結(jié)構(gòu)理解：思維從“形式”走向“實質(zhì)”
——“用數(shù)對確定位置”教學(xué)實踐與思考

江蘇如皋市外國語學(xué)校 （226500） 顧劉兵

“用數(shù)對確定位置”屬于圖形與幾何領(lǐng)域，主要研究圖形（點）的位置，初步建構(gòu)“直角坐標系（限于第一象限）”模型，蘇教版教材將它安排在四年級下冊第八單元。在此之前，學(xué)生已經(jīng)會用“方向+距離”的方式描述和記錄一維空間中物體的相對位置。現(xiàn)在，研究視角從一維走向二維，既符合學(xué)生的認知規(guī)律，也遵循知識的螺旋建構(gòu)原則。換個角度來看，二維空間點的位置確定可以解構(gòu)為兩個不同維度，每個維度仍然以“方向+距離”的方式描述和記錄，整個學(xué)習(xí)過程應(yīng)體現(xiàn)空間結(jié)構(gòu)的有序生長。

需要指明的是，兩個維度的有機組合不能忽視以下問題。第一是“方向確定”，解決“怎么看”，原點（觀察點）是兩個維度縱橫交錯的要點（起點），需要凸顯；第二是“距離確定”，解決“怎么數(shù)”，以整數(shù)方式表征數(shù)的結(jié)果，需要強化；第三是“順序確定”，解決“怎么說”，“先列后行”的數(shù)學(xué)規(guī)定與生活經(jīng)驗，需要對接；第四是“模型確定”，解決“怎么寫”，簡潔表達逗號和小括號的作用，需要闡釋；第五是“價值確定”，解決“怎么用”，點、線、面的位置確定之間需要關(guān)聯(lián)。明確了“學(xué)什么”和“學(xué)到什么程度”，接下來就要考慮“怎么學(xué)”。筆者準備以學(xué)生喜聞樂見的“打地鼠”游戲貫穿教學(xué)始終，按照知識生長的關(guān)鍵節(jié)點和節(jié)奏設(shè)置問題鏈，驅(qū)動學(xué)生在玩中學(xué)、在學(xué)中玩，最終實現(xiàn)確定位置從技巧方法的“形式理解”走向空間結(jié)構(gòu)的“實質(zhì)把握”。

一、玩中調(diào)用經(jīng)驗，明確結(jié)構(gòu)特征

（一）橫向玩

師：大家喜歡玩“打地鼠”游戲嗎？

生（齊）：喜歡。

師（出示圖1）：瞧，小地鼠鉆出來了，它在什么位置？

圖1

生1：小地鼠在從左往右數(shù)的第4個洞。

師：還可以怎么數(shù)？

生2：小地鼠在從右往左數(shù)的第2個洞。

（二）縱向玩

師（出示圖2）：瞧，小地鼠又鉆出來了，它在什么位置？

圖2

生3：小地鼠在從上往下數(shù)的第4個洞。

師：還可以怎么數(shù)？

生4：小地鼠在從下往上數(shù)的第2個洞。

（三）理結(jié)構(gòu)

師（同時出示圖1 和圖2）：要想精準描述地鼠的位置，你覺得需要確定什么？（板書：確定位置）

生5：要確定從哪里往哪里看，還要確定它在第幾個。

師：從哪里往哪里看，是在確定方向；第幾個，是確定觀察起點和終點之間的距離。用“方向+距離”來確定位置是個好辦法。（板書：方向+距離）

師：為什么圖中小地鼠的位置都有兩種描述結(jié)果？

生6：觀察的起點不同，數(shù)的距離就不一樣。

師：會用聯(lián)系的眼光看待方向和距離，給你點贊！現(xiàn)在我們知道，在橫向或者豎向中只要有一個帶方向的數(shù)，就能確定一個物體的位置。

【思考：一維空間結(jié)構(gòu)認知是二維空間結(jié)構(gòu)認知的先決條件和發(fā)展基礎(chǔ)，必要的復(fù)習(xí)可以讓學(xué)習(xí)更自然。首先，通過創(chuàng)設(shè)一維空間問題情境，驅(qū)動學(xué)生調(diào)用確定位置的經(jīng)驗，主動描述小地鼠的具體位置，“還可以怎么數(shù)”指向方向變化時對應(yīng)的距離隨之改變，滲透方向與距離之間的動態(tài)關(guān)聯(lián)。其次，空間形式從橫向變換為豎向，引導(dǎo)學(xué)生用兩種角度描述位置，加強方向與距離的動態(tài)關(guān)聯(lián)。最后，通過對四種描述結(jié)果的整體比較，提煉出“方向”和“距離”這兩個確定位置的關(guān)鍵要素，明確一維空間中確定位置的結(jié)構(gòu)特征，感受確定位置時觀察起點的重要性，揭示方向和距離之間的動態(tài)關(guān)聯(lián)，固化一維空間中位置確定的方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊。】

