模塊化建筑陣列多調諧質量阻尼系統的實現與減震研究

何晴光, 張釋佺, 朱前坤, 洪祺凱

(1.蘭州理工大學 甘肅省土木工程防災減災重點實驗室,蘭州 730050;2.西部土木工程防災減災教育部工程研究中心,蘭州 730050)

作為一種最簡單的被動振動控制器,單調諧質量阻尼器(single tuned mass damper,STMD)起源于1909年,Frahm[1]使用質量塊和彈簧控制船舶的橫搖運動,此裝置能夠在單一頻率激勵時將結構振幅減小至接近于零。隨后Ormondroyd[2]使用彈簧與黏滯阻尼器并聯的技術,在一定程度上拓寬了STMD的工作頻帶,提高了其對激勵頻率的魯棒性。但隨著研究的深入,Tuan等[3]通過對臺北101大廈的STMD進行研究,發現該裝置在風荷載下是有效的,而在遠場地震作用下卻并不有效。Domizio等[4]的研究表明,在近斷層地震激勵的主要頻率明顯高于結構基頻時,STMD會失去作用。在地震作用下,STMD并不總是有效是因為地震激勵往往是脈沖的,并且其頻率成分較多,能夠激起結構第一階和更高階模態的振動[5-6]。

1980年,Ayorinde等[7]將多調諧質量阻尼器(multiple tuned mass dampers, MTMDs)的概念引入土木工程領域。Bakre等[8]針對諧波激勵下的單自由度結構,討論了1～20個質量塊的MTMDs的效率,研究表明其比STMD具有更強的魯棒性。倪銘等[9]綜合考慮成本和調諧效果,提出了一種雙調諧質量阻尼器。Anajafi等[10]定量分析了分布式多重調諧質量阻尼器(distributed multiple tuned mass dampers, d-MTMDs)的魯棒性,發生偏移的量包括主結構剛度、調諧頻率比和作為激勵的濾波高斯白噪聲的頻率,并采用遺傳算法對d-MTMDs質量塊位置參數進行優化。Elias等[11]對比分析了采用多模態控制技術設計的d-MTMDs的效率。

為解決附加質量導致的安全問題和成本問題,一些研究人員提出隔離樓板系統(floor isolation system,FIS),使用隔離樓板充當調諧質量阻尼器(tuned mass damper,TMD)質量塊。Bin等[12]研究了在強震作用下,非光滑非線性的FIS中,主結構和隔離樓板之間動態耦合的影響。Casagrande等[13]對比了使用黏滯阻尼器和形狀記憶合金阻尼器的FIS的有效性。Xiang等[14-15]研究了使用黏彈性層合材料隔離樓板對單層與雙層鋼框架結構振動控制的有效性和可行性。

同時,一些研究者對TMD的優化設計方法做出了創新和改進。Salvi等[16]研究了減震STMD性能和結構模態參數的關系,分析了TMD對結構模態的影響,并基于此提出一種分裂有效模態質量平衡的設計理念。Miyamoto等[17]基于線性矩陣不等式形式,提出STMD的魯棒性設計方法,研究表明此方法設計的STMD系統對結構質量、剛度和阻尼的不確定性具有良好的魯棒性。Ozturk等[18]為優化d-MTMDs質量塊的位置參數,提出微分進化方法。

在大多數MTMDs的研究中,出于成本或安全性的考慮,每層僅布置一個質量塊。涉及單層布置多個質量塊的研究同樣存在局限:①僅討論了諧波激勵;②僅討論了單自由度的主結構;③僅討論了質量塊數量為20個以內的情況。

本文提出模塊化懸掛樓板體系(modularized suspended floors system, MSFS)的概念,每個建筑模塊內采用懸掛的方法將樓板與主結構隔離。該類建筑體系能夠方便、安全的在每個樓層設置多個TMD對主結構進行調諧。因此,補充研究每層布置20個以上質量塊的MTMDs的減震性能是必要的。同時本文提出了將振動控制裝置與建筑共同模塊化的思想,并基于此開展研究。

1 MSFS的建模

單個懸掛樓板模塊的構造如圖1(a)所示:懸掛樓板一方面通過彈簧和黏滯阻尼器與模塊主結構的地板梁相連;另一方面通過吊索與模塊主結構的天花板梁相連。采用這種構造的優點是:①懸掛樓板可以作為質量塊發揮TMD的功能,對主結構進行調諧;②與使用隔振墊分隔樓板和主結構相比,這種構造既不會減少建筑使用高度,又使得樓板具有自復位能力。

