一道2023年全國高考試題的再探究

【摘要】本文對2023年全國高考數學甲卷理科第20題主要進行了解法探究和拓展探究，由于篇幅關系，沒有對結論2和結論3給出證明，文中運用極坐標法證明了結論1，以下對結論1進行另證，并給出結論2和結論3的證明.

【關鍵詞】高中數學；最值；解題技巧

1? 拓展探究

結論1? 已知F為拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點，M，N為拋物線C上兩點且滿足 MF·NF=0，則△MNF的面積的最小值為3－22p2［1］.

證明? 因為Fp2，0，

設直線MN的方程為x=my+n，

設M（x1，y1），N（x2，y2），

因為MF·NF=0，

所以x1－p2x2－p2+y1y2=0，

所以x1x2－p2x1+x2+y1y2+p24=0，

所以my1+nmy2+n－p2（my1+my2+2n）+y1y2+p24=0，

所以1+m2y1y2+mn－p2y1+y2+n－p22=0①，

聯立y2=2pxx=my+n，

整理可得y2－2pmy－2pn=0，

y1+y2=2pm，y1y2=－2pn②，

|MN|=1+m2y1+y22－4y1y2=1+m24p2m2+8pn=2p1+m2m2+2np，

焦點Fp2，0到直線MN的距離為

d=n－p21+m2，

SΔMNF=12|MN|d

=pn－p2m2+2np③，

由①②可得，n－p22p2=m2+2np，

代入③，整理可得S△MNF=n－p22，

由①②可得，n2－3pn+p24=p2m2，

所以n2－3pn+p24≥0，

解得n≤3－222p或n≥3+222p，

又因為n≠p2，

所以S△MNF≥3－222p－p22

=3－22p2，

所以當n=3－222p時，

S△MNFmin=3－22－12=3－22p2，

即△MNF面積的最小值為3－22p2.

結論2? 已知F為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點，M，N為橢圓C上兩點且滿足MF·NF=0，則△MNF的面積的最小值為e2p2e+22，（其中e為橢圓C的離心率，p=b2c，c=a2－b2）［2］.

證明? 以橢圓C的左焦點為極點，射線Fx為極軸建立極坐標系，

設∠xFM=θ（0<θ<π），則∠xFN=θ+π2，

所以|MF|=ep1－ecosθ，

|NF|=ep1－ecosθ+π2=ep1+esinθ，

S△MNF=12|MF‖NF|

=e2p221－ecosθ1+esinθ

=e2p22+2esinθ－cosθ－2e2sinθcosθ，

令t=sinθ－cosθ=2sinθ－π4，

則t∈（－1，2］，2sinθcosθ=1－t2，

所以S△MNF=e2p22+2et－e21－t2

=e2p2et+12+e2+1，

令f（t）=et+12+e2+1，

因為f（t）在（－1，2］為增函數，

所以f（t）max=f（2）=e+22，

所以，△MNF的面積最小值為e2p2e+22.

結論3? 已知F為雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點，M，N為雙曲線C上兩點且滿足MF·NF=0，則△MNF的面積的最大值為e2p2e2+1，面積最小值為e2p2e+22（其中e為雙曲線C的離心率，p=b2c，c=a2+b2） ［3］ .

證明? 以雙曲線C的右焦點為極點，射線Fx為極軸建立極坐標系，

設∠xFM=θ（0<θ<π），則∠xFN=θ+π2，

所以|MF|=ep|1－ecosθ|，

|NF|=ep|1－ecosθ+π2|=ep|1+esinθ|，

SΔMNF=12|MF‖NF|

=e2p2|21－ecosθ1+esinθ|

=e2p2|2+2esinθ－cosθ－2e2sinθcosθ|，

令t=sinθ－cosθ=2sinθ－π4，

則t∈（－1，2］，2sinθcosθ=1－t2，

S△MNF=e2p2|2+2et－e21－t2|

=e2p2|et+12+e2+1|，

令f（t）=|et+12+e2+1|，

因為－1<－1e<0，

所以f（t）在（－1，－1e］上為減函數，在（－1e，2］上為增函數，

所以f（t）min=f（－1e）=e2+1，f（t）max=f（2）=e+22，

所以△MNF的面積的最大值為e2p2e2+1，最小值為e2p2e+22.

參考文獻：

［1］羅文軍.一題多解彰顯素養 多題一解提高能力——2023年全國甲卷理科數學第20題探究［J］.考試與招生，2023（12）：10—12.

［2］中國高考評價體系［M］.北京：人民教育出版社.

［3］數學選修4-4坐標系與參數方程［M］.北京：人民教育出版社，2007.