基于混合正則化方法的結構載荷識別與響應重構

彭珍瑞, 周雪文

(蘭州交通大學 機電工程學院,蘭州 730070)

結構健康監測(structural health monitoring, SHM)廣泛應用于土木和機械工程領域,大量高層建筑、大跨度橋梁和大型空間結構等都安裝了SHM系統,實時監測和評估結構的服役狀態。準確獲取結構外部載荷和各類型響應數據對其可靠性分析、動態優化設計及健康監測至關重要[1-4]。然而,由于結構中傳感器安裝數量與位置受限、傳感器類型缺乏或數據采集成本較高等原因,往往難以直接測得所需信息[5-6]。因此,研究基于有限測量響應識別結構載荷并重構其余位置響應的技術具有十分重要的意義。

目前,結構響應重構方法主要有三種:第一種基于卡爾曼濾波類[7-8];第二種基于經驗模態分解[9-10];第三種基于結構傳遞矩陣。王娟等[11]在未知激勵的條件下,利用部分測點的動態響應結合傳遞矩陣重構其他未測量位置處的響應,并采用正則化方法改善重構方程的病態性。Zhang等[12]基于狀態空間模型推導應變重構方程,通過已知應變響應結合傳遞矩陣重構結構未知應變響應,并利用應變標準差曲線定位結構損傷。

上述方法都在不計算載荷的情況下,直接由結構已知響應重構出未知響應。然而,Liu等[13]指出基于傳遞矩陣的響應重構過程中實際包含載荷的識別,二者應綜合考慮。同時他還用實測加速度響應結合傳遞矩陣計算結構載荷、重構未知加速度響應,并通過快速收縮閾值算法改善傳遞矩陣的病態性和緩解沖擊力稀疏性的影響。Li等[14]在考慮結構載荷和響應測量不確定性的情況下,提出一種基于稀疏貝葉斯框架的算法來同時識別載荷的位置和時間歷程,并重構結構響應。而結構載荷識別的實質就是根據已知系統的動態特性和實測響應來計算動態載荷,是一個典型的不適定逆問題[15],傳遞矩陣的病態性,易放大噪聲對測量響應的影響,從而降低結構載荷識別與響應重構的精度。

為了解決載荷識別過程的不適定問題,通常采用正則化技術。常見的正則化方法有:奇異值分解(singular value decomposition, SVD)[16-17]、Tikhonov正則化[18-19]和迭代正則化[20-21]等。因迭代正則化算法的迭代過程就是正則化過程,不需要顯式的正則化參數等優點,被廣泛應用于求解不適定問題中。然而,Fong等[22]指出最小二乘QR分解(least square QR, LSQR)與最小平方殘差(least square minimal residual, LSMR)算法在解決不適定問題時存在半收斂行為,若對迭代終止次數的估計不精確易導致結果出現較大的誤差。因此,Li等[23]在振動信號濾波降噪的基礎上,采用Tikhonov正則化方法對LSQR迭代算法進行了預優化,解決當噪聲較大時LSQR的不收斂現象,并用于識別洪流結構振動的載荷。Rezaiee-Pajand等[24-25]指出LSMR具有比LSQR更早終止迭代的優勢,并結合Lanczos雙對角化算法和Tikhonov正則化技術改善LSMR的半收斂行為,提出一種基于靈敏度的單元質量矩陣和剛度矩陣同步更新的有限元模型修正方法。然而,LSMR算法及其改進算法多應用于圖像去噪領域,Chung等[26]充分討論了LSMR確定最優正則化參數的各種方法及其停止準則,并用于去除圖像噪聲。但此問題仍需要進行更深入研究,以期將其應用到結構載荷識別與響應重構領域,提高結構載荷識別精度。