圖1 MSFS的構造Fig.1 Construction of MSFS

將多個模塊拼裝成MSFS,如圖1(b)所示。模塊化的建筑單元在工廠預制后,運輸到施工現場直接拼裝。采用這種建造方式的優點包括:①施工方便,周期短,節約人力;②在工廠設置TMD的調諧頻率比在施工現場更加準確。本文采用MSFS實現減小主結構振動的原理,仍然是基于將MSFS視作MTMDs系統。當結構面臨危險的振動時,允許用懸掛樓板動力響應的增加,換取主結構動力響應的減小。但是,MSFS與僅頂層布置MTMDs或與應用了多模態控制技術的d-MTMDs相比,其最顯著的特點是,能夠將數量更加龐大的TMD方便、安全地布置在每個樓層,進而將原本較大的調諧質量,離散地分配到更多的調諧頻率上,形成質量線性或非線性分布的調諧頻帶。基于此,本文提出分布陣列多調諧質量阻尼器(distributed array multiple tuned mass dampers, d-array-MTMDs)的概念,用來描述d-MTMDs模塊化和空間分布的特征。

為解決樓板周邊縫隙的防水、保溫和隔音問題,MSFS系統在建筑上采用的處理方案如圖2所示。其中,防水膜需要伸入蓋板下部固定。然后,再將防水透氣膜、保溫材料、防潮隔氣膜依次固定在蓋板下部,膜邊緣預留一定寬度后,固定于懸掛樓板外緣。

當懸掛樓板擺動到最大位置時,摩擦材料接觸蓋板,限制懸掛樓板的位移。當維修彈簧和阻尼器時,取下螺栓,打開蓋板進行作業。

本文重點研究裝有d-array-MTMDs的結構體系在水平方向上的振動問題,體系的離散質量模型如圖3所示。對于樓板豎向荷載的傳遞方式,僅簡單討論圖1(b)所示的上承式d-array-MTMDs的吊索對主結構和懸掛樓板水平位移響應幅值的影響。

本文中,下標“s”為主結構,下標“T”為TMD。圖3所示的d-array-MTMDs,設共有p個TMD,編號用下標“i”表示,主結構共有N層,編號用下標“j”表示。根據圖3所示的離散質量模型建立裝有d-array-MTMDs的結構體系的運動方程,見式(1)。

(1)

(2)

(3)

(4)

式中:ms、cs和ks為主結構的質量、阻尼和剛度矩陣;mT,i、cT,i和kT,i為第i個TMD的質量、阻尼和剛度;ai和bi為第i個TMD的位置向量,見式(5)～式(6)

(5)

(6)

式中,loci為第i個TMD布置的樓層,物理意義為第i個TMD通過彈簧和黏滯阻尼器與第loci層主結構相連。

本文采用逐步增量法求解體系的動力響應,流程如圖4所示。

圖4 逐步增量法計算流程Fig.4 Step by step incremental method calculation process

圖4中:下標“k”為增量步編號,其下限為0表示體系的初始狀態,上限為地震動記錄的采樣點數量;h為增量步的時間步長,由地震動記錄給出。

2 懸掛樓板模塊建筑的減震效果

2.1 目標函數與d-array-MTMDs系統的參數配置

為優化d-array-MTMDs的參數,將主結構各層間位移的均方根之和作為減震的結構響應指標和目標函數,見式(7)

(7)

式中:下標“c”為受控結構;下標“u”為作為參照的非受控結構。本文研究的d-array-MTMDs體系將樓板作為控制器的質量塊。因此,非受控結構中,每層主結構的質量等于受控結構中該層主結構的質量與布置在該層的TMD的質量之和,見式(8)。

(8)

地震激勵能夠激起結構高階模態的振動,導致調諧單一頻率的STMD的振動控制效果不佳。因此,考慮將同樣的調諧質量分配到近似連續的頻帶內。為了減少d-array-MTMDs的設計參數,每個樓層都布置數量相同的TMD。這樣,d-array-MTMDs在每個樓層僅包含4個設計參數:平均調諧頻率比η、調諧頻帶寬度系數β、TMD數量n以及調諧阻尼比ζT。其中,平均調諧頻率比η和調諧頻帶寬度系數β的定義見式(9)～式(12)

(9)

(10)

(11)

(12)

