也研究了最大公因數和最小公倍數，發現在短除過程中可以很容易看清以前不明白的東西，比如“為什么兩個數的積等于它們的最大公因數乘最小公倍數”。我們還用這種方式試了一下約分（如圖3），這不就是劃去共同的質因數嘛，太有意思了！

圖3

師：同學們，如果說約分是劃去分子、分母公有的質因數。那么，通分就是——

生（齊）：不斷增加它們的質因數。

（三）以“算術基本定理”為落腳點，筑起概念的“承重墻”

【教學片段4】

師：今天，我們從“質因數”角度更加深入地復習了這些曾經讓我們眼花繚亂的概念。你們有什么想和大家交流的嗎？

生1：讓人茅塞頓開！質因數太厲害了！它竟然和這么多知識都有聯系。

生2：我明白了以前沒有想明白的一些問題。比如短除法中之所以在求最大公因數時乘“一邊”，是因為邊上的除數就是它們所有的公有質因數。這樣乘起來一定是最大的。

生3：我覺得學習不能只記概念，弄明白背后的道理更重要。

生4：我知道了為什么人們那么愛研究質數，它真的很“質樸”！看到合數，我們也可以把它想成若干個質因數相乘的樣子。

師：同學們，一個大于等于2 的自然數一定能分解成幾個質數相乘的形式，而且這種分解方式是唯一的。這就是我們將來要學習的“算術基本定理”。正是有它的存在，我們才能透過“質因數”洞察這部分知識的本質。

總之，“因數與倍數”的教學需要教師立足整體視角，通過強化核心概念，幫助學生理解和掌握其中諸多的抽象概念，觸及知識本質，完善知識結構。