基于以上問題,本文將LSMR算法引入結構載荷識別與響應重構領域,并用Tikhonov正則化方法處理LSMR算法的投影問題,解決半收斂現象,從而得到一種混合正則化方法,將其用于解決載荷識別問題的不適定性,提高載荷及響應的重構精度。首先,基于時域狀態空間模型構建結構傳遞矩陣,并建立載荷識別與響應重構方程;然后,采用混合正則化方法改善載荷識別方程的不適定性,得到載荷的正則化解,再結合響應重構方程的傳遞矩陣對結構的位移、速度和加速度響應進行重構;最后,分別對簡支梁模型進行數值仿真和試驗分析,驗證所提方法的可行性。

1 理論背景

1.1 狀態空間模型

對于線性系統,其動力學方程可表示為

(1)

通過x(t)=Φq(t)模態坐標變換,動力學方程轉化為模態坐標形式

(2)

式中:q為模態坐標;ε為模態阻尼比矩陣;ω為特征頻率矩陣;Φ為結構模態振型矩陣。

(3)

式中:j=1,2,…,Nt,Nt為采樣點數;y(j)為結構載荷向量;A、B、G和D分別為離散方程的狀態矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣和直接傳輸矩陣,其表達式為

(4)

(5)

(6)

(7)

經過迭代運算,式(3)可表示為

(8)

假設零初始條件z(0)=0;f(0)=0;式(8)可表示為

(9)

式(9)為結構響應與載荷之間的關系式,可簡化為

Y=HF

(10)

式中:Y為結構全部響應向量組合;F為結構全部載荷向量組合;H為結構傳遞矩陣。

1.2 載荷識別與響應重構方程

假設系統已知測點響應為Ykn,未知測點響應為Yun,建立載荷與響應的重構方程

Ykn(Nm×Nt)×1=Hkn(Nm×Nt)×(Nf×Nt)F(Nf×Nt)×1

(11)

Yun(Nr×Nt)×1=Hun(Nr×Nt)×(Nf×Nt)F(Nf×Nt)×1

(12)

式中:Nm為結構可安裝傳感器數量;Nf為結構所施加載荷數量;Nr為結構需重構位置數量。時域分析中,被測響應數量應不小于外部載荷數量(Nm≥Nf)。

由式(11)可知,若已知測量響應Ykn和傳遞矩陣Hkn,則可識別出未知激勵力F

(13)

式中: 上標“+”為矩陣Moore-Penrose廣義逆。式(13)代入式(12)可重構出所需重構位置的響應。

因此通過上述過程,也可實現由已知測量響應重構未知響應

(14)

由式(13)、式(14)可知在識別載荷時,傳遞矩陣Hkn廣義逆的求解是載荷識別與響應重構過程中的一個關鍵步驟。而在實際工程中,傳遞矩陣的病態性會放大測量噪聲的干擾,導致采用傳遞矩陣廣義逆的求解精度較低,影響載荷識別和響應重構結果。因此為了得到式(13)的穩定解,需對其進行正則化處理。

2 求解不適定問題的混合正則化方法

2.1 LSMR

LSMR算法是最小二乘方程的迭代求解器,適用于求解稀疏矩陣線性方程組。其目標函數為

(15)

式中,rk=Ykn-HknFk為殘差向量,Fk為第k次迭代載荷值。

LSMR算法采用GK(Golub-Kahan)雙對角化過程生成Krylov子空間。雙對角化算法是一種正交矩陣分解,通常給定矩陣Hkn和向量Ykn,會產生兩個正交矩陣以及一個雙對角矩陣。GK過程公式如下

β1u1=Ykn

(16)

(17)

βk+1uk+1=Hknvk-αuk

(18)

(19)

GK過程k次迭代之后,可得正交矩陣Uk=[u1,…,uk]和Vk=[v1,…,vk],雙對角矩陣Bk

式(16)～式(19)可以遞歸為

HknVk=Uk+1Bk

(20)

(21)

式中:Lk+1=[Bkαk+1ek+1],ek+1是維數為(k+1)·(k+1)的單位矩陣的最后一列。

(22)