式中:ωs,φ為主結構第φ階振型頻率;ωs,ave為主結構各階振型頻率的平均值;ωT,i為第i個TMD的調諧頻率;ωT,ave為樓層各TMD調諧頻率的平均值;η、β、n以及ζT作為自變量,通過Bakre等提出的線性插值公式計算每個TMD的調諧頻率ωT,i,見式(13)。

(13)

式中,i的取值范圍為[1,n]。進一步計算各TMD的阻尼系數cT,i和剛度系數kT,i,見式(14)～式(15)

cT,i=2mT,iζT,iωT,i

(14)

(15)

本文使用式(14)中的調諧阻尼比ζT表征TMD的阻尼系數水平。

質量比μ為各樓層TMD質量之和與主結構質量的比值,通過對圖1中的構件質量計算,本文質量比取μ=0.5,各個TMD取相同質量mT,i通過式(16)計算。

(16)

綜上可知,當n增大時,d-array-MTMDs調諧的頻率點增加,而調諧各個頻率點的TMD質量減小。

本文中,非受控結構每層質量取2×107kg、剛度取3.36×107N/m,每個模態的阻尼比取0.02。此外,考慮到柱承重的模塊建筑高度的限制,討論多自由度主結構時,結構層數最大取20層。

2.2 初步分析

建立一個兩層結構,每層由3個模塊組成。模塊參數根據劉洋等[20]的研究選取,主結構的一階振型頻率為7.796 Hz。忽略吊索影響時,結構中只有二層的懸掛樓板對一層主結構具有調諧作用,其中一個懸掛樓板調諧主結構一階振型頻率,另外兩個調諧彈簧剛度在其基礎上±50%。主結構和懸掛樓板的阻尼比均取0.02。3個懸掛樓板按照調諧頻率從低到高分別命名為T1-1、T1-2和T1-3

輸入諧波激勵進行頻域分析,見圖5。激勵頻率等于主結構一階振型頻率。

圖5 懸掛樓板頻域響應Fig.5 Frequency domain response of suspended floors

根據圖5可知T1-1和T1-3的位移響應包含兩個頻率成分,T1-2僅包含一個頻率成分,圖5中峰值點對應的頻率見表1。

表1 峰值頻率Tab.1 Peak frequency 單位:Hz

頻域分析表明,結構響應的頻率成分包括了激勵頻率和結構固有頻率,并且激勵頻率(結構一階振型頻率)占主導地位。

考慮到懸掛結構的自振周期一般較長,采用兩條頻率成分集中在低頻段的經典地震動記錄作為激勵進行初步參數分析。選用激勵見表2,其傅里葉譜如圖6所示。

表2 地震動記錄Tab.2 Ground motion record

圖6 激勵傅里葉譜Fig.6 Fourier spectrum of excitation

主系統選擇單自由度體系,采用圖7所示迭代流程對平均調諧頻率比η、調諧帶寬系數β、TMD數量n以及調諧阻尼比ζT4個參數進行初步分析。根據No.1和No.2地震激勵下圖8的計算結果,初步確定d-array-MTMDs的基本參數見表3。

表3 d-array-MTMDs參數取值

圖7 迭代流程Fig.7 Iterative process

圖8 SDOF-FIS體系初步參數研究Fig.8 Preliminary parameter research of SDOF-FIS system

迭代過程中,以各個參數的數值誤差均小于0.01作為退出循環的條件。

圖8(a)表明,當輸入不同地震波時,使體系有較好減震效果的η取值不完全相同,但是,當η的取值大于最優值后,目標函數增幅較小且趨于穩定。此外,當η在某些區間內時,d-array-MTMDs對單自由度主結構可能是有害的。

圖8(b)表明,ζT的變化對目標函數影響很小,雖然較大的阻尼比會對調諧頻率產生一定影響,但是Anajafi等的研究表明MTMDs系統較大的阻尼比會降低體系對結構和激勵不確定性的敏感度,使控制系統具有更強的魯棒性,因此在設計d-array-MTMDs時仍然建議條件允許時采用較大的調諧阻尼比。圖8(c)表明,當β取較大值時,d-array-MTMDs的控制效果顯著提升。結合式(10)可知,工作頻帶較寬的d-array-MTMDs具有更好的控制效果。同時,地震激勵不同時,d-array-MTMDs的減震效果在相同的β取值時,仍然存在明顯差異,這表明d-array-MTMDs需要調諧的頻率不僅是主結構固有頻率,還應當考慮地震激勵的頻率成分。