二、玩中遷移經(jīng)驗，經(jīng)歷結(jié)構(gòu)生長

（一）不具體，怎么辦？

師（出示圖3）：小地鼠可聰明了，擴大了鼠洞范圍，有豎有橫，縱橫交錯，現(xiàn)在只用一個帶方向的數(shù)還能確定它的位置嗎？如果不具體，又該怎么辦？

圖3

師（組織學(xué)生描述小地鼠的位置，要求小組討論并確定一種方法，寫在板貼的橫線上，然后有序地貼到黑板上的展示區(qū)）：請邊指邊數(shù)，分享你確定位置的過程。

生1：小地鼠在從左往右數(shù)的第4個洞，從上往下數(shù)的第4個洞。

生2：小地鼠在從左往右數(shù)的第4個洞，從下往上數(shù)的第2個洞。

生3：小地鼠在從右往左數(shù)的第2個洞，從上往下數(shù)的第4個洞。

生4：小地鼠在從右往左數(shù)的第2個洞，從下往上數(shù)的第2個洞。

師（手勢比畫）：先橫向數(shù)，再豎向數(shù)，能確定小地鼠的位置。換個角度，還可以怎么數(shù)？

生5：先豎向數(shù)，再橫向數(shù)。

師：角度不同，但是都用了幾個帶方向的數(shù)？

生（齊）：2個。

師：看來，要想具體描述平面上地鼠的位置，需要2個帶方向的數(shù)。

【思考：要學(xué)生理解結(jié)構(gòu)，教師就不能機械地單向傳輸，而是需要學(xué)習(xí)者親歷探究過程，充分調(diào)用和遷移已有認知，借助適宜的問題驅(qū)動思考，逐步完善、完成和完美。首先，創(chuàng)設(shè)縱橫交錯的二維空間情景，引導(dǎo)學(xué)生思辨“只用一個帶方向的數(shù)”能否滿足位置確定的需求，并以“不具體，怎么辦？”的核心問題使學(xué)生經(jīng)歷嘗試、碰撞和共鳴的全過程，學(xué)習(xí)的主動性成就了探究的有效性。其次，通過追問“換個角度，還可以怎么數(shù)？”，驅(qū)動學(xué)生從“先橫向數(shù)，再豎向數(shù)”的習(xí)慣轉(zhuǎn)換為“先豎向數(shù)，再橫向數(shù)”，體現(xiàn)表征結(jié)果的豐富性。最后，引導(dǎo)學(xué)生聚焦描述內(nèi)容的實質(zhì)，歸納出平面上確定物體位置的結(jié)構(gòu)特征和數(shù)量特點，初步理解二維空間位置確定的方法。】

（二）不統(tǒng)一，怎么辦？

師：小地鼠位置不變，描述結(jié)果卻不統(tǒng)一，怎么辦？（出示活動要求，如圖4）

圖4

師：哪一組來分享一下自學(xué)成果？

（教師組織學(xué)生圍繞圈畫的關(guān)鍵詞逐一弄懂“列”和“行”的名稱、方向和順序。重點交流“第1列在哪里？怎么看？”和“第1 行在哪里？怎么看？”）

師：列和行都是以誰為觀察點，這樣規(guī)定有什么好處？

（邀請學(xué)生站在講臺前分別觀察其他學(xué)生的位置和小地鼠的位置，尋找確定位置和觀察方向之間的對應(yīng)聯(lián)系）

生1：站在講臺上面向?qū)W生，從左往右數(shù)確定第幾列，從前往后數(shù)確定第幾行，轉(zhuǎn)過身，面向圖片中的小地鼠，確定其位置的方法相同。