圖1 LSMR算法的半收斂現象Fig.1 Semi-convergence of LSMR algorithm

2.2 混合正則化方法

混合正則化方法將LSMR算法與著名的Tikhonov正則化技術相結合,利用LSMR的迭代算法,將原病態逆問題投影到維數小但維數增加的Krylov子空間上。隨后在每次迭代中使用Tikhonov正則化技術對投影問題進行處理,并采用GCV(generalized cross-validation)準則自適應選擇正則化參數。因此混合正則化方法具有兩個主要優點:①克服LSMR算法在噪聲條件下的半收斂行為;②在每次迭代中自適應選擇正則化參數。

混合正則化方法求解式(22)的表達式如下

(23)

則式(23)的解為

(24)

最后用所提方法求解不適定問題HknF=Ykn可得載荷值

(25)

2.2.1 選擇正則化參數

混合正則化方法通過最小化GCV函數,在第k次迭代時得到最優正則化參數γk,且在每次迭代時都能自動選擇一個正則化參數,不需要先驗估計。GCV函數表達式為

(26)

GΙ(γk)=

(27)

2.2.2 迭代停止準則

確定迭代的停止準則也是混合正則化方法的關鍵,該準則確定最終迭代停止的次數k。因此本文引入一個新的GCV函數考慮該問題,表達式為

(28)

GⅡ(k)=

(29)

混合正則化方法滿足下列條件之一便停止迭代,輸出迭代次數k: ①達到指定最大迭代次數(根據多次數值仿真及試驗分析結果,本文指定最大迭代次數Kmax=100); ②函數GⅡ(1)～GⅡ(Kmax)中的最小值; ③滿足式(30),其中本文公差δ=1×10-10。

(30)

2.2.3 算法步驟

由2.2.1節和2.2.2節分析可知,正則化參數γk最初是通過在第k次迭代時最小化GⅠ(γk)得到,然后將該值代入GⅡ(k)中選擇終止次數,一旦確定迭代終止次數k,便可輸出最優正則化參數γk。因此,確定正則化參數和迭代次數的過程是同時實現的。

混合正則化方法求解載荷的具體步驟如下:

步驟1輸入Hkn、Ykn、δ和Kmax。

步驟5通過最小化GⅠ(γk)確定正則化參數γk,k=2,3,…,Kmax。

步驟6將所得正則化參數代入式(29)計算GⅡ(k),k=2,3,…,Kmax。

步驟7若滿足迭代停止條件則輸出最終迭代次數及最優正則化參數,若不滿足迭代停止條件,則返回步驟5。

3 載荷識別與響應重構流程

基于混合正則化方法的結構載荷識別與響應重構流程圖,如圖2所示。

圖2 載荷識別與響應重構流程圖Fig.2 Flowchart of load identification and response reconstruction

4 數值算例

在ANSYS軟件中建立矩形截面簡支梁模型進行數值仿真研究,梁單元類型為Beam3,如圖3所示。該矩形截面簡支梁模型長、寬和高分別為2 000 mm、100 mm和10 mm,并將其劃分為20個單元,21個節點。彈性模量、材料密度和泊松比分別為210 GPa、7 800 kg/m3和0.3,阻尼比ε=0.01。在梁兩端(即1節點和21節點)分別施加固定約束和簡支約束,且僅考慮垂直方向的振動。由于高階模態對整體結構振動響應影響較小,故計算過程中常選用對振動響應影響較大的低階模態,本文選取前5階模態為目標模態進行結構載荷識別與響應重構,前5階固有頻率為5.86 Hz、23.46 Hz、52.83 Hz、94.20 Hz、148.10 Hz。

圖3 簡支梁模型(mm)Fig.3 Simply supported beam model (mm)

在數值仿真中,考慮實際工程中的噪聲干擾,在計算響應中加入服從正態分布的隨機噪聲

Ykn=Ytrue+Lnoise×std(Ytrue)×randn

(31)

式中:Ykn為加噪聲后的測量加速度響應;Ytrue為有限元計算的真實加速度響應;Lnoise為噪聲水平; std(·)為標準差; randn為均值為0,標準差為1的正態分布隨機數。

為了探究載荷識別和響應重構的精度,定義如下相對百分比誤差(relative percentage error, RPE)

(32)

(33)