圖8(d)表明,在n較小時,d-array-MTMDs的減震效果對n值的變化和地震激勵較為敏感,當n大于20后,d-array-MTMDs的減震效果幾乎不隨n發生變化,表現出穩定且良好的減震性能,可以認為對于模塊化建筑應該存在TMD的充分數量值,或者說,布置超過某一數量的TMD帶來的邊際效應并不明顯。

由于d-array-MTMDs中每個TMD的調諧頻率均由線性差值確定,故當TMD數量改變時,d-array-MTMDs調諧的頻率,除ωT,1和ωT,n外,均發生改變。因此,在圖8(d)中,當n小于20時,曲線的波動現象表明,只有當d-array-MTMDs調諧到特定頻率時,才會有較好的減震效果。而當n大于20后,曲線的穩定現象則表明,d-array-MTMDs對其調諧頻率小范圍鄰域內的振動同樣具有抑制作用。

初步分析對后續分析提出了以下建議:

(1)平均調諧頻率比η在[0, 2.5]內進行討論,調諧頻帶寬度系數β在[0, 2]內討論,調諧阻尼比ζT在[0, 0.5]內討論,TMD數量n在[0, 6]內討論。

(2)應當注意調諧頻率點的離散程度對Jdrift曲線的波動現象的影響。

(3)Jdrift曲線的穩定可能與TMD數量n、調諧阻尼比ζT以及調諧頻帶寬度有關,需要進一步研究。

2.3 MSFS中吊索的影響

在MSFS中,體系動力方程的變化出現在式(4),見式(17)

(17)

式中,bv,i為第i層吊索的位置向量

(18)

式(17)中的kv,i為第i層吊索的等效剛度,計算方法由單擺模型給出

(19)

Δ(·)=(·)Ti-(·)s(loci-1)

(20)

式(19)表明,kv,i為時間t的函數,這導致式(1)中的矩陣K也是時間的函數,對式(1)進行拉普拉斯變換將更加復雜。因此,本文采用逐步增量法求解體系響應,在每一個增量步開始前,通過體系上一個增量步的位移、速度和加速度重新計算kv,i,更新剛度矩陣后,再進行下一個增量步的計算。

取吊索長度l=3 m,此時吊索長度對應的樓板復位等效剛度約為單個模塊主結構側向剛度的0.3%,換算成調諧頻率比為Δη= 0.077。主結構自由度N=2,TMD布置數量n=1,位置loci=1,η、β和ζT采用表3取值。

分別對包含吊索的MSFS與不包含吊索的FIS輸入No.1和No.2地震激勵,對比主結構和次結構響應的位移時程曲線,如圖9所示。

圖9 FIS系統與MSFS系統的動力響應對比Fig.9 Comparison of dynamic response of MSFS and FIS

圖9顯示,當l=3 m時,包含吊索的MSFS與不包含吊索的FIS對比可見,兩者振動響應區別較小,且吊索長度對次結構的影響略大于主結構。為MSFS定義指標Jv定量地考察吊索在結構振動過程中提供的恢復力的大小,見式(21)。

(21)

式中,xs,0為地面位移,因本文動力方程選擇了地面為參考系,故在任意時刻都有xs,0=0。對No.1和No.2地震激勵計算Jv,得到在兩次地震下吊索提供的恢復力分別為主結構框架恢復力的18.88%和22.99%。由此可知,當主次結構的質量比為μ=0.5時,吊索提供的恢復力不宜忽略,結合吊索等效剛度的數量級可知,懸掛樓板的相對位移較小時吊索提供的恢復力也較小。本文重點是研究d-array-MTMDs的調諧性能,因此,將吊索長度取為常數后,將FIS和MSFS統一起來進行討論,TMD布置位置loci在[1,n]內取值。

3 參數分析

初步分析表明,調諧阻尼比和調諧帶寬系數的設計值較為明確,而TMD數量和平均調諧頻率的設計值與主結構以及地震激勵的頻率成分有關。因此,將初步分析的部分工作擴展到多自由度主結構,并引入更多地震動記錄作為激勵是有必要的。本章使用表4所列的地震動記錄作為激勵,針對平均調諧頻率比η、TMD數量n和主結構層數N3個參數進行分析。