師：按照這樣的規(guī)則，小地鼠的位置在哪里？

生1：小地鼠的位置在第4列第2行。

【思考：二維空間的位置確定可以解構(gòu)成縱、橫兩個維度。因此，用“兩個帶方向的數(shù)”確定物體位置，是由二維空間的特性決定，不以人的意志為轉(zhuǎn)移。但是，多元表征同時帶來了描述結(jié)果“不統(tǒng)一”的現(xiàn)實問題，這就需要人為干預(yù)和約定。自主學(xué)習(xí)是重要的學(xué)習(xí)方式之一，通過“約定解讀”和“規(guī)則表征”的活動創(chuàng)設(shè)，驅(qū)動學(xué)生自讀要求、自審題意、自想辦法。“讀懂”和“會用”是活動質(zhì)量的評價標準，數(shù)學(xué)表征形式從豐富多元走向了規(guī)范統(tǒng)一，數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)的要求和水平有所提高。】

（三）不簡潔，怎么辦？

師：冬天到了，大雪覆蓋地面，鼠洞變成一個個小圓點，就成了點子圖。我們來玩?zhèn)€游戲，當小地鼠出現(xiàn)時，請用“第×列第×行”描述它的位置。

（課件演示小地鼠出現(xiàn)的速度由慢到快，直至學(xué)生來不及記錄）

師：這樣記錄位置讓人感覺怎么樣？

生（齊）：太麻煩。

師：想要玩好游戲，該怎么辦？

（教師組織學(xué)生以“第4列第2行”為例，自創(chuàng)簡潔記錄位置的方法。教師巡視并選取典型的學(xué)生作品，鼓勵學(xué)生板演在黑板上的展示區(qū)中。）

師：大家一起來評判，這樣表示簡潔嗎？

（教師組織學(xué)生對“4 列2 行”“4 2”“4、2”“4，2”等表示方式進行評價，重點交流簡潔方式及干擾因素。）

師：仔細觀察，這些表示方式有什么相同之處？生1：都有4和2，而且出現(xiàn)的順序不變。

生2：它們都表示“第4列第2行”。

師：形式簡潔了，內(nèi)容沒有變，也不能變。你想知道數(shù)學(xué)家遇到這個問題是如何解決的嗎？

生（齊）：想。

師：伸小手，一起來。先寫4，再寫2，中間用逗號隔開，兩邊添上小括號表示這是一個整體，缺一不可。（4，2）這樣的數(shù)叫作“數(shù)對”，讀作“數(shù)對四二”，也可以直接讀“四二”。這就是我們今天要研究的內(nèi)容——用數(shù)對確定位置。

【思考：數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)形式有簡潔的需求。通過游戲的生動介入，引領(lǐng)學(xué)生浸潤自主創(chuàng)造、集體研討和簡潔介紹的全過程，使得空洞的說教變得可感知、可操作和可評價。需要注意的是，簡潔表達并沒有改變空間的結(jié)構(gòu)實質(zhì)，只是對原有數(shù)學(xué)表征進行二次加工，體現(xiàn)了“從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)”的縱向數(shù)學(xué)化理解。換句話說，位置確定從多元表征階段就已經(jīng)體現(xiàn)了數(shù)對的內(nèi)涵，后續(xù)的規(guī)則、簡潔表示只是數(shù)學(xué)表征形式的外部需求，千萬不能本末倒置，否則不利于學(xué)生空間觀念的有序建構(gòu)。】

三、玩中運用經(jīng)驗，理解結(jié)構(gòu)實質(zhì)

（一）順向玩

課件出示：我想打______鼠，它的位置用數(shù)對表示是____________。

師（出示圖5）：問題解決了，想不想繼續(xù)打地鼠？

圖5

生（齊）：想。

（教師組織學(xué)生玩游戲）

（二）逆向玩

課件出示數(shù)對：（5，3）（4，1）（1，3）（3，1）。

師：剛才大家能夠根據(jù)小地鼠的位置說數(shù)對。反過來，如果給數(shù)對，你能找到它的位置嗎？游戲繼續(xù)，小地鼠就位。

（教師組織學(xué)生玩游戲）

師：（1，3）和（3，1）為什么數(shù)字相同，位置不同？

生1：因為（1，3）表示“第1 列第3 行”，（3，1）表示“第3列第1行”，所以它們表示的位置不同。

生2：數(shù)字雖然相同，但是順序不同，對應(yīng)的位置也就不同。

師：看來，數(shù)對和位置是一一對應(yīng)的。

（三）明結(jié)構(gòu)