式中:ef和ey分別為載荷和響應的相對百分比誤差;Fid和Yid分別為重構的載荷和響應;Ftrue和Ytrue分別為實際計算的載荷和響應。

4.1 所提方法對載荷識別與響應重構的效果

考慮5%(Lnoise=5%)測量噪聲干擾,在第6節點垂直方向施加錘擊激勵,采樣頻率為1 000 Hz,并提取第5和第16節點加速度響應作為測量響應,去重構結構載荷、第7節點的位移響應、第9節點的速度響應以及第13和第15節點的加速度響應。

每次迭代時計算GⅠ(γk)所得的正則化參數,如圖4所示。并計算GⅡ(k)確定停止次數k=45,最優正則化參數γk=4.70×10-5用圓圈標出。LSMR算法和混合正則化方法在每次迭代時所識別載荷的RPE圖,如圖5所示。由圖5可知,迭代后期LSMR算法所得載荷的RPE值有所增大,第Kmax=100次迭代所得載荷已不是該算法識別的最優載荷值。而混合正則化方法在k=45

圖4 迭代次數與正則化參數Fig.4 Iterations and regularization parameters

圖5 相對百分比誤差Fig.5 Relative percentage error

在5%噪聲水平的干擾下,最小二乘方法和本文所提方法的載荷識別結果如圖6所示。由圖6可知,當載荷識別方程不適定時,LS方法識別的載荷偏離真實值,而本文所提方法的載荷識別值與真實值吻合較好,其中兩種方法識別出載荷的RPE值分別為41.26%和11.25%。說明當載荷識別問題不適定時,所提正則化方法可提高載荷識別精度,求解出較為準確的載荷值。

圖6 載荷真實值與重構值對比Fig.6 The true value versus the reconstructed value of the load

本文所提方法下各類型響應的重構結果,如圖7所示。由圖7可知,各類型響應的重構值與真實值也能較好吻合。說明所提方法有效改善了載荷識別問題的不適定性,從而可以利用有限測點加速度響應識別結構外部載荷并重構結構各類型響應。

圖7 響應真實值與重構值對比Fig.7 The true value versus the reconstructed value of the response

4.2 測量噪聲水平對所提方法重構效果的影響

為了探究在不同噪聲水平下,所提方法對結構載荷與各類型響應的重構情況,作如下研究:在保持載荷作用位置及響應測量位置不變的情況下,分別在測量加速度響應中加入3%、5%和10%三種等級的測量噪聲。

結構載荷和各類型響應的重構RPE值,如表1所示。由表1可知,隨著噪聲水平的提升,結構載荷與各類型響應的RPE值逐漸增大,但在10%的噪聲水平下,結構載荷與各類型響應的重構RPE值仍控制在22%和5%左右,在工程可接受的范圍內。外部載荷的RPE值要遠大于結構位移、速度和加速度響應,因為在進行響應重構時,傳遞矩陣Hun可以減小載荷的重構誤差,使各類型響應的重構值與真實值更接近。綜上可知,噪聲水平對載荷及各類型響應的重構精度有一定影響,但仍能對其進行有效重構。

表1 不同噪聲水平下的相對百分比誤差Tab.1 RPE at different noise levels 單位:%

4.3 測點布置對所提方法重構效果的影響

為了進一步探究傳感器位置發生變化時,所提方法對結構載荷與各類型響應的重構情況,在5%的噪聲水平下,隨機選取兩組方案下的不同測點及重構點進行對比研究。第一組,選取第8和第12節點為測量位置,重構結構載荷、第11節點的位移響應、第4節點的速度響應以及第16節點的加速度響應;第二組,選取第6和第14節點為測量位置,重構結構載荷、第5節點的位移響應、第10節點的速度響應以及第18節點的加速度響應。

兩組方案下傳感器測量位置和重構位置發生變化時,所提方法確定的迭代停止次數和最優正則化參數,以及載荷和各類型響應的重構RPE值,如表2、表3所示。由表2、表3可知,當測點發生變化時,載荷的RPE值并未發生較大變化,且重構出的不同位置的各類型響應RPE值均控制在5%以下。說明所提方法受測點變化的影響不大,對測點變化具有一定的魯棒性。