表4 地震動記錄Tab.4 Ground motion record

表4中, 3號～15號為遠場地震, 16號～23號為近場非脈沖地震,24號～34號為近場脈沖地震。首先對η分析,隨后按照分析結果取最優值。

參數ζT、β、n和N不作為自變量時取值見表5。

表5 d-array-MTMDs參數取值Tab.5 Specifies the value of the parameter of d-array-MTMDs

平均調諧頻率比η在0～2.5內變化時,結構在遠場、近場非脈沖和近場脈沖型地震激勵下的響應如圖10所示。

圖10 不同地震類型下三層主結構響應隨η的變化規律Fig.10 Variation of main structure response of three storeies with η under different earthquake types

圖10表明,在不同類型的地震作用下,隨著η增大,主結構響應均呈現先減小后增大的趨勢,曲線的下降段比上升段更加陡峭。d-array-MTMDs的η過小可能會對主結構產生不利影響,最優取值范圍為η∈[0.7,1.0]。

當η小于最優值時,d-array-MTMDs的控制效果在近場脈沖型地震作用下最好,遠場地震下次之,近場非脈沖型地震下最差,當η大于最優值時,d-array-MTMDs的控制效果在近場非脈沖型地震作用下最好,遠場地震下次之,近場脈沖型地震下最差,并且此時主結構響應曲線的增幅趨于平緩,這表明選擇較大的η作為設計值,d-array-MTMDs的減震效果更加穩定。

在32次地震激勵下,將裝有d-array-MTMDs的結構平均響應與每層布置一個TMD的普通MTMDs以及非受控體系進行對比,結果如圖11所示。

圖11 d-array-MTMDs與普通MTMDs系統的對比Fig.11 Comparison between d-array-MTMDs and common MTMDs

圖11表明,安裝了d-array-MTMDs的結構位移響應平均減少40%,比使用每層布置一個TMD的MTMDs效果更好,這表明將有限的調諧質量分配到更多的調諧頻率上的做法是可取的。選擇圖11中結構響應最小值對應的平均調諧頻率值η=0.781,計算結構響應隨TMD數量n的變化規律,如圖12所示。

圖12 不同地震類型下三層主結構響應隨n的變化規律Fig.12 Variation of main structure response of three storeies with n under different earthquake types

圖12表明,由圖8(d)得到的結論可推廣到多自由度主結構的情形。隨著TMD數量的增加,結構響應曲線呈現出從不穩定逐漸穩定的規律。雖然在不同地震激勵下,系統達到穩定狀態所需的TMD數量存在較為明顯的差異,但絕大多數地震激勵下,系統可以在TMD數量大于20個的條件下達到穩定狀態。因此,在采用質量比為μ=0.5的d-array-MTMDs控制結構振動時,建議每個樓層布置的TMD的數量大于20個。同時,在圖12(a)～圖12(c)中,一些地震激勵在n=20時還未達到穩定狀態,這解釋了圖10中,當η取較大值時,一些曲線出現的波動現象。

此外,圖12(d)表明,d-array-MTMDs在TMD數量n變化的過程中,在遠場、近場非脈沖和近場脈沖3種類型的地震激勵下具有近似相同的減震效果。為了更深入地討論d-array-MTMDs系統穩定狀態所需的最小TMD數量nmin的影響因素,還需要補充nmin與η和ζT的關系。基于控制變量法,選取圖10中波動現象最明顯的兩條地震動記錄18號和23號作為激勵展開研究。經過試算,將n每增加10,Jdrift的變化范圍小于0.02作為體系處于穩定狀態的判據,定義此時的TMD數量為nmin。計算nmin隨η和ζT的變化規律,如圖13所示。

圖13 nmin隨η和ζT的變化規律Fig.13 Variation of nmin with η and ζT

圖13表明,η在0～2.5內,nmin與η正相關,斜率與地震特性有關;ζT在0～0.5內,nmin單調遞減。一方面,雖然選擇較大的平均調諧頻率比η能夠在更多地震激勵下,保持d-array-MTMDs較好的減震性能,但較大的η使系統需要更多TMD才能達到穩定狀態,根據本文研究數據,建議η在0.7～1.0內取值;在另一方面,雖然較大的調諧阻尼比ζT可能小幅降低系統的減震效果,見圖8(b),但卻能明顯減小系統穩定狀態所需的TMD數量,故建議在成本允許的條件下,為d-array-MTMDs選取較大的ζT值。

