如何解答高中數學立體幾何題

徐璐

【摘要】數學作為高中階段的一門基礎學科，學習難度大，具有抽象性強的特點，要求學生具備較強的邏輯思維能力.立體幾何是高中數學中的重要知識內容，是高考中的必考知識點.立體幾何題目具有靈活性和多變性的特點.在解題過程中，不僅需要學生掌握好基礎知識，還需要學生掌握一定的解題方法與技巧，快速找出解題思路，提高解題效率.本文分析高中數學立體幾何解題策略.

【關鍵詞】高中數學;立體幾何;解題策略

立體幾何是高中數學學習中的難點與重點，在立體幾何問題解題中，需要具有較強的空間想象能力以及邏輯思維能力，因此，大多數學生認為立體幾何問題比較難.在實際的立體幾何解題中，有著很多的解題方法和技巧，能夠幫助學生少走彎路，提高學生解題能力.作為數學教師，應當結合例題講解解題方法，讓學生掌握解題方法的具體應用.

1? 利用分類討論方法解題

在立體幾何解題中，需要認真分析題目，理解出題目的，結合題意畫出草圖，利用分類討論方法，保證問題解答的全面性.

例1? 已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠BAC=90°，BC1⊥AC，AB=AC=2，BC1=26，側棱與底面成60°角，則三棱錐的體積是.

解? 因為∠BAC=90°，

所以AC⊥AB，

因為BC1⊥AC，且AB與BC1存在共同點B，

所以AC⊥平面ABC1，所以平面ABC⊥平面ABC1.

因此，點C1在平面ABC上的射影在直線AB上，

過C1作C1H⊥AB，交點是H，設G1H=x，

（1）若點H在線段BA的延長線上，連接CH，

所以∠C1CH=60°，CH=33x，

在Rt△ACH中，AH=13x2－4，

在Rt△BC1H中，根據勾股定理解得x=15，

所以三棱柱的體積是15×12×2×2=215.

（2）若點H在線段AB上，在△BC1H中，根據勾股定理，x=26，即點H與點B重合，所以三棱柱的體積是46.

（3）若點H在線段AB的延長線上，在Rt△BC1H中，根據勾股定理解得x=26，不符合題意.

綜上可知，三棱柱ABC－A1B1C1的體積是215或46.

2? 利用向量法解答問題

在立體幾何解題中，向量法是一種常用的解題方式.利用向量法構建相應的空間直角坐標系，將幾何問題轉化成代數問題，減少復雜的計算過程，幫助學生快速解決立體幾何問題［1］.

例2? 如圖3所示，立體圖形ABCD－A1B1C1D1是一個底面為矩形的四棱臺，平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，且CC1=CD=D1D=12C1D1=1.

（1）證明：AD⊥平面CC1D1D；

（2）如果A1C與平面CC1D1D成的角是π3，求解二面角C－AA1－D的余弦值.

解? ??（1）如圖4，作DH⊥C1D1于H，連接DC1，

因為CC1=CD=D1D=12C1D1=1，

所以D1H=12，則∠D1DH=30°，

所以DH=D1D·cos30°=32，

因為HC1=32，

所以DC1=DH2+HC21=3.

在△D1DC1中，因為D1D2+DC12=D1C21，

所以△D1DC1是直角三角形，且DC1⊥D1D，

因為平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，且兩個平面的交線為D1D，

所以DC1⊥平面AA1D1D，

因為AD平面AA1D1D，則AD⊥DC1，

因為AD⊥CD，DC∩DC1=D，

所以AD⊥平面CC1D1D.

（2）連接A1C1，以D1作為坐標原點，構建如圖5所示的空間直角坐標系.

圖5

因為A1D1⊥平面CC1D1D.

所以A1C1在平面CC1D1D的射影為D1C，

因為A1C與平面CC1D1D成的角是∠A1CD1=π3，

在Rt△A1CD1中，A1D1=3，

所以D1（0，0，0），A1（3，0，0），C0，32，32，

D0，12，32，C1=（0，2，0），

所以D1D=0，12，? 32，D1A1=（3，0，0），

A1C1=（-3，2，0），

A1C=-3，32，? 32，

設平面AA1D1D的法向量為m=（x，y，z），

所以m·D1D=0，m·D1A1=0，

所以12y+32z=0，3x=0，

令y=3，所以m=（0，3，－3）.

設平面AA1C1C的法向量是n=（a，b，c），

所以n·A1C1=0，n·A1C=0，

所以－3a+2b=0，－3a+32b+32c=0，

令a=2，所以n=（2，3，3），

根據圖5分析，二面角C－AA1－D是銳二面角，

所以cos=|m·n||m|·|n|=623×4=34，

所以二面角C－AA1－D的余弦值是34.

3? 結語

高中數學立體幾何解題中，解題的方法有很多，需要學生掌握并且靈活利用，作為教師，講解解題方法的同時，要求學生進行課堂總結，結合自身情況進行訓練，體會解題方法的具體應用，從而提高學生的解題水平.

參考文獻：

［1］王晨.高中數學立體幾何高考試題解題分析［J］.高中數理化，2019（16）：1-2.

［2］王巧鋒.淺談高考數學中立體幾何題的解題分析［J］.中學數學（高中版），2021（03）：79-80.

［3］王幼蘭.高中數學立體幾何高考試題分析與教學策略研究［J］.考試周刊，2023（23）：89-93.