表2 迭代次數及最優正則化參數Tab.2 Iterations and optimal regularization parameter

表3 不同測點下的相對百分比誤差

為了更加直觀地表示其他位置的重構情況,以第二個方案的測點和重構點為例,將其載荷和響應的重構值與真實值進行對比,如圖8所示。由圖8可知,當測點位置發生變化時,所提方法仍能較好地識別結構載荷并重構其他位置的各類型響應。

圖8 真實值與重構值對比Fig.8 The real value versus the reconstructed value

5 試驗驗證

為了進一步驗證所提方法的有效性,仍以簡支梁為試驗對象,如圖9所示。簡支梁的幾何尺寸、單元劃分與數值仿真中相同。依舊僅考慮垂直方向的振動響應,選取前5階模態振型為目標模態進行結構載荷識別與響應重構,結構前5階固有頻率和阻尼比如表4所示。試驗過程所采用的加速度傳感器型號為ICP型的INV9821;網絡分布式采集儀為北京東方振動和噪聲技術研究所的INV3062-C2;模態試驗選用5 000 kg大力錘,響應試驗選用500 kg小力錘。

表4 模型固有頻率和阻尼比

圖9 簡支梁試驗模型Fig.9 Simply supported beam test model

如圖10所示,在第11節點垂直方向施加錘擊激勵,采樣時間取0.25 s,采樣頻率為1 000 Hz;在第5、第9、第13和第17節點布置4個加速度傳感器。第9和第17節點為測量位置,由于試驗過程無法獲得不含噪聲的真實響應,故用傳感器采集的加速度測量響應代替真實響應用于識別結構載荷并重構未知的各類型響應;第5和第13節點為重構位置,傳感器測得的加速度響應用于重構效果對比。同時重構第5節點的位移和速度響應,但由于無法獲得第5節點位移和速度響應的測量值,故與狀態空間方程計算出的真實值做重構效果對比。

圖10 傳感器布置(mm)Fig.10 Sensor arrangement (mm)

如圖11所示,為所提方法計算的迭代停止次數k=24,以及最優正則化參數γk=2.54×10-2,并用圓圈標出。兩種方法在每次迭代時所識別載荷的相對百分比誤差,如圖12所示。由圖12可知,混合正則化方法能有效改善LSMR算法的半收斂行為,提高載荷識別精度。

圖11 迭代次數與正則化參數Fig.11 Iterations and regularization parameters

圖12 相對百分比誤差Fig.12 Relative percentage error

結構載荷與各類型響應的重構效果如圖13所示。由圖13可知,結構載荷、速度響應及加速度響應的重構值與測量值(或真實值)曲線吻合較好,位移響應的重構值與真實值曲線吻合略差。

圖13 載荷與響應的重構對比Fig.13 Reconstruction comparison of load and responses

載荷、第5節點位移、速度、加速度和第13節點加速度響應的重構的RPE值如表5所示。由表5可知,重構出的位移和速度響應的RPE值較加速度響應的大。可能存在原因分析:①位移和速度響應為狀態空間方程計算值,但用于重構的加速度響應為傳感器的實測值,所以重構時曲線略有偏差;②所提方法下載荷識別的RPE值較大,而位移對載荷信息較敏感。因此后續研究中還應增加對位移響應的測量。

表5 載荷與各類型響應的RPE

6 結 論

本文提出一種可以有效改善載荷識別與響應重構問題不適定性的混合正則化方法,得到如下結論:

(1) 所提方法能有效改善重構方程的不適定問題,僅利用有限測量加速度響應實現對結構載荷及位移、速度和加速度響應的有效重構。

(2) 在噪聲水平及測點變化的情況下,所提方法仍能對結構載荷及多類型響應進行有效重構,說明此方法具有一定的魯棒性。

(3) 對簡支梁的數值仿真和試驗分析均驗證了所提方法的可行性與有效性,為結構載荷識別與響應重構提供了一種新方法。