除調諧參數外,為了避免d-array-MTMDs對主結構的作用力存在較大偏心距,不同調諧頻率的TMD在建筑平面中的布置位置也需要被考慮。為此,在N=1、n=40并且忽略阻尼力作用的情況下,在時程分析的過程中用主結構受到的水平剪力對每個TMD對主結構的作用力進行歸一化處理,建立量化指標JF,i如式(22)所示。

(22)

在3種類型的地震作用下,不同TMD對主結構的作用力JF,i如圖14所示,其中TMD編號i與TMD調諧頻率ωi成正比。

圖14 d-array-MTMDs對主結構的作用力分布Fig.14 Force distribution of d-array-MTMDs on the main structure

圖14表明,編號從0～20的TMD對主結構的作用逐漸增大,編號為21～25的TMD對結構的作用力出現一個峰值,編號為40的TMD對結構的作用力出現另一個峰值,編號為26～39的TMD對結構的作用力維持在略小于峰值的較高水平。d-array-MTMDs對主結構的作用力主要由調諧頻率較大的TMD提供。

圖14(d)表明,不同類型的地震作用下,d-array-MTMDs對主結構的作用力分布呈現一致的規律,其中,近場非脈沖型地震作用下,d-array-MTMDs對主結構的作用力分布在不同TMD之間的變化最劇烈,遠場地震次之,在近場脈沖型地震作用下最平穩。

綜上所述,在設計d-array-MTMDs時,宜優先將調諧頻率ωi大于平均調諧頻率ωT,ave的TMD均勻布置在建筑平面中,再布置調諧頻率較小的TMD。若僅僅將TMD順序排列在建筑平面中,會造成d-array-MTMDs對結構的偏心作用。

最后,研究主結構層數變化對d-array-MTMDs減震效果的影響。計算主結構從1層逐漸增加至20層的過程中,結構響應指標Jdrift隨主結構層數N的變化規律,如圖15所示。

圖15 不同地震類型下主結構響應隨N的變化規律Fig.15 Variation of main structure response with N under different earthquake types

圖15表明,主結構層數的增加使d-array-MTMDs的減震效果逐漸趨于穩定,同時在20層以下,d-array-MTMDs均表現出平均減震48%的良好效果。此外,隨著模塊建筑層數的增加,d-array-MTMDs也能維持較好的減震效果,這表明d-array-MTMDs系統能夠用于主結構層數較高的情況。

4 結 論

基于建筑的模塊化,將普通MTMDs中的調諧質量分割并調諧到一定頻帶寬度內的多個頻率點上,提出一種d-array-MTMDs方案,并對d-array-MTMDs進行參數分析得到如下結論:

(1)d-array-MTMDs系統的減震效果主要受平均調諧頻率比η、調諧頻帶寬度系數β以及TMD數量n的影響,調諧阻尼比ζT和主結構層數N對系統減震效果影響較小。

(2)d-array-MTMDs系統的η建議在0.7～1.0內取值,當η小于最優值時,d-array-MTMDs的控制效果在近場脈沖型地震作用下最好,遠場地震下次之,近場非脈沖型地震下最差,當η大于最優值時,d-array-MTMDs的控制效果在近場非脈沖型地震作用下最好,遠場地震下次之,近場脈沖型地震下最差。

(3)當β取較大值時,d-array-MTMDs的控制效果顯著提升,換言之,工作頻帶較寬的d-array-MTMDs具有更好的控制效果。不同地震激勵下,d-array-MTMDs的減震效果在相同的β取值時,仍然存在明顯差異。綜合考慮,β建議取2.0。

(4)隨著TMD數量n的增加,體系的減震效應會從不穩定狀態變化到穩定狀態,穩定狀態下d-array-MTMDs的減震效果不再隨n發生明顯變化,并且在不同類型的地震作用下,結構減震效應呈現出高度的一致性。根據本文的研究,TMD數量建議取值為n>20。此外,達到穩定狀態所需最少TMD數量nmin與η呈線性線性遞增關系,與ζT呈非線性單調遞減關系,故綜合考慮,ζT建議在成本允許的范圍內取較大值。

(5)d-array-MTMDs對主結構的作用力主要來自于調諧頻率較大的TMD,故布置d-array-MTMDs中的TMD時,宜優先將調諧頻率較大的TMD在建筑平面中均勻布置。

(6)主結構從1層增加至20層的過程中,安裝了d-array-MTMDs的結構位移響應平均減小48%。同時,d-array-MTMDs系統更加適合但不局限于主結構較高的情況。