課件出示數(shù)對：（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）。

（教師組織學(xué)生玩游戲）

師：表示同一列小地鼠位置的數(shù)對有什么特點？

生1：數(shù)對的第一個數(shù)都相同。

師：如果只顯示（2，___），能確定什么，不能確定什么？

生2：能確定列數(shù)，不能確定行數(shù)。

課件出示數(shù)對：（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）。

（教師組織學(xué)生玩游戲）

師：表示同一行小地鼠位置的數(shù)對有什么特點？

生3：數(shù)對的第二個數(shù)都相同。

師：如果只顯示（____，3），能確定什么，不能確定什么？

生4：能確定行數(shù)，不能確定列數(shù)。

師：看來，知道一個數(shù)，可以確定列數(shù)或行數(shù)，同時知道兩個數(shù)，才能確定物體的具體位置。

【思考：結(jié)構(gòu)理解離不開鞏固運用，但如何操作和實施，則需要精心設(shè)計、指向明確和梯度安排。首先，“順向玩”側(cè)重物體位置轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達，主要演繹位置實質(zhì)到形式表征的抽象過程，滲透行列規(guī)則和列行順序，“弄懂”“會說”是評價標準。其次，“逆向玩”側(cè)重數(shù)學(xué)表達轉(zhuǎn)化為物體位置，主要演繹形式表征到位置實質(zhì)的具象過程，尤其是對（1，3）和（3，1）的深度對比，學(xué)生依據(jù)規(guī)則理解數(shù)對內(nèi)涵，建立數(shù)對與平面上點的位置的聯(lián)系，形成一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。最后，“明結(jié)構(gòu)”側(cè)重單個數(shù)對與多個數(shù)對的聯(lián)系，主要歸納“同一列數(shù)對”和“同一行數(shù)對”的結(jié)構(gòu)特征，使學(xué)生在“變與不變”中動態(tài)理解數(shù)對內(nèi)部“兩個帶方向的數(shù)”的實質(zhì)。】

四、玩中內(nèi)化經(jīng)驗，感悟結(jié)構(gòu)價值

（一）建模型

師（動態(tài)出示圖6）：瞧！點子圖變成了方格圖。小地鼠可調(diào)皮了，從A點跳到B點，你能用數(shù)對表示B點的位置嗎？

圖6

生1：B點的位置用數(shù)對（6，3）表示。

師：只要把方格圖再擴大些，就能確定它的位置。如果跳到C點，要想表示它的位置，怎么辦？

生2：可以把方格畫得再密一些。這樣，C點就有對應(yīng)的列和行，也就能夠用數(shù)對表示了。

（二）鏈歷史

師：看來，只要網(wǎng)足夠大、足夠密，平面上任意一點的位置都可以用數(shù)對來表示，這是偉大的數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)現(xiàn)的。讓我們一起“穿越”吧！

（簡要介紹笛卡爾由蜘蛛織網(wǎng)現(xiàn)象聯(lián)想和創(chuàng)造用數(shù)對確定位置的過程）

（三）悟價值

師（出示情境圖，圖略）：小地鼠們正在玩“排排隊”的游戲，你能用數(shù)對表示這三只小地鼠的位置嗎？

生1：A點是（2，2），B點是（4，5），C點是（4，2）。

師：自己課后在這個圖上找一個D點，要求和原來3 個點連成一個你認識的圖形，并結(jié)合圖形特征，與同學(xué)交流數(shù)對的特點。

【思考：價值感悟是結(jié)構(gòu)理解的組成部分，看似比較抽象，其實非常重要。首先，“建模型”側(cè)重位置確定涵蓋的對象，主要分兩種情況加以引導(dǎo)。一種是以原有列行的單位標準繼續(xù)擴大確定范圍，仍然用整列整行來描述位置；另一種是需要確定的位置坐落在非整列非整行，那就需要細化列行的單位標準。對于用小數(shù)描述位置的情況，不要求學(xué)生現(xiàn)在就能掌握，但是該情況的出現(xiàn)有利于學(xué)生對數(shù)對內(nèi)涵的理解前后一致，思維從特殊走向一般。其次，“鏈歷史”側(cè)重講述數(shù)對產(chǎn)生的故事，豐富了學(xué)生對知識的情感體驗，增強了學(xué)生對用數(shù)對確定位置的認同感，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從冰冷走向火熱。最后，“悟價值”側(cè)重確定對象之間的邏輯架構(gòu)，從平面上“點”的唯一表達推理出“線”的唯一確定，進而理解“面”的唯一架構(gòu)，使得圖形特征與數(shù)對特點對比融合，學(xué)生思維從解構(gòu)走向重構(gòu)。有了這樣的價值體驗，學(xué)生的數(shù)學(xué)視野變得開闊，數(shù)學(xué)思考變得有力，數(shù)學(xué)表達變得清晰。】